广东省汕头市金平区2024—2025学年七年级数学下学期期末试卷

试卷更新日期：2025-07-03 类型：期末考试

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一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑.

1. 下列各数是无理数的是（）

A、 $\frac{11}{3}$ B、 $\frac{1}{2} π$ C、 $0 . \dot{7}$ D、 $\sqrt{9}$

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2. 如图，下列条件中能判断直线 $a ∥ b$ 的是（）

A、 $∠ 3 = ∠ 4$ B、 $∠ 1 = ∠ 3$ C、 $∠ 2 = ∠ 4$ D、 $∠ 4 + ∠ 5 = 18 0^{°}$

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3. 在平面直角坐标系中，将点P(3， 5)向下平移2个单位长度后得到点 $P_{1}$ 的坐标为（）

A、(1， 5) B、(5， 5) C、(3， 3) D、(3， 7)

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4. 方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 5 \\ 2 x + y = 7 \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 0 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 3 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 1 \end{array}$

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5. 若 $m \leq n$ ，则下列不等式不一定成立的是（）

A、 $m + 1 \leq n + 1$ B、 $- 2 m \geq - 2 n$ C、 $3 m \leq 3 n$ D、 $m^{2} \leq n^{2}$

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6. 为了解汕头市2025年各区(县)初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，最适合使用的统计图是（）

A、折线统计图 B、条形统计图 C、扇形统计图 D、复式条形图

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7. 垂直式停车位形状为长方形，若一个停车位长比宽多3m，周长为16m，设长为xm，宽为ym，则由题意可列得方程组为：（）

A、 ${\begin{array}{l} x - y = 3 \\ x + y = 16 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y - x = 3 \\ x + y = 16 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x - y = 3 \\ 2 (x + y) = 16 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y - x = 3 \\ 2 (x + y) = 16 \end{array}$

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8. 某商场停车场出入口折叠拦道闸，可其抽象为如图所示的几何图形，其中 $B A ⊥ A E$ ，垂足为A， $C D ∥ A E$ ，则 $∠ A B C + ∠ B C D =$ （）

A、 $25 0^{°}$ B、 $26 0^{°}$ C、 $27 0^{°}$ D、 $28 0^{°}$

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9. 不等式 $5 - 3 x < 0$ 的最小整数解是 ( )

A、3 B、2 C、1 D、0

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10. 如图，在正六边形中， $∠ P_{1} = ∠ P_{2} = ∠ P_{3} = ∠ P_{4} = ∠ P_{5} = ∠ P_{6} = 120 °$ ， $P_{1} P_{2} ∥ P_{4} P_{5}$ ， $P_{2} P_{3} ∥ P_{5} P_{6}$ ， $P_{3} P_{4} ∥ P_{6} P_{1}$ ，点A在正六边形的边 $P_{1} P_{6}$ 上，一束光从点A发出，经过多次反射（A - B - C - D - E - F）后到达点F，已知由光的反射原理（入射角等于反射角）可得： $∠ A B P_{2} = ∠ C B P_{3}$ ，根据此原理，若 $∠ P_{1} A B = 5 8^{°}$ ，则 $∠ E F P_{4} =$ ( )

A、 $5 8^{°}$ B、 $5 9^{°}$ C、 $6 0^{°}$ D、 $6 2^{°}$

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二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

11. 在平面直角坐标系中，点M的坐标是(3， -5)，则点M到x轴的距离是.

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12. 2025年1月30日(大年正月初二)晚上8点汕头在内海湾举办了“已如意美美至汕”迎新春大型焰火晚会，吸引近50万观众现场观赏.市民小王也是现场观众之一，如图，他家住P处，观赏地点海滨路可以看成直线l，则小王赶往观赏地点的最近路线是线段PC，理由是.

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13. 已知一个正数x的两个平方根分别为3和 $2 a - 1$ ，则a的值为.

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14. 已知不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 < 2 a \\ x - b > 1 \end{array}$ 的解集是 $2 < x < 3$ ，则关于 x 的方程 $a x + b = 0$ 的解为.

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15. 在平面直角坐标系中，有一系列的点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ ， $⋯$ ， $P_{n}$ ， $⋯$ 其中每一个点的横坐标是它前一个点的纵坐标的相反数与1的和，纵坐标是它前一个点的横坐标与2的和，即若点 $P_{n} (x, y)$ ，则 $P_{n + 1} (- y + 1, x + 2)$ ，若点 $P_{1}$ 的坐标为 (2， 0)，则点 $P_{2025}$ 的坐标为.

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三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)

16. 计算： $\sqrt{2} (\sqrt{2} - 1) + | \sqrt{2} - 1 | + \sqrt[3]{- 8} + (- 1)^{2025}$ .

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17. 解方程组： ${\begin{array}{l} 6 x + 5 y = 25 \\ 3 x + 2 y = 12 \end{array}$ .

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} \frac{x - 1}{2} \leq \frac{2 x - 1}{3} \\ 2 + x < - x + 6 \end{array}$ ，并把不等式组的解集表示在数轴上.

