2025年广东省东莞市中考三模数学试题

试卷更新日期：2025-05-28 类型：中考模拟

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列各数，是负整数的是（）

A、0 B、 $- π$ C、1 D、 $- 2$

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2. 2025蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意着事事如意、生生不息的美好祝愿．下图为春晚主标识，通过双“巳”对称摆放形成如意的纹样，它采用的数学变换是（）

A、平移 B、旋转 C、轴对称 D、位似

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3. 要使二次根式 $\sqrt{4 - x}$ 有意义，x的值可以取（）

A、1 B、7 C、14 D、80

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4. 北京烤鸭不仅是一道美食，更是中华民族美食瑰宝中的璀璨明珠．为保证口感，北京烤鸭的标准鸭子重量 $x (kg)$ 一般不低于 $2.5 kg$ ，不高于 $3 kg$ ．下面用不等式表示这一范围正确的是（）

A、 $2.5 < x < 3$ B、 $2.5 \leq x \leq 3$ C、 $2.5 < x \leq 3$ D、 $2.5 \leq x < 3$

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5. 化简 $a \div \frac{1}{a}$ 的结果是（）

A、0 B、1 C、 $a^{2}$ D、 $\frac{1}{a^{2}}$

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6. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ，连接 $B D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A D$ ， $B D$ 的中点，连接 $E F$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，若 $∠ E = 30 °$ ，则 $∠ A O D$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $35 °$ C、 $30 °$ D、 $25 °$

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8. 如图，一个加油站恰好位于两条公路 $a$ ， $b$ 所夹角的平分线上，若加油站到公路 $a$ 的距离是 $80 m$ ，则它到公路 $b$ 的距离是（）

A、 $60 m$ B、 $70 m$ C、 $80 m$ D、 $90 m$

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9. 生活中的反射现象，遵循物理学中光的反射定律．如图，入射光线 $B C$ 经过平面镜 $A E$ 上的点 $C$ 反射后，反射光线 $C D$ 恰好与 $A B$ 平行，已知 $∠ B C D = 120 °$ ， $∠ A C B = ∠ D C E$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $40 °$ D、 $50 °$

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10. 某科技公司生产了贝拉、艾米、思睿、尊者四款机器人，图中的横、纵坐标分别为机器人的固定投入量和实际产出量．该公司准备将其中一款机器人批量生产并投入市场，需从这四款机器人中选一款生产效率最高的，则应选择（注： $生产效率 = \frac{实际产出量}{固定投入量}$ ）（）

A、贝拉 B、艾米 C、思睿 D、尊者

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

11. 若点 $A (- 9, 2 m - 4)$ 在x轴上，则 $m =$ ．

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12. 树木不仅是森林的基本组成单元，更是地球生态系统的“稳定器”．当前，各国纷纷响应“全球种植万亿棵树”倡议，共同应对气候变化、助力生态系统修复．中国也在为“未来十年种植、保护和恢复 $700$ 亿棵树”的目标而不断努力．其中，数据“ $700$ 亿”用科学记数法可以表示为．

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13. 如图是一个直角三角尺，其中 $∠ B = 30 °$ ， $∠ C = 90 °$ ，则 $\sin A =$ ．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 85 °$ ， $∠ B = 55 °$ ， $D$ 是 $A B$ 上一点，将 $△ A C D$ 沿 $C D$ 翻折后得到 $△ E C D$ ，边 $C E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ．若 $∠ E D F = ∠ E$ ，则 $∠ D F C =$ ．

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15. 有两个正方形 $A$ ， $B$ ，现将 $B$ 放在 $A$ 的内部如图①，将 $A$ ， $B$ 并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为 $\frac{1}{4}$ 和 $\frac{13}{4}$ ，则正方形 $A$ ， $B$ 的面积之和为．

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三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．

16. 先化简，再求值： $2 x^{2} - 3 y^{2} + 4 x^{2} - 2 y^{2}$ ，其中 $x = 1$ ， $y = - 1$ ．

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17. 如图将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点C和点E是对应点，若 $∠ C A E = 90 °$ ， $A B = 1$ ，求BD的长．

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18. 某中学有 $1200$ 名学生，为了解学生每周户外活动时间，教师随机调查 $120$ 名学生，结果如下：
学生每周户外活动时间 $t / h$
$0 < t \leq 1$
$1 < t \leq 2$
$2 < t \leq 3$
$3 < t \leq 4$
$t > 4$
人数
$30$
$x$
$y$
$20$
$18$

(1)、求 $x + y$ 的值；

(2)、请根据调查结果，估计该校有多少名学生的每周户外活动时间为 $1 < t \leq 3$ ．

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四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．

19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ， $E$ 是 $A B$ 上一点，连接 $E D$ 并延长至点 $F$ ，使 $D F = E D$ ，连接 $C F$ ．求证： $∠ A E D + ∠ F = 180 °$ ．

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20. 近年来中国潮玩与动漫产业蓬勃发展，有分析人士预计2026年中国潮玩市场总价值将达到1101亿元．某小店老板非常看好这个用情绪价值撬动的千亿市场，购进了A型和B型两种潮玩玩具，每套A型玩具的进价比每套B型玩具的进价多2.5元，已知用200元购进A型玩具的套数与用150元购进B型玩具的套数是相同的．

(1)、求A型、B型玩具的进价分别是多少元；

(2)、老板以原进价再次购进这两种型号的玩具共100套，恰好用了950元，则购进A型玩具多少套？

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21. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的边 $C D ∥ x$ 轴，点 $C$ 的坐标为 $(3, 3)$ ，点 $E$ 的坐标为 $(2, 1)$ ， $E$ 为边 $A B$ 的中点，点 $F$ 在边 $C D$ 上，且 $D F = \frac{1}{3} C D$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $E$ ．

(1)、求该反比例函数的解析式；

(2)、求点 $F$ 的坐标；

(3)、将点 $F$ 向下平移，当点 $F$ 落在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上时，求平移的距离．

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五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．

22. 如图，已知四边形 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $∠ C = 45 °$ ，以点A为圆心， $A B$ 的长为半径画弧，与 $B C$ 交于点E，与 $C D$ 交于点F，且 $∠ B A F = 90 °$ ．

(1)、若 $D F = 2$ ，
①求点F到直线 $A D$ 的距离；
②求 $B E$ 的长．

(2)、如果 $\overset{⌢}{B E} = \overset{⌢}{E F}$ ，求 $\tan ∠ D A F$ ．

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23. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a < 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $A C$ 并延长交抛物线的对称轴于点 $F$ ，点 $M$ 是抛物线上的一个动点，其横坐标 $m$ 满足 $1 < m$ ，设直线 $F M : y = k x + b$ ．

(1)、当点 $C$ 的坐标为 $(0, 3)$ 时，
①求二次函数的解析式；
②当 $∠ A F M$ 最大时，求 $k$ 的值；
③在②的条件下，连接 $A M$ 交 $B C$ 于点 $P$ ，求 $\frac{M P}{A P}$ 的值．

(2)、当 $∠ A F M$ 最大时， $\frac{k}{a}$ 是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

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学生每周户外活动时间 $t / h$	$0 < t \leq 1$	$1 < t \leq 2$	$2 < t \leq 3$	$3 < t \leq 4$	$t > 4$
人数	$30$	$x$	$y$	$20$	$18$