相关试卷

1、综合与探究
“幻方”的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶“幻方”，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图1），其对角线、横行、纵向的和都为15．

(1)、探究：如图2是一个“幻方”，则a＝， b＝，c＝；

(2)、拓展：
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数1，3，5，7，9…排列成数阵（如图3），用十字框随机框出5个数，十字框中的五数之和能等于2020吗？并说明理由．

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2、某学校为打造书香校园，计划为学校图书馆购进甲、乙两种课外书．已知甲种课外书每本25元，乙种课外书每本是甲种课外书的2倍，学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最多可以购买多少本乙种课外书？

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3、若不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 1 < a \\ 2 (x + 4) \geq 5 - x \end{array}$ 有三个整数解，则实数 $a$ 的取值范围是．

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4、如果 $\{\begin{cases} x + 2 y = 3 \\ y + 2 z = 5 \\ 2 x + z = 4 \end{cases}$ 则 $x + y + z$ 的值为．

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5、如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A F$ 平分 $∠ E A C$ ，且 $∠ E = 90 °$ ， $\overset{⌢}{A G} = \overset{⌢}{B G}$ ，连接 $A G$ ．

(1)、求证： $E C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A G = 2 \sqrt{2}$ ， $A F = 2 \sqrt{3}$ ，求线段 $A E$ 的长．

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6、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 相交于点O， $∠ A B C = ∠ D A C = 90 °$ ， $\tan ∠ A C B = \frac{1}{2}$ ， $\frac{B O}{O D} = \frac{6}{5}$ ，则 $\tan ∠ A C D$ 的值为．

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7、如图，在菱形 $A B C D$ 中，过点A作 $A E ⊥ C D$ ，垂足E在 $C D$ 的延长线上，过点E作 $E F ⊥ B C$ ，垂足为 $F$ ．若 $A E = 3$ ， $E F = 4$ ，则菱形的边长为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{9 \sqrt{2}}{4}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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8、直线 $y = a x + b$ 与抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，连接 $B D$ ．

(1)、如图1，若 $∠ B A C = 30 °$ ，点 $D$ 在 $A C$ 边上， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $A D = 2$ ，求 $A B$ 的长；

(2)、如图2，若 $∠ B A C = 30 °$ ，点 $D$ 在 $A C$ 边上(点 $D$ 不与点 $A$ ， $C$ 重合)，将射线 $B D$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60 °$ ，在旋转后的射线上取一点 $E$ ，连接 $A E$ ，使得 $A E = B E$ ，过点 $E$ 作 $E G ⊥ A C$ 于点 $G$ ，过点 $D$ 作 $D H ⊥ A B$ 于点 $H$ ，探索线段 $B C$ ， $E G$ ， $D H$ 之间的数量关系，并证明；

(3)、如图3，若点 $D$ 在直线 $A B$ 下方，将线段 $B D$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $B E$ ，连接 $A D$ ， $A E$ ， $∠ E A D = 75 °$ ， $A B = 6$ ，当四边形 $A D B E$ 的面积取最小值时，在直线 $A B$ 上取一点 $P$ ，连接 $D P$ ，将 $△ D B P$ 沿 $B D$ 翻折到四边形 $A D B E$ 所在平面内得到 $△ B D Q$ ，连接 $A Q$ ，当 $A Q$ 取最小值时，请直接写出 $△ A D Q$ 的面积．

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10、某数学兴趣小组在探究函数 $y = |x^{2} - 4 x + 3|$ 的图象和性质时，经历以下几个学习过程：

(1)、列表（完成以下表格）：
$x$
$\dots$
$- 2$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$\dots$
$y_{1} = x^{2} - 4 x + 3$
$\dots$
$15$
$8$

$0$

$0$
$3$

$15$
$\dots$
$y = |x^{2} - 4 x + 3|$
$\dots$
$15$
$8$

$0$

$0$
$3$

$15$
$\dots$

(2)、描点并画出函数 $y = |x^{2} - 4 x + 3|$ 的图象；

(3)、根据图象完成以下问题：
（ $i$ ）数学小组探究发现直线 $y = 8$ 与函数 $y = |x^{2} - 4 x + 3|$ 的图象交于点 $E$ 、 $F$ ， $E (- 1, 8) ， F (5, 8)$ ，则不等式 $|x^{2} - 4 x + 3| > 8$ 的解集是___________；
（ $i i$ ）设函数 $y = |x^{2} - 4 x + 3|$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（ $B$ 位于 $A$ 的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．
①求直线 $B C$ 的解析式；
②探究应用：将直线 $B C$ 沿 $y$ 轴平移 $m$ 个单位后与函数 $y = |x^{2} - 4 x + 3|$ 的图象恰好有 $3$ 个交点，求此时 $m$ 的值．

