2.2.2立方根-北师大版(2025)数学八年级上册

试卷更新日期：2025-06-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{9} = \pm 3$ B、 $\sqrt[3]{- 8} = 2$ C、 ${(\sqrt{5})}^{2} = \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2^{2}} = 2$

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2. 下列说法中，正确的是（）
① $- 64$ 的立方根是 $- 4$ ； ② $\sqrt{49}$ 的平方根是 $\pm 7$ ；③ $\frac{1}{27}$ 立方根是 $\pm \frac{1}{3}$ ；④ $\frac{1}{16}$ 算术平方根 $\frac{1}{4}$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. $\sqrt[3]{\frac{1}{64}}$ 的值等于（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{8}$

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4. 下列语句正确的是（　　）

A、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B、一个数的立方根不是正数就是负数 C、负数没有立方根 D、一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0

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5. 有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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6. 已知x为实数，且 $\sqrt[3]{x - 3}$ ﹣ $\sqrt[3]{2 x + 1}$ ＝0，则x²＋x﹣3的算术平方根为（）

A、3 B、2 C、3和﹣3 D、2和﹣2

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7. 化简计算 $\sqrt{64}$ ﹣ $\sqrt[3]{64}$ 的结果是（）

A、12 B、4 C、﹣4 D、﹣12

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8. 如果 $\sqrt[3]{23.7} = 2.872$ ， $\sqrt[3]{23700} = 28.72$ ，则 $\sqrt[3]{0.0237} =$ （）

A、0.2872 B、28.72 C、2.872 D、0.02872

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二、填空题

9. 计算： $\sqrt[3]{- 8}$ = ．

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10. 已知一个数的两个平方根分别是2a+4和a+14，则这个数的立方根．

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11. $- 64$ 的立方根为， $\sqrt{16}$ 的平方根为， $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ 的倒数为．

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12. 现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有 $x ※ y = \sqrt{x + y} + \sqrt[3]{x y + 1}$ ，则 $7 ※ 9$ 的值为．

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13. 若 $\sqrt{3 x - 2} + \sqrt{2 y - 6} = 0$ ，则 $- 4 x y$ 的立方根为．

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14. 已知 $a + 1$ 的平方根是 $\pm 2$ ， $2 a + b - 2$ 的立方根是 $2$ ，则 $a_{}^{2} + b_{}^{2}$ 的算术平方根是

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三、解答题

15. 已知 $3 a + 1$ 的平方根是 $\pm 4$ ， $2 a + b - 5$ 的算术平方根是 $3$ .

(1)、求a ， b的值；

(2)、求 $5 b + a + 2$ 的立方根.

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16. 魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为 $64 {cm}^{3}$ ．

(1)、求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长．

(2)、若图中的四边形 $A B C D$ 是一个正方形，则该正方形的边长为_____．

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17. 已知 $4 a - 7$ 的立方根与 $a + 2$ 的立方根互为相反数， $- 2 a + b + 3$ 的算术平方根是2， $\sqrt{13}$ 的整数部分为c．求 $a + b + c$ 的平方根．

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18. 已知 $x + 2 y$ 是9的算术平方根， $3 x - y + 2$ 是 $- 27$ 的立方根.

(1)、求 $2 x + 5 y + 8$ 的平方根；

(2)、求 $202 3^{3 - x} \div 202 3^{y + 1}$ 的值.

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19. 对于结论：当a+b=0时，a³+b³=0也成立.若将a看成a³的立方根，b看成b³的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数.”

(1)、举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；

(2)、若 $\sqrt[3]{8 - y}$ 和 $\sqrt[3]{2 y - 5}$ 互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根.

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四、实践探究题

20. 完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．
x
…
0.064
0.64
64
6400
64000
…
$\sqrt{x}$
…
0.25298
0.8
8
m
252.98
…
$\sqrt[3]{x}$
…
n
0.8618
4
18.566
40
…

(1)、表格中的m＝， n＝．

(2)、从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：．

(3)、若 $\sqrt{a} \approx 14.142 \cdot \sqrt[3]{700} \approx b$ ，求a+b的值．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4142 ， \sqrt{20} \approx 4.4721 ， \sqrt[3]{7} \approx 1.9129 ， \sqrt[3]{0.7} \approx 0.8879$ ）

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21. 新定义：若无理数 $\sqrt{T}$ 的被开方数 $T$ （ $T$ 为正整数）满足 $n^{2} < T < (n + 1)^{2}$ （其中 $n$ 为正整数），则称无理数 $\sqrt{T}$ 的“青一区间”为 $(n ， n + 1)$ ；同理规定无理数 $- \sqrt{T}$ 的“青一区间”为 $(- n - 1 ， - n)$ ．例如：因为 $1^{2} < 2 < 2^{2}$ ，所以 $1 < \sqrt{2} < 2$ ，所以 $\sqrt{2}$ 的“青一区间”为 $(1 ， 2)$ ， $- \sqrt{2}$ 的“青一区间”为 $(- 2 ， - 1)$ ．请解答下列问题：

(1)、 $\sqrt{17}$ 的“青一区间”是； $- \sqrt{23}$ 的“青一区间”是；

(2)、若无理数 $- \sqrt{a}$ （ $a$ 为正整数）的“青一区间”为 $(- 3 ， - 2)$ ， $\sqrt{a + 3}$ 的“青一区间”为 $(3 ， 4)$ ，求 $\sqrt[3]{a + 1}$ 的值；

(3)、实数x ， y ， m满足关系式： $\sqrt{2 x + 3 y - m} + \sqrt{3 x + 4 y - 2 m} = \sqrt{x + y - 2023} + \sqrt{2023 - x - y}$ ，求 $m$ 的算术平方根的“青一区间”．

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五、综合题

22. 我们知道a+b＝0时，a³+b³＝0也成立，若将a看成a³的立方根，b看成b³的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．

(1)、试举一个例子来判断上述结论是否成立；

(2)、若 $\sqrt[3]{2 x - 8}$ 与 $\sqrt[3]{- x - 28}$ 互为相反数，求 $\sqrt{x}$ ﹣6的值．

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23.

(1)、填空： $\sqrt{0.0001}$ ＝0.01， $\sqrt{0.01}$ ＝， $\sqrt{1}$ ＝1， $\sqrt{100}$ ＝10， $\sqrt{10000}$ ＝， …

(2)、观察上述求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：
①已知 $\sqrt{10}$ ≈3.16，则 $\sqrt{1000}$ ≈；
②已知 $\sqrt{3.68}$ ≈1.918， $\sqrt{a}$ ≈191.8，则a＝．

(3)、根据上述探究过程类比一个数的立方根：已知 $\sqrt[3]{2}$ ≈1.26， $\sqrt[3]{m}$ ≈12.6，则m＝．

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x	…	0.064	0.64	64	6400	64000	…
$\sqrt{x}$	…	0.25298	0.8	8	m	252.98	…
$\sqrt[3]{x}$	…	n	0.8618	4	18.566	40	…