第五章二元一次方程组培优卷一北师大版数学八(上)单元分层测

试卷更新日期：2025-11-12 类型：单元试卷

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一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的)

1. 《九章算术》中记载一题目，译文如下，今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；
每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为 $x$ 人，物价为 $y$ 钱，
以下列出的方程组正确的是（　　）

A、 ${\begin{array}{l} y - 8 x = 3 \\ y - 7 x = 4 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y - 8 x = 3 \\ 7 x - y = 4 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 8 x - y = 3 \\ y - 7 x = 4 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 8 x - y = 3 \\ 7 x - y = 4 \end{array}$

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2. 某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产 $5 %$ ，小麦超产 $15 %$ ，设该农场去年实际生产玉米x吨、小麦y吨，则所列方程组正确的是（　　）

A、 $\{\begin{matrix} x + y = 200 \\ (1 + 5 %) x + (1 + 15 %) y = 225 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} x + y = 225 \\ (1 - 5 %) x + (1 - 15 %) y = 200 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} x + y = 225 \\ \frac{x}{1 - 5 %} + \frac{y}{1 - 15 %} = 225 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} x + y = 225 \\ \frac{x}{1 + 5 %} + \frac{y}{1 + 15 %} = 200 \end{matrix}$

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3. 已知关于x，y的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} a x + b y = 3 \\ c x + d y = 4 \end{matrix}$ 的解为 $\{\begin{matrix} x = - 5 \\ y = 1 \end{matrix}$ ，且 $\{\begin{matrix} a (3 m + n) + b (m + 3 n) = 3 \\ c (3 m + n) + d (m + 3 n) = 4 \end{matrix}$ ，则 ${(m + n)}^{2024}$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、0 D、2024

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4. 《九章算术》中有这样一个题：今有二马、一牛价过-一万、如半马之价．一马、二牛价不满一万、如半牛之价．问牛、马价各几何？其意思是：今有2匹马、1头牛的总价超过1万钱，其超出的钱数相当于 $\frac{1}{2}$ 匹马的价格，1匹马、2头牛的总价不足1万钱，所差的钱数相当于 $\frac{1}{2}$ 头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？设每匹马的价格为x万钱，每头牛的价格为y万钱，则可建立方程组为（）

A、 $\{\begin{array}{l} 2 x + y = 1 - \frac{1}{2} x, \\ x + 2 y = 1 - \frac{1}{2} y \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 2 x + y = 1 + \frac{1}{2} x, \\ x + 2 y = 1 + \frac{1}{2} y \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} 2 x + y = 1 - \frac{1}{2} x, \\ x + 2 y = 1 + \frac{1}{2} y \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 2 x + y = 1 + \frac{1}{2} x, \\ x + 2 y = 1 - \frac{1}{2} y \end{array}$

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5. 已知方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = - 3 \\ x - 2 y = - 3 \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 1 \end{array}$ ，则函数y=2x+3与 $y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ 的交点坐标为（）｡

A、（1，5） B、（-1，1） C、（1，2） D、（4，1）

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6. 在平面直角坐标系中，对于点 $A (x ， y)$ ，若点 $A'$ 坐标为 $(a x + y ， x + a y) ($ 其中 $a$ 为常数，且 $a \neq 0)$ ，则称点 $A'$ 是点 $A$ 的“ $a$ 属派生点” $.$ 例如，点 $P (4 ， 3)$ 的“ $2$ 属派生点”为 $P' (2 \times 4 + 3 ， 4 + 2 \times 3)$ ，即 $P' (11 ， 10)$ 若点 $Q$ 的“ $3$ 属派生点 $’$ 是点 $Q' (- 7 ， - 5)$ ，则点 $Q$ 的坐标为（）

A、 $(- 26 ， - 22)$ B、 $(- 22 ， - 26)$ C、 $(- 2 ， - 1)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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7. 若关于x、y的二元一次方程组 ${\begin{cases} x - y = 2 m + 1 \\ x + 3 y = 3 \end{cases}$ 的解满足x+y＝1，则m的值为（　　）

A、-1 B、-4 C、1 D、-2

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8. 我们规定： $[m]$ 表示不超过 $m$ 的最大整数，例如： $[3.1] = 3$ ， $[0] = 0$ ， $[- 3.1] = - 4$ ，则关于 $x$ 和 $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} [x] + y = 3.2 \\ x - [y] = [3.2] \end{array}$ 的解为（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 0.2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1.2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 3.3 \\ y = 0.2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 3.4 \\ y = 0.2 \end{array}$

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二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）

9. 如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“和谐方程组”．若关于x，y的方程组 $\{\begin{matrix} x + 3 y = 4 + a \\ x - y = 3 a \end{matrix}$ 是“和谐方程组”，则a的值为．

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10. 已知 $\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \end{matrix}$ 是关于 x、y的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 2 a x - b y = 3 \\ a x + b y = 6 \end{matrix}$ 的解，则 $a + b =$ ．

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11. 已知一次函数 $y = k x + b$ 与 $y = x + 2$ 的图像相交于点 $P (m ， 4)$ ，则关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} k x - y = - b \\ y - x = 2 \end{array}$ 的解是.

