相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ ，已知点 $D$ 在 $B C$ 上，且 $A D = D C$ ，则点 $D$ 在（）

A、 $A C$ 的垂直平分线上 B、 $∠ B A C$ 的平分线上 C、 $B C$ 的中线上 D、 $A B$ 的垂直平分线上

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2、如图，在平面直角坐标系中， $O A = O B$ ，点D是 $A B$ 边的中点，且 $A B = 2$ ．点C是射线 $O B$ 上的动点，连接 $C D$ ，以 $C D$ 为边作等腰直角 $△ C D E$ ，且 $∠ D C E = 90 °$ ，连接 $B E$ ．

(1)、 $B D$ 的值为______， $∠ O A B$ 的度数为______；

(2)、如图1，若点C在 $O B$ 线段上，求证： $∠ C B E = 45 °$ ；

(3)、如图2，当点C在 $O B$ 的延长线上时，
①判断 $∠ C B E$ 的值是否发生改变，请说明理由；
②若 $E B$ 平分 $∠ D E C$ ， $B E$ 与 $C D$ 交于点P，求 $P E$ 的值．

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3、【阅读材料】若x满足 $(8 - x) (x - 3) = 4$ ，求 ${(8 - x)}^{2} + {(x - 3)}^{2}$ 的值．
解：设 $8 - x = a$ ， $x - 3 = b$ ．则 $(8 - x) (x - 3) = a b = 4$ ， $a + b = 8 - x + (x - 3) = 5$ ．
∴ ${(8 - x)}^{2} + {(x - 3)}^{2} = a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 5^{2} - 2 \times 4 = 17$ ．
【类比探究】解决下列问题：
（1）若x满足 $(5 - x) (x - 3) = 1$ ，则 ${(5 - x)}^{2} + {(3 - x)}^{2}$ 的值为．
（2）若 ${(n - 2022)}^{2} + {(2025 - n)}^{2} = 4$ ，求 $(n - 2022) (2025 - n)$ 的值．
【拓展应用】
（3）已知正方形 $A B C D$ 的边长为x，E、F分别是 $A D$ 、 $D C$ 上的点，且 $A E = 1$ ， $C F = 3$ ，长方形 $E M F D$ 的面积是24，分别以 $M F$ ， $D F$ 为边长作正方形 $M F R N$ 和正方形 $G F D H$ ．求阴影部分的面积．

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4、（1）尺规作图：作 $△ A B C$ 的角平分线 $B D$ 交 $A C$ 于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）中作 $△ A B C$ 的角平分线 $B D$ 后，过点D作 $D E ∥ A B$ ，交 $B C$ 于点E．求证： $B E = D E$ ．

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5、如图， $△ A B C$ 的面积为5，分别以 $A B 、 A C$ 为直角边向外作等腰直角 $△ A B D$ 和等腰直角 $△ A C E$ ，连接 $C E, B D, D E$ ．则 $△ A D E$ 的面积等于．

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6、若3^x＝10，3^y＝5，则3^x^﹣^y＝．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，点B坐标为 $(- 1, 0)$ ，点C坐标为 $(1, 4)$ ，则点A的坐标为．

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8、已知 $a = x + 2026$ ， $b = x + 2024$ ， $c = x + 2025$ ，当 $a^{2} + b^{2} = 8$ ，则 $c^{2}$ 的值是（）

A、3 B、4 C、5 D、8

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9、如图所示，已知 $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E$ ， $∠ 1 = 25 °$ ， $∠ 2 = 30 °$ ，且点 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一直线上，则 $∠ 3$ 的度数为（）

A、 $125 °$ B、 $55 °$ C、 $50 °$ D、无法计算

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10、下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（）

A、 $6 x^{2} y^{3} = 2 x^{2} \cdot 3 y^{3}$ B、 $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ C、 $x^{2} + 2 x + 1 = x (x + 2 + \frac{1}{x})$ D、 $(x + 2) (x - 3) = x^{2} - x - 6$

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11、若分式 $\frac{2 - |x|}{x - 2}$ 的值是零，则x的值是（）

