内蒙古自治区2025年中考数学真题试卷

试卷更新日期：2025-07-03 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利 $100$ 元记作 $+ 100$ 元，则亏损 $200$ 元应记作（）

A、 $+ 200$ 元 B、 $- 200$ 元 C、 $+ 100$ 元 D、 $- 100$ 元

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2. 下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 \geq 0 \\ x < 3 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 的顶点坐标分别是 $O (0, 0)$ ， $A (2, 1)$ ， $B (1, 2)$ ，以原点 $O$ 为位似中心，在第三象限画 $△ O A' B'$ 与 $△ O A B$ 位似，若 $△ O A' B'$ 与 $△ O A B$ 的相似比为 $2 : 1$ ，则点 $A$ 的对应点 $A'$ 的坐标为（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- 4, - 2)$ C、 $(- 1, - 2)$ D、 $(- 2, - 4)$

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5. 如图， $A B C D$ 是一个矩形草坪，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $H$ 是 $B C$ 边的中点，连接 $O H$ ，且 $O H = 20 m$ ， $A D = 30 m$ ，则该草坪的面积为（）

A、 $2400 m^{2}$ B、 $1800 m^{2}$ C、 $1200 m^{2}$ D、 $600 m^{2}$

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6. 如图，直线 $A B ∥ C D$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在直线 $A B$ ， $C D$ 上，连接 $E F$ ，以点 $E$ 为圆心，适当长为半径画弧．交射线 $E A$ 于点 $M$ ，交 $E F$ 于点 $N$ ，再分别以点 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在 $∠ A E F$ 的内部相交于点 $H$ ，画射线 $E H$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，若 $∠ A E F = 80 °$ ，则 $∠ E G F$ 的度数为（）

A、 $100 °$ B、 $80 °$ C、 $50 °$ D、 $40 °$

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7. 在闭合电路中，通过定值电阻的电流 $I$ （单位：A）是它两端的电压 $U$ （单位： $V$ ）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为 $15 V$ 时，通过它的电流为（）

A、 $12 A$ B、 $8 A$ C、 $6 A$ D、 $4 A$

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8. 已知点 $A (m, y_{1})$ ， $B (m + 1, y_{2})$ 都在反比例函数 $y = - \frac{3}{x}$ 的图象上，则下列结论一定正确的是（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} < y_{2}$ C、当 $m < 0$ 时， $y_{1} < y_{2}$ D、当 $m < - 1$ 时， $y_{1} < y_{2}$

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二、填空题

9. 在单词 $c l a s s$ （班级）中随机选择一个字母，则选中字母“ $s$ ”的概率是．

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10. 冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿 $m$ 根大串和 $n$ 根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为．

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11. 如图，因地形原因，湖泊两端 $A$ ， $B$ 的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面 $90 m$ 的点 $C$ 处．从 $C$ 点测得 $A$ 点的俯角为 $60 °$ ，测得 $B$ 点的俯角为 $30 °$ （ $A$ ， $B$ ， $C$ 三点在同一竖直平面内），则湖泊两端 $A$ ， $B$ 的距离为 $m$ （结果保留根号）．

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12. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4 \sqrt{5}$ ，对角线 $B D$ 的长为 $16$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点， $F$ 是 $B D$ 上一点，连接 $E F$ ．若 $B F = 3$ ，则 $E F$ 的长为．

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三、解答题

13. 计算：

(1)、 $| - 5 | + \sqrt{4} + (- 6) \times \frac{1}{3}$ ；

(2)、 $\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x}{x^{2} + 2 x + 1}$ ．

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14. 每年的6月6日是全国爱眼日，某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表：
分组
A
B
C
D
E
$1.0 \leq x < 4.2$
$4.2 \leq x < 4.5$
$4.5 \leq x < 4.8$
$4.8 \leq x < 5.1$
$5.1 \leq x \leq 5.3$
人数（频数）
2
8
14
12
4
请根据所给信息，解答下列问题：

(1)、这40名学生视力的中位数落在哪个组内?

(2)、该校八年级共有500名学生．
①根据上表数据，请估计这500名八年级学生的视力在 $4.8 \leq x \leq 5.3$ 范围内的人数；
②从去年同期这500名学生的体检结果中可知，视力在 $4.8 \leq x \leq 5.3$ 范围内的人数为263人．如果你是该校的一名学生，请说明这500名学生今年和去年视力在 $4.8 \leq x \leq 5.3$ 范围内的人数变化情况，并为学校提一条保护学生视力的合理化建议．

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15. 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均 $a$ 秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个?

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16. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，半径 $O C ⊥ A B$ ，垂足为 $O$ ， $O C = 2$ ， $P$ 是 $B A$ 延长线上一点，连接 $C P$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $A D$ ， $∠ O C P = 60 °$ ．过点 $P$ 作 $⊙ O$ 的切线，切点为 $E$ ，交 $C O$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求 $\overset{⌢}{C D}$ 的长；

(2)、求 $∠ D A B$ 的度数；

(3)、求 $c o s ∠ O F P$ 的值．

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17. 问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．

外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线 $L_{1}$ ，中间的矩形 $A B C D$ 和下方的抛物线 $L_{2}$ 组成．抛物线 $L_{1}$ 的高度为 $8 c m$ ，矩形 $A B C D$ 的边 $A B = 8 c m$ ， $B C = 6 c m$ ，抛物线 $L_{2}$ 的高度为 $4 c m$ ．在装置内部安装矩形电子显示屏 $E F G H$ ，点 $E$ ， $F$ 在抛物线 $L_{2}$ 上，点 $H$ ， $G$ 在抛物线 $L_{1}$ 上．

问题解决：
如图2，该小组以矩形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 为原点，以 $A B$ 边所在的直线为 $x$ 轴，以 $A D$ 边所在的直线为 $y$ 轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：

(1)、直接写出 $B$ ， $C$ ， $D$ 三点的坐标；

(2)、直接写出抛物线 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 的顶点坐标，并分别求出抛物线 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 的函数表达式；

(3)、为满足矩形电子显示屏 $E F G H$ 的空间要求，需要 $E H$ 边的长为 $15 c m$ ，求此时 $E F$ 边的长．

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18. 如图， $A B C D$ 是一个平行四边形纸片， $B D$ 是一条对角线， $B D = B C = 5$ ， $C D = 6$ ．

(1)、如图1，将平行四边形纸片 $A B C D$ 沿 $B D$ 折叠，点 $A$ 的对应点落在点 $P$ 处， $P B$ 交 $C D$ 于点 $M$ ．
①试猜想 $P M$ 与 $C M$ 的数量关系，并说明理由；
②求 $△ B D M$ 的面积；

(2)、如图2，点 $E$ ， $F$ 分别在平行四边形纸片 $A B C D$ 的 $A B$ ， $A D$ 边上，连接 $E F$ ，且 $E F ∥ B D$ ，将平行四边形纸片 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，使点 $A$ 的对应点 $G$ 落在 $C D$ 边上，求 $D G$ 的长．

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分组	A	B	C	D	E
分组	$1.0 \leq x < 4.2$	$4.2 \leq x < 4.5$	$4.5 \leq x < 4.8$	$4.8 \leq x < 5.1$	$5.1 \leq x \leq 5.3$
人数（频数）	2	8	14	12	4