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12. 列方程组解题：“今有马二、牛一，直金七两；马三、牛二，直金十二两．马、牛各直金几何？”其大意是：2匹马，1头牛，一共价值7两；3匹马，2头牛，一共价值12两，问每匹马、每头牛各价值多少两？设每匹马 $x$ 两，每头牛 $y$ 两．根据题意，可列方程组为．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $B C = 12$ ，以BC所在直线为x轴，过点A作BC的垂线为y轴建立直角坐标系，D ， E分别为线段AO和线段AC上一动点，且 $A D = C E$ ．当 $B D + B E$ 的值最小时，点E的坐标为．

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三、解答题（共7题；共61分)

14. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{matrix} 2 x + 3 y = 7, \\ m x + n y = 5 \end{matrix}$ 和方程组 ${\begin{matrix} 5 x - 2 y = 8, \\ \frac{n x}{3} + m y = 3 \end{matrix}$ 的解相同.

(1)、求m，n的值.

(2)、求 $3 m - 2 m n + m^{2} - 1$ 的值.

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15. 在“新冠病毒”防控期间，某医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售，两次购进的同一商品进价相同，购进数量和所需费用如表所示：
项目
购进数量（件）
购进所需费用（元）
酒精消毒液
测温枪
第一次
30
40
8300
第二次
40
30
6400

(1)、求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？

(2)、公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件．
①若设购进测温枪m件，该公司销售完上述1000件商品获得的利润为W元，请写出W与m的函数关系式；
②若购买测温枪数量不超过200件，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润．

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16. 今有五雀、六燕，集称之衡.雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处，衡适平.并雀、燕重一斤.问：雀、燕一枚各重几何?(选自《九章算术》， “斤”是我国传统质量单位.)
题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同.已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少?

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17. 如图，直线 $l_{1}$ 的函数表达式为 $y = 2 x - 1$ 与x轴交于点D，直线 $l_{2}$ 与x轴交于点A，与y轴交于点 $(0 ， 5)$ ，直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 交于点 $C (m ， 3)$ ．

(1)、求点C坐标和直线l₂的函数表达式；

(2)、求 $△ A C D$ 的面积；

(3)、 $M$ 为直线 $l_{2}$ 上一动点，且 $S_{△ M A D} = \frac{1}{3} S_{A C D}$ ，请求出点 $M$ 的坐标．

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18. 为了鼓励居民节约用水，某地区决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14m³（含14m³），则每立方米按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14m³ ，则超过部分每立方米按市场价n元收费．小明家3月份用水20m³ ，缴纳水费49元；4月份用水18m³ ，缴纳水费42元．

(1)、每立方米水政府补贴优惠价和市场价分别是多少？

(2)、设每月用水量为x（m³），应缴纳水费为y（元），写出y关于x的函数表达式．

(3)、小明家5月份用水26m³ ，则他家应缴纳水费多少元？

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19. 赵爽在《周髀算经》中介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），并根据该图证明了勾股定理．弦图之美，美在简约而深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”．

(1)、“勾股定理”用文字叙述是__________________；

(2)、类比“赵爽弦图”构造出图2： $△ A B C$ 为等边三角形， $A D$ 、 $B E$ 、 $C F$ 围成的 $△ D E F$ 是等边三角形．点D、E、F分别是 $B E$ 、 $C F$ 、 $A D$ 的中点，若 $△ D E F$ 的面积为2，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、在长方形 $A B C D$ 内部嵌入了3个全等的“赵爽弦图”（如图3），其中点M、N、P、Q分别在长方形的边 $B C$ 、 $C D$ 、 $A B$ 、 $A D$ 上，当 $A B = 34$ ， $B C = 29$ 时，求小正方形的边 $P Q$ 的长度；

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项目	购进数量（件）		购进所需费用（元）
项目	酒精消毒液	测温枪	购进所需费用（元）
第一次	30	40	8300
第二次	40	30	6400

第五章 二元一次方程组培优卷一北师大版数学八(上)单元分层测

一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的)

二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）

三、解答题（共7题；共61分)

第五章二元一次方程组培优卷一北师大版数学八(上)单元分层测