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1、阅读材料,解答问题:
材料1
为了解方程 , 如果我们把看作一个整体,然后设 , 则原方程可化为 , 经过运算,原方程的解为 , . 我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法.
材料2
已知实数m,n满足 , , 且 , 显然m,n是方程的两个不相等的实数根,由韦达定理可知 , .
根据上述材料,解决以下问题:
(1)、直接应用:方程的解为;
(2)、间接应用:已知实数a,b满足: , 且 , 求的值;
(3)、拓展应用:已知实数x,y满足: , 且 , 求的值.
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2、先阅读材料,再回答问题.
我们定义:形如 (m、n为非零实数),且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”.例如: 为可分解分式方程,可化为
应用上面的结论解答下列问题:
(1)、若 为可分解分式方程,则: x1= , x2=.(2)、若可分解分式方程方程: 的两个解分别为 求 的值.(3)、若关于的可分解分式方程 的两个解分别为x1、x2(k为实数),且 求k的值. -
3、若关于的一元二次方程有实数根 , .(1)、实数的取值范围为;(2)、设 , 则的最小值是 .
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4、已知关于的方程 , 若方程的根都是整数,则满足条件的正整数的值为。
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5、设关于的方程有两个不相等的实数根 , 且 , 那么实数的取值范围是.
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6、若 , 是方程的两个实数根,则的值为A、2025 B、 C、2026 D、2029
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7、已知关于的一元二次方程 .(1)、若该方程有两个实数根,求的取值范围.(2)、若该方程的两个实数根 , 满足 , 求的值.
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8、已知关于的一元二次方程有两个不等实数根 , .(1)、求的取值范围;(2)、若 , 求的值.
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9、已知关于的一元二次方程 . 若方程的两个实数根为 , , 且 , 则实数的值为 .
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10、设是关于的一元二次方程的两个不同实数根,则的值是( )A、 B、4 C、7 D、
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11、如果关于的一元二次方程有两个实数根,且其中一个根是另一个根的倍为正整数),则称这样的方程为“倍根方程”.例如:方程的两个根分别是2和4,则这个方程就是“二倍根方程”;方程的两个根分别是1和3,则这个方程就是“三倍根方程”.(1)、根据上述定义,是“倍根方程”;(2)、若关于的方程是“三倍根方程”,求的值;(3)、直线:与轴交于点 , 直线过点 , 且与相交于点 . 若一个五倍根方程的两个根为和 , 且点在的内部(不包含边界),求的取值范围.
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12、已知关于 的一元二次方程 .(1)、求证:方程有两个不相等的实数根.(2)、如果方程的两实数根为 , 且 , 求 的值.
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13、已知是关于的一元二次方程的两个实数根.(1)、若 , 求的值;(2)、若 , 求及的值.
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14、 已知关于的一元二次方程 , 下列配方法正确的是( )A、 B、 C、 D、
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15、小慧在学习配方法的知识时,发现一个有趣的现象:关于的多项式 , 由于 , 所以当时,多项式有最小值;多项式 , 由于 , 所以当时,多项式有最大值.于是小慧给出一个定义:关于的二次多项式,当时,该多项式有最值,就称该多项式关于对称.例如关于对称.请结合小慧的思考过程,运用此定义解决下列问题:(1)、多项式关于对称;(2)、若关于的多项式关于对称,则.(3)、关于的多项式关于对称,且最小值为3,求方程的解.
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16、(1)、 若关于 的方程 的两个根分别是 与 , 则 .(2)、 若关于 的方程 均为常数, 且 的两个根是 和 , 则方程 的根是 .
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17、已知关于的方程与有相同的解,则与之间的等量关系为( )A、 B、 C、 D、
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18、 根据下列问题,列出关于 的方程, 并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)、一个长方形的长比宽多 2 ,其面积是 100 , 求长方形的长 .(2)、直角三角形的两条直角边长相差 5 , 面积是 7 , 求较长的直角边长 .
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19、若关于 的一元二次方程 的解为 , ,则关于 的一元二次方程 的解为.
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20、若一元二次方程有一根为 , 则的值为 .