第五章二元一次方程组提升卷一北师大版数学八(上)单元分层测

试卷更新日期：2025-11-12 类型：单元试卷

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一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共 24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的)

1. 二元一次方程x+3y=10的非负整数解共有（　　）对．

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（）

A、 $\{\begin{cases} 8 y - x = 3 \\ 7 y - x = - 4 \end{cases}$ B、 $\{\begin{cases} 8 y - x = 3 \\ 7 y - x = 4 \end{cases}$ C、 $\{\begin{cases} y - 8 x = - 3 \\ 7 y - x = - 4 \end{cases}$ D、 $\{\begin{cases} 8 x - y = 3 \\ 7 x - y = 4 \end{cases}$

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3. 已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y = k + 1 \\ x - 2 y = 9 \end{array}$ 的解互为相反数，则 $k$ 的值是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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4. 解二元一次方程组 $\{\begin{matrix} x + 7 y = - 19 \\ x - 5 y = 17 \end{matrix} ，$ 用代入消元法消去x，得到的方程是（）

A、 $2 y = - 2$ B、 $2 y = - 36$ C、 $12 y = - 2$ D、 $12 y = - 36$

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5. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”其大意为甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊.如果乙给甲9 只羊，那么甲的羊数比乙的羊数多1倍；如果甲给乙9 只羊，那么两人的羊数相同，二人闲坐动脑筋，在地上算了很长时间.请问甲、乙各有多少只羊?设甲有x 只羊，乙有y只羊，则下列说法正确的是 ( )

A、列方程为x+9=2(x-18+9) B、列方程组为 ${\begin{matrix} x - 9 = 2 (y + 9), \\ x + 9 = y - 9 \end{matrix}$ C、列方程组为 ${\begin{matrix} x + 9 = 2 (y - 9), \\ x - 9 = y + 9 \end{matrix}$ D、甲有27只羊，乙有18只羊

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6. 嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆在月球背面南极-艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务。嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样品1935克，表取是钻取的4倍还多310克。若设钻取样品x克，表取样品y克，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{cases} x + y = 1935 \\ 4 x - 310 = y \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} x + y = 1935 \\ 4 x + 310 = y \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} x + y = 1935 \\ 4 x - y = 310 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} x + 4 y = 1935 \\ y - 4 x = 310 \end{cases}$

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7. 若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x，y)都在直线 $y = - \frac{1}{2} x + b - 1$ 上，则常数b=( ).

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、-1 D、1

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8. 如图，直线 $y = x + 3$ 与 $y = a x + b$ 交于点 $P (1 ， 4)$ ，则关于 $x ， y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} y = x + 3 \\ y = a x + b \end{array}$ 的解为（　　）

A、 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 4 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 1 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 5 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 2 \end{array}$

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二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）

9. 已知方程组 ${\begin{array}{l} 5 x + y = 3 \\ m x + 5 y = 4 \end{array}$ 与 ${\begin{array}{l} x - 2 y = 5 \\ 5 x + n y = 1 \end{array}$ 有相同的解，则 ${(m - n)}^{2}$ 的值为.

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10. $8$ 个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为 $2$ 厘米的小正方形．设一个小长方形的长为 $x$ 厘米，宽为 $y$ 厘米，则所列二元一次方程组是．

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11. 已知关于x，y的方程组 $\{\begin{matrix} y = k x + 3 \\ y = 2 x + b \end{matrix}$ 的解为 $\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 \end{matrix}$ ，则一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标为．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = 2 x + 1$ 与直线 $y = - 3 x + m$ 相交于点 $P$ ，若点 $P$ 的横坐标为1，则关于 $x, y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} y = 2 x + 1 \\ y = - 3 x + m \end{matrix}$ 的解是．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别是边 $B C$ 、 $A B$ 的中点．若 $A C = 8, △ A C D$ 的周长为 $22$ ， $△ A D E$ 的周长比 $△ B D E$ 的周长大 $4$ ，则 $B C =_{.}$ ．

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三、解答题（共7题；共61分)

14. 解方程组

(1)、 $\{\begin{array}{l} x + y = 7 \\ 5 x + 3 y = 31 \end{array}$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 13 \\ 4 x + y = 10 \end{array}$ ．

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15. 已知方程（m﹣3）xⁿ^﹣¹+y $m^{2} - 8$ =0是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．

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16. 在计算 $(2 x + a) (x + b)$ 时，甲错把 $a$ 看成了 $- a$ ，得到结果是： $2 x^{2} - 10 x + 12$ ；乙由于漏抄了第一个多项式中 $x$ 的系数，得到结果： $x {}_{2}+ x - 12$ ．

(1)、求出 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，计算 $(2 x + a) (x + b)$ 的结果．

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17. 在平面直角坐标系中，对于点 $A (x, y)$ ，若点 $B$ 的坐标为 $(a x + y, x + a y)$ ，则称点 $B$ 是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且 $a \neq 0$ ），例如，点 $P (1, 4)$ 的“2级开心点”为 $Q (2 \times 1 + 4, 1 + 2 \times 4)$ ，即 $Q (6, 9)$ ．

(1)、若点P的坐标为 $(- 1, 5)$ ，则点P的“3级开心点”的坐标为.

(2)、若点P的“2级开心点”是点 $Q (4, 8)$ ，求点P的坐标；

(3)、若点 $P (m - 1, 2 m)$ 的“ $- 3$ 级开心点” $P^{'}$ 位于坐标轴上，求点 $P^{'}$ 的坐标．

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18. 为了保护环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有 $A 、 B$ 两种型号，其中每台的价格，年省油量如下表：
$A$
$B$
价格（万元/台）
$a$
$b$
节省的油量（万升/年）
2.4
2
经调查，购买一台 $A$ 型车比购买一台 $B$ 型车多20万元，购买2台 $A$ 型车比购买3台 $B$ 型车少60万元．
（1）请求出 $a$ 和 $b$ ；
（2）若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元?

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19. 绿动未来一一追踪碳排放
【素材呈现】
素材一：在对4城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克。
素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施。根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳。
【问题解决】

(1)、问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克?

(2)、问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克。
①求w与a的函数关系式；
②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大。

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20. 如图，已知函数 $y = x + 1$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ ，一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过点 $B (0 ， - 1)$ ，与 $x$ 轴以及 $y = x + 1$ 的图象分别交于点 $C$ ， $D$ ，且点 $D$ 的坐标为 $(1 ， n)$ .

(1)、则 $k =$ ， $b =$ ， $n =$ ；

(2)、关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} y = x + 1 ， \\ y = k x + b \end{array}$ 的解为；

(3)、求四边形 $A O C D$ 的面积；

(4)、在 $x$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得以点 $P$ ， $C$ ， $D$ 为顶点的三角形是直角三角形，请求出点 $P$ 的坐标.

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	$A$	$B$
价格（万元/台）	$a$	$b$
节省的油量（万升/年）	2.4	2

第五章 二元一次方程组提升卷一北师大版数学八(上)单元分层测

一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共 24分，每小题有四个选项，其中只有一个是 正确的)

二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）

三、解答题（共7题；共61分)

第五章二元一次方程组提升卷一北师大版数学八(上)单元分层测

一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共 24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的)