相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $A B$ 上一点， $M$ 是边 $A C$ 的中点，连接 $D M$ 并延长至点 $N$ ，使得 $M N = D M$ ，连接 $A N$ ， $C N$ ， $C D$ ，且 $∠ A M D = 2 ∠ M C D$ ．

(1)、求证：四边形 $A D C N$ 是矩形；

(2)、若 $∠ B A C = 60 °$ ， $B D = 2 A D = 4$ ，求点 $D$ 到边 $B C$ 的距离．

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2、综合应用．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据：
t（单位：s）
10
20
30
40
50
P（单位：W）
120
60
40
30
24

(1)、请求出功率 $P (W)$ 与做功的时间 $t (s)$ 之间的函数关系式．

(2)、在平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象

(3)、结合图象，当功率小于 $100W$ 时，直接写出做功时间t的取值范围．

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3、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 三个顶点坐标分别为 $A (2, 2)$ ， $B (4, 2)$ ， $C (0, 4)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、以原点 $O$ 为位似中心，位似比为 $2 : 1$ ，在 $y$ 轴的左侧，画出 $△ A B C$ 缩小后的图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

(3)、填空：直接写出点 $C_{2}$ 的坐标_____； $△ A B C$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的周长比是_____； $△ A B C$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的面积比是_____．

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4、（1）解方程： $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ．
（2）计算： ${tan}^{2} 60 ° + 4 sin 30 ° cos 45 °$ ；

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5、如图，在▱ $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $C D$ 上， $D E = 2 E C$ ，连接 $A E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，若 $△ D E F$ 的面积为24，则 $△ A B F$ 的面积为

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6、已知 $m$ 是一元二次方程 $x^{2} + 4 x - 2 = 0$ 的一个根，则 $(m + 5) (1 - m)$ 的值为．

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7、由若干个完全相同的小正方体组成一个几何体，从它的左面和上面看到的形状图如图所示，则小正方体的个数最少是个．

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8、如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取 $A B$ 的垂线 $B P$ 上的一点C，测得 $B C = 50$ 米， $∠ B A C = 46 °$ ，则小河宽 $A B$ 为多少米？（）

A、 $50 \sin 44 °$ B、 $50 \cos 46 °$ C、 $50 \tan 46 °$ D、 $50 \tan 44 °$

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9、以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐标为 $(1, 2)$ ，则对应点 $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(2,4)$ 或 $(- 2, - 4)$ B、 $(1, 2)$ 或 $(- 1, - 2)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(- 2, - 4)$

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10、如图，夜晚四个身高相同的小朋友站在路灯下，（）的影子最长．

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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11、综合与实践：根据以下信息，探索完成任务．

如何设计窗户限位器位置
信息1	问题背景	平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图．
信息2	数学抽象	把上述实物图抽象成如右示意图．已知滑撑支架的滑动轨道 $A B$ 固定在窗框底边， $C F$ 固定在窗页底边，点B，E，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点C与点A重合， $D C$ 和 $D B$ 均落在 $A B$ 上；当点O向点B滑动时，四边形 $O C D E$ 始终为平行四边形，其中 $O C = 6 cm, C D = 10 cm, B E = 13 cm$ ．
信息3	安全规范	窗户打开一定角度后， $O E$ 与 $A B$ 形成一个角 $∠ E O B$ ．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在 $30 °$ 以内（即 $∠ E O B \leq 30 °$ ）．
问题解决
任务1	求解关键数量	（1）滑撑支架中 $D E$ 的长度为____________ $cm$ ，滑动轨道 $A B$ 的长度是____________ $cm$ ；
任务2	确定安装方案	（2）为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道 $A B$ 上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时 $∠ E O B = 30 °$ ，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号）

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12、综合与实践
国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，每四年一届． $I C M E - 14$ 于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算．
（提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为 ${(011)}_{2}$ ）