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四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

19. 近年来，随着自媒体的兴起，潮汕地区各个非遗项目逐渐广为人知，其中包括被誉为“中华歌舞”的英歌舞、剪纸、潮剧、嵌瓷、抽纱等.某校为了解同学们对非遗项目的喜爱程度，随机抽查部分学生进行调查，把同学们最喜爱的项目分成4类，分别是：A（剪纸），B（英歌舞），C（潮剧），D（其他），将分类的调查结果制成如下两幅统计图（尚不完整）.
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、本次抽样的样本容量为；

(2)、补全条形统计图，扇形统计图中表示“D类”的扇形圆心角的度数为 ▲ ；

(3)、若该校有1000名学生，估计最喜爱英歌舞的学生有多少名？

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20. 已知：如图， $A B ∥ D E$ ， $∠ E = ∠ B$ .

(1)、证明 $∠ E A C = ∠ C$ .

(2)、若 $A B ⊥ A C$ ，垂足为点A， $∠ E D B = 12 0^{°}$ ，求 $∠ E A C$ 的度数.

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21. 根据以下信息，探索完成任务：

素材1	某酒店提供三种标准房供顾客入住；单人间、双人间、三人间，已知三人间每间每晚400元；
素材2	4间单人间和3间双人间每晚共需付房费1700元， 3间单人间和4间双人间每晚共需要付房费1800元.
素材3	某旅游团共33人入住该酒店时，由于正值游客高峰期，该酒店双人间均已住满，只剩下单人间和三人间.
问题解决
⑴任务1	单人间和双人间每晚每间房费分别是多少元？
⑵任务2	该旅游团为节省经费，安排每间客房均住满，且计划每晚总房费不超过4800元，则该旅游团有哪几种入住方案？

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五、解答题(三)(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分)

22. 阅读材料，完成下列任务：
【材料一】 $∵ 4 < 6 < 9$ ， $∴ \sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9}$ ，即 $2 < \sqrt{6} < 3$ ， $∴ \sqrt{6}$ 的整数部分为 2，小数部分为 $\sqrt{6} - 2$ .
【材料二】若正方形面积为 105，则它的边长为 $\sqrt{105}$ . 我们可以按照以下方法求得 $\sqrt{105}$ 近似值：
$∵ 100 < 105 < 121$ ， $∴ \sqrt{100} < \sqrt{105} < \sqrt{121}$ ，即 $10 < \sqrt{105} < 11$ ，
$∴$ 设 $\sqrt{105} = 10 + x$ ，其中 $0 < x < 1$ ，
如图 1，画出边长为 $10 + x$ 的正方形，根据图中面积，得 $1 0^{2} + 2 \times 10 x + x^{2} = 105$ ，
$∵ x^{2}$ 较小，
$∴$ 忽略 $x^{2}$ ，得： $1 0^{2} + 2 \times 10 x \approx 105$ ，解得 $x \approx 0.25$ ， $∴ \sqrt{105} = 10 + x \approx 10.25$ .
【探究问题】

(1)、利用材料一中的方法， $\sqrt{31}$ 的整数部分是，小数部分是；

(2)、利用材料二中的方法，探究 $\sqrt{149}$ 的近似值（要求写出求解过程，结果精确到 0.01）；

(3)、【思维拓展】
a是 $\sqrt{17} - 1$ 的小数部分，b是 $6 - \sqrt{17}$ 的小数部分，则 $(a + b)^{2025}$ 的值是多少？

(4)、探究 $\sqrt{223}$ 的近似值，直接写出结果： $\sqrt{223} \approx$ （结果精确到 0.01）

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23. 【问题背景】
综合与实践活动课上，林老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动.
如图1，已知直线 $A B ∥ C D$ ，三角板 $P Q R_{1}$ 和三角板 $M N R_{2}$ 中， $∠ R_{1} = ∠ R_{2} = 9 0^{°}$ ， $∠ P = 3 0^{°}$ ， $∠ Q = 6 0^{°}$ ， $∠ M = ∠ N = 4 5^{°}$ .

(1)、【探索发现】
如图2，林老师指导同学们摆放三角板 $P Q R_{1}$ ，使得三角形的顶点P、Q分别落在直线AB和CD上，则 $∠ B P R_{1} + ∠ D Q P =$ .(填写度数)

(2)、如图3，摆放两块三角板，让PQ和MN分别落在直线AB、CD上，且使直角顶点 $R_{1}$ 与 $R_{2}$ 重合（以下称为点R），求 $∠ P R N$ 的度数；

(3)、【迁移运用】
如图4，三角板 $P Q R_{1}$ 和三角板 $M N R_{2}$ 仍按原位置摆放，转动两条平行线，使AB与NR交于点E，CD与PQ交于点F，若 $∠ A E N = α$ ， $∠ C F P = β$ ，请求出 $α$ 和 $β$ 的数量关系；

(4)、【拓展创新】
在图3的基础上，三角板 $P Q R_{1}$ 和三角板 $M N R_{2}$ 分别绕点R旋转，设运动时间为t秒 $(t > 0)$ ，
① 三角板 $P Q R_{1}$ 绕点R顺时针每秒 $5^{°}$ 旋转半周（即 $0 < t \leq 36$ ），存在三角板 $P Q R_{1}$ 的一条边与直线AB平行，请直接写符合条件的t值；
② 在①的条件下，三角板 $M N R_{2}$ 绕点R逆时针每秒 $1 0^{°}$ 旋转一周（即 $0 < t \leq 36$ ），两块三角板同时开始旋转并同时结束. 在旋转过程中，存在射线RN、RQ、RP，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值.

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