相关试卷

1、下列各数中，是无理数的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、3.14 C、 $\sqrt{9}$ D、 $- \frac{11}{6}$

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2、综合与探究

(1)、【初步感知】如图1， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，点 $E$ 在 $A C$ 边上，且 $A E = \frac{1}{2} C E$ ，连接 $B E$ 交 $A D$ 于点 $G$ ，过点 $D$ 作 $D H ∥ A C$ 交 $B E$ 于点 $H$ ，则 $\frac{B G}{G E}$ 的值为___________；

(2)、【尝试应用】如图2，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为 $A C$ 边上一点，且 $A D = A B$ ，连接 $B D$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B D$ 于点 $E$ ，延长 $A E$ 交 $B C$ 边于点 $F$ ．若 $A D = 6, C D = 2, A F = 5$ ，求 $A E$ 的长；

(3)、【问题解决】如图3，某市有一处形状为 $▱ A B C D$ 的物流中心，现计划在 $B C$ 边上设立一处装卸点 $E$ ，点 $E$ 为 $B C$ 边的中点，并在 $C D$ 边上找一点 $F$ ，设立一个仓库，使得 $\frac{C F}{C D} = \frac{1}{3}$ ，沿 $A E$ 、 $B F$ 铺设两条水泥路，连接 $A C$ ， $B F$ 与 $A E$ 、 $A C$ 分别交于点 $G$ 、 $M$ ，并在点 $G$ 、 $M$ 处设立临时中转站，你能帮助工作人员求出 $\frac{B G}{M G}$ 的值吗？如果能，请直接写出 $\frac{B G}{M G}$ 的值（水泥路宽度及中转站、装卸点、仓库大小均忽略不计）．

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3、如图，E是矩形 $A B C D$ 的边 $C B$ 上的一点， $A F ⊥ D E$ 于点F．

(1)、证明： $△ A F D ∽ △ D C E$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $A D = 2$ ， $C E = 1$ ，则点A到直线 $D E$ 的距离为______．

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4、2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．

(1)、求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率；

(2)、该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？

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5、用适当的方法解方程：

(1)、 $4 x^{2} = 9$ ；

(2)、 $x (x - 3) = 5 (x - 3)$ ；

(3)、 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ ；

(4)、 $6 x^{2} - 7 x + 1 = 0$ ．

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6、如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 $A$ 、 $C$ 都在格点上，点 $B$ 是线段 $A C$ 与网格线的交点，则 $A B$ 的长为．

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7、古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $(\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618)$ ，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为 $100 cm$ ，则其身高约是厘米．（精确到 $1 cm$ ）

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8、若 $x = 1$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} + a x + 2 b = 0$ 的解，则 $3 a + 6 b$ 的值为．

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9、若已知 $\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{x}{x + y}$ 的值为．

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10、一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = - 5$ B、 $x_{1} x_{2} = 6$ C、 $x_{1} x_{2} = 5$ D、 $x_{1} + x_{2} = 6$

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11、下列四组线段中，是成比例线段的一组是（）

A、 $a = 1, b = 2, c = 4, d = 6$ B、 $a = 4, b = 6, c = 6, d = 8$ C、 $a = 5, b = 6, c = 7, d = 10$ D、 $a = 1$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = \sqrt{3}$ ， $d = \sqrt{6}$

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12、一元二次方程3x²-x-2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )

A、3，-1，-2 B、3，1，-2 C、3，-1，2 D、3，1，2

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13、如图1，平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，四边形 $O A B C$ 为矩形， $A (12, 0)$ 、 $C (0, 4)$ ．点 $D$ 是 $O A$ 的中点，点P在边 $B C$ 上以每秒2个单位长的速度由点 $C$ 向点B运动．设动点P的运动时间为 $t$ 秒．

(1)、当四边形 $P O D B$ 是平行四边形时，求 $t$ 的值；

(2)、在线段 $C B$ 上是否存在一点 $Q$ ，使得四边形 $O D Q P$ 为菱形？若存在，求当四边形 $O D Q P$ 为菱形时 $t$ 的值，并求出 $Q$ 点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、若点 $M$ 是平面内一点，且以O、D、P、M四点为顶点的四边形构成菱形，请直接写出符合条件的 $M$ 的坐标．