(1)、【观察发现】
左起第二、三、四个符号表示的二进制数分别为，，；

(2)、【解决问题】
二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}$ ，依此类推），然后相加．
例如： ${(011)}_{2} = 0 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 0 + 2 + 1 = 3$ ．（任何不等于零的数的零次幂都等于1，即 $2^{0} = 1$ ）
①计算八卦符号中左起第二个符号和第四个符号对应的二进制数的和；
②将①中的和转换成十进制数（写出转换的过程）．

(3)、【类比迁移】
请直接写出 ${(2024)}_{5} + {(2024)}_{8}$ 的结果．（用十进制表示）

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13、阅读材料：如果一个数的平方等于 $- 1$ ，记为 $i^{2} = - 1$ ，这个数i叫做虚数单位，那么形如 $a + b i$ （a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似 $(2 + i) + (3 - 4 i) = (2 + 3) + (1 - 4) i = 5 - 3 i$ ； $(3 + i) i = 3 i + i^{2} = 3 i - 1$ ．
②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭．
若 $a + b i$ 是 ${(1 + 2 i)}^{2}$ 的共轭复数，求 ${(b - a)}^{2}$ 的值；

A、1 B、-1 C、4 D、49

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14、综合与实践
数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究．

(1)、猜想证明
如图（1），在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别在边 $A B$ ， $C D$ ， $A D$ ， $B C$ 上，且 $E F ⊥ G H$ ，请判断 $E F$ 和 $G H$ 的数量关系，并加以证明．

(2)、迁移探究
如图（2），在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A C$ ， $B C$ 上，且 $A E ⊥ B D$ ，求证： $\frac{A B}{A D} = \frac{B E}{E C}$ ．

(3)、拓展应用
如图（3），在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 10$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，点 $F$ 为 $A E$ 上一点， $A G ⊥ B F$ 交 $B E$ 于点 $H$ ，交矩形 $A B C D$ 的边于点 $G$ ．当 $E F = 2 A F$ 时，请直接写出 $G H$ 的长．

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15、综合与实践：某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．

【测量工具】标杆、平面镜、测倾仪、皮尺

【活动过程】

(1)、活动1：测量校内旗杆的高度

如图①， $A B$ 和 $D E$ 是直立在地面上的两根立柱． $A B = 6 m$ ，某一时刻 $A B$ 在阳光下的投影 $B C = 4 m$ ， $D E$ 在阳光下的投影长为 $6 m$ ．

请你在图①画出此时 $D E$ 在阳光下的投影 $E F$ ，根据题中信息，求得立柱 $D E$ 的长为__________m．

(2)、活动2：测量悬停在空中的无人机离地面的高度

课题	测量悬停在空中的无人机离地面的高度
测量工具	平面镜、测倾仪和皮尺
测量示意图及说明		说明：如图② （1）所有点都在同一平面内；（2）F、P、D在同一条直线上， $E F ⊥ D F$ 于点F； $C D ⊥ D F$ 于点D；（3）平面镜放置于P处，且大小忽略；（4）测倾仪放置于D处，且高度 $C D = 1$ 米；（5）无人机看作点A．
相关数据	信息一，小亮站在F处，恰好可以通过平面镜看到无人机A．小亮眼睛到地面的铅直高度 $E F = 1.6$ 米，到平面镜的距离 $P F = 2.4$ 米；信息二：小莹在点D处利用测倾仪测得 $∠ A C Q = 45 °$ ，且 $D P = 39$ 米．

请你根据以上测量信息，求悬停在空中的无人机离地面的高度．

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16、综合与探究
【问题情境】
数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示的数分别为 $- 2$ 和8．
【实践探究】

(1)、线段 $A B$ 的长为______；

(2)、动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 $t (t > 0)$ 秒．
①当 $0 < t < 5$ 时，请用含t的代数式表示点 $P$ 表示的数，以及线段 $P A$ 、 $P B$ 的长；
②若点 $M$ 是线段 $P A$ 的中点，点 $N$ 是线段 $P B$ 的中点，说明线段 $M N$ 的长度与点 $P$ 的运动时间 $t$ 无关．