A、0 B、 $\pm 2$ C、2 D、 $- 2$

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12、下列计算正确的是（）

A、 $x^{2} + x^{5} = x^{7}$ B、 ${(x^{3})}^{2} = x^{5}$ C、 $x^{4} \cdot x^{3} = x^{7}$ D、 $x^{3} \div x = x^{3}$

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13、如图，下面是三位同学的折纸示意图，则 $A D$ 依次是 $△ A B C$ 的（）

A、中线，角平分线，高线 B、角平分线，高线，中线 C、角平分线，中线，高线 D、高线，中线，角平分线

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14、下列图标是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $0 ° < ∠ B A C < 60 °$ ，点 $D$ 是一个动点，且 $A D ⊥ B D$ ，过点 $A$ 在 $Rt △ A B D$ 的外侧作直线 $A E$ ，使 $∠ D A E = \frac{1}{2} ∠ B A C$ ，点 $D$ 关于直线 $A E$ 的对称点为点 $F$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 在 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上时，连接 $A F$ ， $F C$ ．
①依据题意，补全图1；
②求出 $∠ A F C$ 的度数，

(2)、如图2，当点 $D$ 在 $△ A B C$ 的外部，且在 $∠ A B C$ 的内部时，连接 $A F$ ， $F C$ ，射线 $F D$ 交 $B C$ 于点 $M$ ．
①依据题意，补全图2；
②猜想 $B M$ 与 $B C$ 的数量关系是： $B M =$ _______ $B C$ ，请写出证明过程．

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16、
问题背景：
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑，在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中，
（1）请根据图①写出一个等式：__________；
（2）如图②，点 $C$ 在线段 $B P$ 上，分别以 $B C$ 、 $C P$ 为边作正方形 $A B C D$ 和正方形 $C P E F$ ，连接 $B D$ 、 $B E$ ．若 $B C + C P = 10$ ， $B C \cdot C P = 20$ ，请求出阴影部分的面积；
拓展应用：
（3）如图③，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，点 $E$ 为边 $A C$ 上任意一点（不与端点重合），过点 $E$ 作长方形 $E H D G$ 分别交 $A D$ 于点 $H$ ，交 $B C$ 于点 $G$ ，过点 $B$ 作 $B F ∥ A C$ 交 $E G$ 的延长线于点 $F$ ，记 $△ B F G$ 与 $△ C E G$ 的面积之和为 $S_{1}$ ， $△ A B D$ 与 $△ A E H$ 的面积之和为 $S_{2}$ ，请问 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

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17、如图，点C在线段 $A D$ 上， $A C$ 平分 $∠ B A E$ ， $∠ B = ∠ D$ ， $B C = D E$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ A D E$ ．

(2)、若 $∠ B A E = 120 °$ ， $A B = 5$ ， $C E = 2$ ，求 $C D$ 的长

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18、综合与实践：某数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车．

素材1	燃油车油箱容积： $50 L$ ，油价：8元/L，续航里程（加满一箱油可持续行驶的里程）： $a km$ ，每千米行驶费用： $\frac{50 \times 8}{a}$ 元；新能源车电池电量： $100 kW \cdot h$ ，综合电价：1元/（ $kW \cdot h$ ），续航里程： $a km$ ，每千米行驶费用：_________元．
素材2	燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元．
素材3	燃油车和新能源车每年的其他费用分别为3200元和5960元．
问题解决
任务1	用含 $a$ 的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
任务2	分别求出这两款车的每千米行驶费用．
任务3	每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用 $=$ 年行驶费用 $+$ 年其他费用）

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19、（1）化简： $\frac{x - 2}{x} \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4} - \frac{x + 4}{x}$ ；
（2）解分式方程： $\frac{x}{x + 1} = \frac{2 x}{3 x + 3} + 1$

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20、计算：

(1)、 $(12 a^{3} - 6 a^{2} + 2 a) \div (2 a)$ ；

(2)、 $(2 \sqrt{3} - \sqrt{6}) (2 \sqrt{3} + \sqrt{6})$

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