相关试卷

1、新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下：
$f (- 2) = - 2 - 1 = - 3$ ， $f (- 1) = - 1 - 1 = - 2$ ，
$f (0) = 0 - 1 = - 1$ ， $f (1) = 1 - 1 = 0$ ， $f (2) = 2 - 1 = 1$ ，
……
新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下：
$g (- \frac{1}{3}) = 3$ ， $g (- \frac{1}{2}) = 2$ ， $g (\frac{1}{2}) = - 2$ ， $g (\frac{1}{3}) = - 3$ ，
……
利用以上规律计算：

(1)、 $f (- 8) =$ ______， $g (\frac{1}{8}) =$ ______；

(2)、计算： $f (m^{2}) - f (m n - n^{2}) + g (\frac{1}{m^{2} - m n}) + g (\frac{1}{n^{2} - 6})$ ．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ， $E F ⊥ B C$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ．请证明： $A B ∥ D G$ ．

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3、某小型植物可能开出多种颜色的花朵，为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的5个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，种植在劳动实践基地，最后统计各组数据，进行实验研究．
各组植株总数量m
100
150
200
300
500
开红花的植株数量n
39
54
82
120
b
出现红花的频率 $\frac{n}{m}$
0.39
a
0.41
0.40
0.40

(1)、填空： $a =$ ________， $b =$ ________；

(2)、当试验次数很大时，频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是概率的估计值．根据表中数据，可估计这种植物开红花的概率为________；

(3)、若要得到320株开红花的植株，试估计要准备种植多少株该种植物幼苗？

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4、先化简，再求值： $[(2 m + n) (m + 8 n) - {(3 m - 2 n)}^{2} + (m - 2 n) (m + 2 n)] \div (- 2 m)$ ，其中 ${(m - 1)}^{2} + |n - 2| = 0$ ．

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5、计算：

(1)、 $- 12 x^{3} y^{4} \cdot {(- x y)}^{2} \div (- 3 x^{2} y^{3})$ ；

(2)、 $4 {(2 x - 1)}^{2} - (4 x - 1) (4 x + 1) - 5$ ．

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6、如图， $A B ∥ C D, ∠ A = 120 °$ $∠ C = 100 °$ ，则 $∠ A E C =$ ．

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7、在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得 $(x^{2} - 3 x + 11) \div (x + 2)$ 的商式为 $x - 5$ ，余式为22，如图所示．运用此方法，那么 $(3 x^{3} + 2 x^{2} + x + 5) \div (x + 1)$ 的商式为，余式为．

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8、如图1是 $A D ∥ B C$ 的一张纸条，按图示方式把这一纸备先沿 $E F$ 折叠并压平，再沿 $B F$ 折叠并压平，若图3中 $∠ C F E = 24 °$ ，则图2中 $∠ A E F$ 的度数为（）

A、 $112 °$ B、 $68 °$ C、 $48 °$ D、 $136 °$

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9、如图， $A B ∥ C D$ ，将一副直角三角板作如下摆放， $∠ G E F = 60 °$ ， $∠ M N P = 45 °$ ．下列结论：① $G E ∥ M P$ ；② $∠ E F N = 150 °$ ；③ $∠ B E F = 65 °$ ；④ $∠ A E G + ∠ P M N + ∠ G P M = 180 °$ ．其中正确的是（）

A、①② B、①②③ C、②③④ D、①②④

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10、图1是《天工开物》中记载的我国古代的提水工具“桔槔”，图2是其简易装置图，则与 $∠ 1$ 构成同位角的是（）

A、 $∠ 5$ B、 $∠ 4$ C、 $∠ 3$ D、 $∠ 2$

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11、下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）

A、 $(2 x - y) (2 x + y)$ B、 $(b - a) (b + a)$ C、 $(- x + y) (x - y)$ D、 $(x - y) (- y - x)$

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12、据央视新闻2021年10月26日报道，我国成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”．截至报道时，根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”任务时，全球其他最快的超级计算机用时 $2.3 s$ 的计算量，“祖冲之二号”用时大约为 $0.00000023 s$ ．将0.00000023用科学记数法表示为（）

A、 $2.3 \times 10^{- 6}$ B、 $2.3 \times 10^{- 7}$ C、 $0.23 \times 10^{- 6}$ D、 $23 \times 10^{- 8}$

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13、下列运算正确的是（　　）

A、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$ B、 $a^{5} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(- 3 a^{3})}^{2} = 6 a^{6}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$

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14、【问题情境】在矩形纸片 $A B C D$ 中，点E是 $B C$ 边上一动点，连接 $A E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折叠得到 $△ A M E$ ，并展开铺平．
【操作探究】

(1)、如图1，若点M落在 $A D$ 边上，则四边形 $A B E M$ 的形状是_________．

(2)、若点M落在矩形内部．
①如图2，过点B作 $B H ⊥ A M$ ，垂足为H，交 $A E$ 于点F，连接 $F M$ 、请判断四边形 $B E M F$ 的形状，并说明理由．
②如图3，E，F为 $B C$ 边的三等分点，且点E在点F的左侧，连接 $F M$ 并延长，交 $A D$ 边于点G．试判断线段 $A G$ 与 $D G$ 的数量关系，并说明理由．