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17、综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动．
【操作判断】
（1）如图①，将边长为 $10 cm$ 的正方形 $A B C D$ 对折，使点 $D$ 与点 $B$ 重合，得到折痕 $A C$ ．打开后，再将正方形 $A B C D$ 折叠，使点 $D$ 落在边 $B C$ 上的点 $P$ 处，得到折痕 $G H$ ，折痕 $G H$ 与折痕 $A C$ 交于点 $Q$ ．打开铺平，连接 $P Q$ ， $P D$ ， $P H$ ．若点 $P$ 的位置恰好使得 $P H ⊥ A C$ ．
（1） $∠ P D H =$ ___________ $°$ ；
【探究提炼】
（2）如图②，若（1）中的 $P$ 是 $B C$ 上任意一点，求 $∠ D P Q$ 的度数；
【理解应用】
（3）如图③，某广场上有一块边长为 $80 m$ 的菱形草坪 $A B C D$ ，其中 $∠ B C D = 60 °$ ．现打算在草坪中修建步道 $A C$ 和 $M N - N D - D M$ ，使得点 $M$ 在 $B C$ 上，点 $N$ 在 $A C$ 上，且 $M N = N D$ ．请问：步道 $M N - N D - D M$ 所围成的 $△ M N D$ （步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由．

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18、为推动综合社会实践活动课程落地，我校拟组织初二年级学生开展研学旅行活动，计划组织八年级 $1600$ 名学生进行研学活动．为使研学路线更贴合学生成长需求，充分发挥研学育人实效，现通过投票方式提前了解学生最想去的地点，随机抽取部分学生进行调查，其中，可选地点共有四个： $A$ 地：茶陵花湖谷， $B$ 地：方特， $C$ 地：韶山， $D$ 地：炎陵（每位同学只选一个地点），根据调查结果制作了如下统计图．
由图中给出的信息解答下列问题：

(1)、所抽取的样本容量为___________，并补全条形统计图；

(2)、扇形统计图中，最想去 $D$ 地的所对应的扇形圆心角的度数为___________ $°$ ；

(3)、请根据抽样调查的结果，估计该校八年级最想去韶山的学生有多少人？

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19、【背景材料】如图，数轴上点 $A$ 表示的数为 $- 1$ ，点 $B$ 表示的数为 $5$ ， $P$ 是数轴上的一点．
【探究发现】数轴是数形结合的重要工具，借助数轴可以更灵活地解决线段相关问题．如图，线段 $A B$ 的长为．因为 $| 5 - (- 1) | = 6$ 或 $| - 1 - 5 | = 6$ ，所以当点 $A$ ， $B$ 表示的数分别为 $a$ ， $b$ 时， $A$ 与 $B$ 两点之间的距离 $A B = | a - b |$ ．
【迁移应用】
（1）若点 $P$ 表示的数为 $x$ ，则 $P$ 与 $B$ 两点之间的距离 $P B =$ ．
（2）若点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 $t (t > 0$ ）秒，当 $t$ 为何值时， $P B = \frac{1}{2} A B ?$
【拓广探索】对数轴进行深入研究后，发现线段 $A B$ 的中点表示的数为 $\frac{a + b}{2}$ ．在（2）的条件下，将 $P A$ ， $P B$ 的中点分别记为点 $M$ ， $N$ ，在运动过程中，线段 $M N$ 的长是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段 $M N$ 的长．

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20、如图，某小区要在两块紧挨在一起的长方形地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示（单位： $m$ ）．

(1)、半圆形花圃的面积为 $m^{2}$ （结果保留 $π$ ）；

(2)、求阴影部分的面积（用含 $x$ 的代数式表示）；

(3)、当 $x = 10$ 时，求阴影部分的面积（ $π$ 取 $3.14$ ，结果保留整数）．

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t（单位：s）	10	20	30	40	50
P（单位：W）	120	60	40	30	24