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14、如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（ $O A = 3$ 米），向右转 $24 °$ ，再前进3米后到达点B（ $A B = O A = 3$ 米），又向右转 $24 °$ ， ……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、n的值为．

(2)、小明走出的这n边形的周长为米．

(3)、若一个正m边形的内角和比外角和多 $720 °$ ，求这个正m边形的边数．

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15、对于实数 $a$ ， $b$ ，规定一种新运算 $※$ ： $a ※ b = \sqrt{a} - a \sqrt{b}$ ，例如 $2 ※ 8 = \sqrt{2} - 2 \sqrt{8} = \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} = - 3 \sqrt{2}$ ，则 $3 ※ 12 =$ ．

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16、如图①已知抛物线 $y = a x^{2} - 3 a x - 4 a (a < 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴的正半轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ ，二次函数的对称轴与 $x$ 轴的交点为 $E$ ．

(1)、抛物线的对称轴与 $x$ 轴的交点 $E$ 坐标为____，点 $A$ 的坐标为____，点 $B$ 的坐标为____；

(2)、若点 $E$ 到 $y$ 轴的距离与它到直线 $B C$ 的距离相等，试求出抛物线的解析式；

(3)、在（2）的条件下，如图② $Q (m, 0)$ 是 $x$ 轴的正半轴上一点，过点 $Q$ 作 $y$ 轴的平行线，与直线 $B C$ 交于点 $M$ ，与抛物线交于点 $N$ ，连接 $C N$ ，将 $△ C M N$ 沿 $C N$ 翻折， $M$ 的对应点为 $M^{'}$ ．在图②中探究：是否存在点 $Q$ ，使得 $M^{'}$ 恰好落在 $y$ 轴上？若存在，请求出 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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17、【活动背景】
如图，建筑物 $A C$ 、 $B D$ 的高度不可直接测量．为测量建筑物 $A C$ 、 $B D$ 的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为 $150 m$ ，用测角仪在C处测得D点的俯角为 $35 °$ ，测得B点的俯角为 $43 °$ ．
【问题解决】

(1)、请运用技术员小李提供的数据求出建筑物 $A C$ 、 $B D$ 的高度（结果保留整数）；（参考数据： $\sin 35 ° \approx 0.57$ ， $\cos 35 ° \approx 0.82$ ， $\tan 35 ° \approx 0.70$ ， $\sin 43 ° \approx 0.68$ ， $\cos 43 ° \approx 0.73$ ， $\tan 43 ° \approx 0.93$ ）

(2)、请再设计一种测量建筑物 $A C$ 、 $B D$ 高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物 $A C$ 、 $B D$ 的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪）

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18、下面是小李化简分式 $(\frac{2 x - 3}{x - 1} - 1) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - x}$ 的过程：
解：原式 $= (\frac{2 x - 3}{x - 1} - \frac{x - 1}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - x}$ …………第一步
$= \frac{2 x - 3 - x - 1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4}$ ……………第二步
$= \frac{x - 4}{x - 1} \cdot \frac{x (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$ ……………第三步
$= \frac{x^{2} - 4 x}{x^{2} - 4}$ ……………………………第四步

(1)、小李的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第__步，涉及分式约分后得到结果的步骤是第___步；

(2)、小李的化简过程从第____步开始出现错误；

(3)、请你写出正确的化简过程，并从 $1$ ， $2$ ， $3$ 中选择一个合适的数代入求值．

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19、“温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳”．近年来，邳州市通过大棚种植技术（如图1），大力推进农业现代化转型．小华家有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足 $y = - \frac{1}{8} x^{2} + b x + c$ ，现测得A，B两墙体之间的水平距离为8米，则大棚的最高处到地面的距离为米．

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20、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为 $(- 3, 4.5)$ ， $(- 6, 3)$ ．点A的对应点C的坐标是 $(1, - 1.5)$ ，则点D的坐标是．

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