相关试卷

1、根据题目要求，解答下列各题

(1)、如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $B C$ ， $C D$ 上， $∠ E A F = 45 °$ ，直接写出线段 $D F$ ， $E F$ ， $B E$ 的数量关系：______；

(2)、如图2，在正方形 $A B C D$ 中， $Q A$ ， $Q B$ 交 $C D$ 于点 $G$ ， $H$ ，若 $∠ A Q B = 45 °$ ， $C H = 2$ ， $G H = 1$ ，求 $A G$ 的长．

(3)、如图3，在正方形 $A B C D$ 中，点 $F$ 在线段 $D C$ 的延长线上， $C F = A B$ ，过点 $B$ 作 $B P ⊥ A F$ 于点 $P$ ，连接 $C P$ ，求 $\frac{P F - B P}{P C}$ 的值．

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2、在学习了“ $1.4$ 三角形的中位线”后，某数学兴趣小组偶然接触到“梯形中位线”的概念：
如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $C D$ 的中点，连接 $E F$ ，线段 $E F$ 叫做梯形 $A B C D$ 的中位线．
这引起了该小组成员的兴趣，他们随后通过上网获悉梯形中位线具有“平行于梯形上下两底且等于梯形上下两底长度之和的一半”的性质，于是想通过自己的思考来加以证明．
经过充分讨论，聪聪和明明打算通过做辅助线并结合已学的知识来加以证明，他们的大致思路如下：
如图所示，连接 $A F$ 并延长，与 $B C$ 的延长线交于点 $G$ ， ……
请你按照他们的思路继续证明： $E F ∥ A D ∥ B C, E F = \frac{1}{2} (A D + B C)$ ．

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3、如图，已知四边形 $A B C D$ 是等腰梯形，且 $A D ∥ B C, A B = D C$ ，试运用所学知识证明： $∠ B = ∠ C$ ．
提示：可作辅助线构造平行四边形．

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4、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A$ 的位置在网格点上，将点 $A$ 向下平移 $6$ 个单位到点 $C$ ，点 $B$ 的坐标为 $(2, 1)$ ．

(1)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中画出 $△ A B C$ ，并直接写出 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若点 $D$ 在 $y$ 轴上，且 $△ A B D$ 的面积等于 $△ A B C$ 面积的一半，直接写出点 $D$ 的坐标．

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5、如下图1，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（正方形 $A B C D$ ），测得其对角线 $B D = 10 \sqrt{2}$ ，利用四边形的不稳定性将其变形为如下图2所示的四边形 $A B C D$ ，且 $∠ A B C = 60 °$ ，则下图2中四边形 $A B C D$ 的面积为．

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6、如图所示， $▱ O M N P$ 的顶点P坐标是 $(2, 3)$ ，顶点M坐标是 $(4, 0)$ ，则顶点N坐标是；

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7、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $C D$ ， $B C$ 的中点，若 $A C = 18$ ，则 $E F$ 的长度为．

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8、在 $▱ A B C D$ 中，边 $A B, B C, C D$ 的长度分别为 $2 x + 1, 3 x - 1, x + 5$ ，则 $▱ A B C D$ 的周长为．

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9、如果正多边形的一个内角为 $135 °$ ，那么它的边数是．（填数字）

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10、如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别为AD，DC边上的点，且EF＝4，点G为EF的中点，点P为BC的中点，则PG的最小值为（　　）

A、4 B、3 C、2 $\sqrt{5}$ D、2

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11、如图，在平面直角坐标系中， $A (1, 1), B (- 1, 1), C (- 1, - 2), D (1, - 2)$ ，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点 $A$ 处，并按 $A - B - C - D - A$ ……的规律绕在四边形 $A B C D$ 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(- 1, - 2)$ C、 $(0, - 2)$ D、 $(1, - 2)$

