第七章命题与证明培优卷一北师大版数学八(上)单元分层测

试卷更新日期：2025-11-12 类型：单元试卷

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一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）

1. 如图，探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经灯碗反射以后平行射出.如果图中∠ABO=α，∠DCO=β，则∠BOC的度数为( )

A、180°-α-β B、α+β C、 $\frac{1}{2}$ (α+β) D、90°+(β-α)

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2. 一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图所示的方式放置.若∠1＝20°，则∠2＝（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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3. 下列选项中，可以用来说明命题 $| a | = a$ 是假命题的反例是（）

A、 $a = 2$ B、 $a = - 4$ C、 $a = 0$ D、 $a = 5$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ C A B = ∠ D A E = 36 °$ ， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ．连接 $C D$ ，连接 $B E$ 并延长交 $A C$ ， $A D$ 于点 $F$ ， $G$ ．若 $B E$ 恰好平分 $∠ A B C$ ，则下列结论 $①$ $∠ A D C = ∠ A E B$ ； $②$ $C D ∥ A B$ ； $③$ $D E = G E$ ； $④$ $C D = B E$ 中，正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）

5. 如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠E＝57°，∠AFC＝63°，则∠BAF的度数为.

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6. “爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏.千门万户曈曈日，总把新桃换旧符.”春节将至，置办年货是中国寻常百姓家不可或缺的大事.小明随妈妈去置办年货，购买了灯笼、窗花、坚果，其中灯笼每只20元，窗花每张8元，坚果每包150元，若小明和妈妈一共用了428元（三种年货都有购买），则最多能买灯笼只.

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7. 2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“ $π$ 节”．附中今年“ $π$ 节”策划了五个活动，规则如下：
“ $π$ 节”活动规则
·活动前每人先发放两枚“ $π$ 币”
·每参与一个活动消耗两枚“ $π$ 币”
·没有“ $π$ 币”不能参与活动
·每个活动至多参与一次
·挑战成功，按右表发放奖励
·挑战失败，谢谢参与
活动名称
奖励的“ $π$ 币”数量/枚
数独
4
魔方
4
华容道
6
鲁班锁
6
汉诺塔
8
小达参与了所有活动．
（1）若小达只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为；
（2）若小达共挑战成功两个，且他参与的第四个活动成功，则小达最终剩下的“ $π$ 币”数量的所有可能取值为

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三、解答题（共7题；共61分)

8. 如图，点E在平行线AB，CD之间，且在线段AC的左侧.

(1)、求证：∠BAE+∠ECD+∠AEC=360°.

(2)、若点E向右移动到线段AC的右侧，此时∠BAE，∠AEC，∠ECD之间的关系仍然满足(1)中的结论吗?若满足，给出证明；若不满足，请你写出正确的结论并证明.(要求：画出相应的图形)

(3)、继续移动点E的位置，还能得到哪些新论断?写出你的论断.

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9. （1）如图1， $A B ∥ C D$ ， $∠ P A B = 140 °$ ， $∠ P C D = 130 °$ ．求 $∠ A P C$ 度数；
（2）如图2， $A D ∥ B C$ ，点 $P$ 在射线 $O M$ 上运动，当点 $P$ 在 $A$ ， $B$ 两点之间运动时， $∠ A D P = ∠ α$ ， $∠ B C P = ∠ β$ ．则 $∠ C P D$ ， $∠ α$ ， $∠ β$ 之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点 $P$ 在 $A$ ， $B$ 两点外侧运动时（点 $P$ 与点 $A$ ， $B$ ， $O$ 三点不重合），请你写出 $∠ C P D$ ， $∠ α$ ， $∠ β$ 之间的数量关系，并说明理由．

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10. 【思维启迪】
（1）如图1， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，延长 $A D$ 到点 $E$ ．使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ，则 $A C$ 与 $B E$ 的数量关系为________，位置关系为________．
【思维应用】
（2）如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 为 $△ A B C$ 内一点，连接 $A D$ ， $D C$ ，延长 $D C$ 到点 $E$ ，使 $C E = C D$ ，连接 $B E$ ，若 $A D ⊥ B E$ ，请用等式表示 $A B$ ， $A D$ ， $B E$ 之间的数量关系，并说明理由；
【思维探索】
（3）如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A C = B C$ ，点 $D$ 为 $A B$ 中点，点 $E$ 在射线 $D B$ 上（点 $E$ 不与点 $B$ ，点 $D$ 重合），连接 $C E$ ，过点 $B$ 作 $B F ⊥ C E$ ，垂足为点 $F$ ，连接 $F D$ ．若 $C B = \sqrt{29}$ ， $B F = 2$ ，请直接写出 $F D$ 的长．

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11. 如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．

(1)、求证：AB $/ /$ DE．

(2)、写出线段AP的长（用含t的式子表示）．

(3)、连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．

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12. 如图①，已知AD∥BC，∠B=∠D=120°．
（1）请问：AB与CD平行吗？为什么？
（2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．
（3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC= $\frac{1}{2}$ ∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）．

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活动名称	奖励的“ $π$ 币”数量/枚
数独	4
魔方	4
华容道	6
鲁班锁	6
汉诺塔	8

第七章 命题与证明培优卷一北师大版数学八(上)单元分层测

一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）

二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）

三、解答题（共7题；共61分)

第七章命题与证明培优卷一北师大版数学八(上)单元分层测