(3)、若 $A B = 4$ ， $B C = 8$ ，当以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出 $B E$ 的长．

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15、
综合与实践：壮美广西·绿色出行
【背景情境】为响应绿城南宁绿色出行号召，助力广西生态旅游发展，某校数学实践小组针对某款新能源汽车，开展“充电”与“续航”相关实验，调研南宁周边热门旅游线路出行情况．
【实验数据】
实验I：探究电池充电状态下，仪表盘增加的电量 $y (%)$ 与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1；实验Ⅱ：探究行驶过程中，仪表盘显示剩余电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2；
表1：
表2：
电池充电状态
时间t（分钟）
0
10
15
40
增加的电量 $y (%)$
0
20
30
80
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米）
0
100
160
200
显示剩余电量 $e (%)$
100
70
52
40
【建立模型】
（1）表1、表2中的函数关系均可近似看为一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）．
y关于t的函数表达式为_________，e关于s的函数表达式为_________
【解决问题】
（2）五一假期，小聪一家驾驶该款新能源汽车，从南宁出发前往约450千米的贺州黄姚古镇，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，全程保持匀速行驶，单位里程耗电量恒定．其显示剩余电量 $e (%)$ 和已行驶里程数s（千米）的变化关系如下图所示：
①该车到达贺州黄姚古镇时，显示剩余电量e为_________%；该车进入服务区充电前显示剩余电量e为_________%．
②当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点多少千米？
③若电量低于 $20 (%)$ 时，仪表盘亮起黄灯．为了保证仪表盘不亮黄灯，该车在服务区至少需要充电多少分钟？

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16、细心观察图形，认真分析各式，然后解答下面问题：
$O A_{2}^{2} \approx {(\sqrt{1})}^{2} + 1 = 2$ ， $S_{1} = \frac{\sqrt{1}}{2}$ （ $S_{1}$ 是 $Rt △ A_{1} A_{2} O$ 的面积）；
$O A_{3}^{2} \approx {(\sqrt{2})}^{2} + 1 = 3$ ， $S_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ （ $S_{2}$ 是 $Rt △ A_{2} A_{3} O$ 的面积）；
$O A_{4}^{2} = {(\sqrt{3})}^{2} + 1 = 4$ ， $S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ （ $S_{3}$ 是 $Rt △ A_{3} A_{4} O$ 的面积）；……

(1)、请你直接写出 $O A_{7}^{2} =$ _________， $S_{7} =$ _________；

(2)、请用含有n（n为正整数）的式子填空： $O A_{n}^{2} =$ _________， $S_{n} =$ _________．

(3)、我们已经知道 $(\sqrt{13} + 3) (\sqrt{13} - 3) = 4$ ，因此将 $\frac{8}{\sqrt{13} - 3}$ 分子、分母同时乘以 $(\sqrt{13} + 3)$ ，分母就变成了4，请仿照这种方法求 $\frac{1}{S_{1} + S_{2}} + \frac{1}{S_{2} + S_{3}} + \frac{1}{S_{3} + S_{4}} + \dots + \frac{1}{S_{2024} + S_{2025}}$ 的值．

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17、如图，已知直线 $y = k x + b$ 经过点 $A (- 6, 0)$ ， $B (- 1, 5)$ ，直线 $y = - 2 x + a$ 与直线 $A B$ 相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为 $- 3$ ．

(1)、求直线 $A B$ 的表达式和a的值；

(2)、若点P在线段 $A B$ 上，且 $S_{△ A D P} = 9$ ，求点P的坐标．

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18、图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得 $A B = 8 dm$ ， $B C = 9 dm$ ， $C D = 12 dm$ ， $A D = 17 dm$ ，其中 $A B$ 与 $B D$ 之间由一个固定为 $90 °$ 的零件连接（即 $∠ A B D = 90 °$ ）

(1)、求线段 $B D$ 的长度；

(2)、安全标准规定：需满足 $B C ⊥ C D$ ，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由．

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19、如图，已知 $Rt △ A B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ．

(1)、尺规作图：作线段 $A C$ 的垂直平分线l交 $A C$ 于点O；连接 $B O$ 并延长，在 $B O$ 延长线上截取 $O D$ ，使得 $O D = O B$ ，连接 $A D$ ， $C D$ ；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形．

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20、计算、化简求值

(1)、计算： $\sqrt{9} - 2^{0} + |- \sqrt{3}|$ ；

(2)、先化简，再求值： $(\frac{x}{x - 1} - 1) \div \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = \sqrt{5} - 1$ ．

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各组植株总数量m	100	150	200	300	500
开红花的植株数量n	39	54	82	120	b
出现红花的频率 $\frac{n}{m}$	0.39	a	0.41	0.40	0.40