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12、小美同学按如下步骤作四边形 $A B C D$ ：（1）画 $∠ M A N$ ；（2）以点 $A$ 为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交 $A M, A N$ 于点 $B, D$ ；（3）分别以点 $B, D$ 为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接 $B C$ ， $C D$ ， $B D$ ．若 $∠ A = 54 °$ ，则 $∠ C B D$ 的度数为（）

A、 $63 °$ B、 $64 °$ C、 $65 °$ D、 $66 °$

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13、下列四边形中，不一定为矩形的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C$ 和 $∠ B C D$ 的平分线交于 $A D$ 边上一点 $E$ ，且 $B E = 8, C E = 6$ ，则 $A B$ 的长是（）

A、5 B、6 C、8 D、10

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15、如图，已知在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O$ ，若 $A B = 5, A C = 7, B D = 12$ ，则 $△ O C D$ 的周长为（）

A、13 B、 $13.5$ C、14 D、 $14.5$

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16、将一个 $n$ 边形增加一条边，变成 $(n + 1)$ 边形（ $n \geq 3$ 且 $n$ 为整数），其内角和将（）

A、减少 $180 °$ B、不变 C、增加 $180 °$ D、增加 $360 °$

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17、下列图形中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、综合与实践
在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是对角线 $A C$ 上的动点（与点A，C不重合），连接 $B E$ ．

(1)、将射线 $B E$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $45 °$ ，交直线 $A C$ 于点 $F$ ，如图1所示．
小研通过观察、实验，发现线段 $A E ， F C ， E F$ 存在以下数量关系： $A E^{2} + F C^{2} = E F^{2}$ ．
小研想证明这个发现成立，于是与同学们进行交流讨论，得到以下两种思路：
思路1：将线段 $B F$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $B M$ ，连接 $A M$ ， $E M$ ，如图2．
要证 $A E$ ， $F C$ ， $E F$ 的数量关系，只需证 $A E$ ， $A M$ ， $E M$ 满足对应的数量关系即可．
思路2：将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 翻折，得到 $△ N B E$ ，要证 $A E$ ， $F C$ ， $E F$ 的关系，只需证 $E N$ ， $F N$ ， $E F$ 的关系．
①如图2，请你从上面的思路1，证明： $A E^{2} + F C^{2} = E F^{2}$ 成立；
②请你根据上面的思路2去补全图（在图1中补全图），并证明 $A E^{2} + F C^{2} = E F^{2}$ 成立．

(2)、如图3，若将直线 $B E$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $135 °$ ，交直线 $A C$ 于点 $F$ ．小研补全图后发现，若正方形的长为 $2$ ， $A E : E C = 2 : 3$ ，则 $A E$ 的长为多少？（直接写出答案）

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19、综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 $A (- 2, 0), B (6, 0)$ ．现将线段 $A B$ 向上平移4个单位，再向右平移2个单位，得到线段 $C D$ ，点A，B的对应点分别为点D，C．连接 $A D$ 、 $B C$ ．

(1)、【初步感知】如图①，求点C，D的坐标及四边形 $A B C D$ 的面积；

(2)、【深入探究】点 $P$ 在 $y$ 轴上，当 $△ P A B$ 的面积与四边形 $A B C D$ 的面积相等时，求出点 $P$ 的坐标；

(3)、【拓展应用】如图②，点 $M$ 是直线 $B C$ 上的一个动点，连接 $M D$ ， $M O$ ，当点 $M$ 在直线 $B C$ 上移动时（不与B，C重合），直接写出 $∠ C D M, ∠ B O M, ∠ D M O$ 之间满足的数量关系．

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20、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = C D$ ， $M$ 、 $N$ 、 $P$ 分别是 $A D$ 、 $B C$ 、 $B D$ 的中点， $∠ A B D = 20 °, ∠ B D C = 70 °$ ．

(1)、求证： $△ P M N$ 是等腰三角形：

(2)、求 $∠ P M N$ 的度数．

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