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11、为落实国家“双减”政策，某中学开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校3000名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题

(1)、参加问卷调查的学生共有_______人；

(2)、条形统计图中m的值为________，扇形统计图中a的度数为_______；

(3)、现从“文学社团”里表现优秀甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．

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12、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 是对角线， $A B < A D$ ．

(1)、尺规作图：在 $A D$ 上找一点E，使 $B E ⊥ A C$ ；（要求：保留作图痕迹，不写作法）

(2)、设 $B E$ 交 $A C$ 于F，若 $A E = B F$ ，求 $sin ∠ A C B$ 的值．

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13、如图， $Rt △ A B C$ 与 $Rt △ D C E$ 中， $∠ A C B = ∠ C D E = 90 °$ ， $A C = B C = 4$ ， $C D = D E = 2 \sqrt{2}$ ， $△ D C E$ 可以绕点C自由转动，连接 $A D, D B$ ，则 $B D + \frac{\sqrt{2}}{2} A D$ 的最小值为．

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14、如图，点A为反比例函数 $y = \frac{18}{x} (x > 0)$ 图象上一点，连接 $O A$ ，点C是x轴上一点，且 $A O = A C$ ，点B在线段 $O A$ 上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点B，若 $△ A B C$ 的面积为12，则k的值为．

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15、如图是两棵小树在同一时刻的影子，那么图①是投影，图②是投影．

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16、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $B C$ 边上，连接 $A E$ 、 $B D$ 交于点 $F$ ， $E F : A F = 3 : 4$ ，连接 $D E$ 、则 $\frac{D E}{C E}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{17}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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17、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B$ 为锐角， $A B = 20$ ， $tan B = \frac{3}{4}$ ．点 $D$ 在边 $A B$ 上， $∠ D C B = ∠ B$ ， $A C$ 的垂直平分线 $l$ 与 $C D$ 交于点 $E$ ，连接 $A E$ ．

(1)、当 $∠ B A C = 90 °$ 时，求 $B C$ 的长．

(2)、①当 $B C$ 长度发生变化时， $△ A D E$ 的周长是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出 $△ A D E$ 的周长．
②当 $A E ⊥ B C$ 时，求 $A E$ 的长．

(3)、如图2， $l$ 与 $B C$ 交于点 $F$ ， $A F$ 与 $C D$ 交于点 $G$ ，当 $F G = F B$ 时，求 $tan ∠ B A E$ 的值．

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18、已知二次函数 $y = a x^{2} - 4 a x + 3$ （ $a$ 为常数）的图象过点 $(1, 0)$ ．

(1)、求该二次函数的表达式和顶点坐标．

(2)、已知 $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{2}, y_{2})$ 为二次函数图象上两点，其中 $1 \leq x_{1} \leq m$ ， $2 \leq x_{2} \leq 2 m$ ．
①当 $m = 2$ 且 $y_{1} + y_{2} = 3$ 时，求点 $P$ 的坐标．
②若 $y_{2}$ 与 $y_{1}$ 的差的最大值为9，求 $m$ 的值．

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19、2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米．小聪和小明两名选手同时从起点出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原速跑到终点．小聪和小明离出发点的路程 $y (km)$ 与出发时间 $x (min)$ 之间的函数关系如图1所示，两人相距的路程 $S (km)$ 与出发时间 $x (min)$ 之间的函数关系如图2所示．

(1)、求小明跑步的速度（单位：千米/分）．

(2)、求图中 $a$ 的值．

(3)、两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值．

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20、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，点 $E$ 在边 $A C$ 上，以 $C E$ 为直径的 $⊙ O$ 恰好过点 $D$ ．

(1)、求证： $A B$ 与 $⊙ O$ 相切．

(2)、当 $A E = E O = 2$ 时，求 $C D$ 的长．

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$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$\dots$
$y_{1} = x^{2} - 4 x + 3$	$\dots$	$15$	$8$		$0$		$0$	$3$		$15$	$\dots$
$y = \|x^{2} - 4 x + 3\|$	$\dots$	$15$	$8$		$0$		$0$	$3$		$15$	$\dots$