相关试卷

1、阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程 ${(x^{2})}^{2} - 13 x^{2} + 36 = 0$ ，如果我们把 $x^{2}$ 看作一个整体，然后设 $y = x^{2}$ ，则原方程可化为 $y^{2} - 13 y + 36 = 0$ ，经过运算，原方程的解为 $x_{1,2} = \pm 2$ ， $x_{3,4} = \pm 3$ ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，显然m，n是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，由韦达定理可知 $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ．
根据上述材料，解决以下问题：

(1)、直接应用：
方程 $x^{4} - 5 x^{2} + 6 = 0$ 的解为；

(2)、间接应用：
已知实数a，b满足： $2 a^{4} - 7 a^{2} + 1 = 0$ ， $2 b^{4} - 7 b^{2} + 1 = 0$ 且 $a \neq b$ ，求 $a^{4} + b^{4}$ 的值；

(3)、拓展应用：
已知实数x，y满足： $\frac{1}{m^{4}} + \frac{1}{m^{2}} = 7$ ， $n^{2} - n = 7$ 且 $n > 0$ ，求 $\frac{1}{m^{4}} + n^{2}$ 的值．

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2、先阅读材料，再回答问题.
我们定义：形如 $x + \frac{m n}{x} = m + n$ (m、n为非零实数)，且两个解分别为 $x_{1} = m, x_{2} = n$ 的方程称为“可分解分式方程”.例如： $x + \frac{6}{x} = 5$ 为可分解分式方程，可化为 $x + \frac{2 \times 3}{x} = 2 + 3, ∴ x_{1} = 2, x_{2} = 3 .$
应用上面的结论解答下列问题：

(1)、若 $x - \frac{12}{x} = 4$ 为可分解分式方程，则： x₁= ， x₂=.

(2)、若可分解分式方程方程： $x - \frac{7}{x} = 5$ 的两个解分别为 $x_{1} = a, x_{2} = b,$ 求 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的值.

(3)、若关于 $x$ 的可分解分式方程 $x - \frac{k^{2} - k - 6}{1 - x} = 2 k$ 的两个解分别为x₁、x₂(k为实数)，且 $x_{1} \cdot x_{2} = 6,$ 求k的值.

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3、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (2 - k) x + k^{2} + 8 = 0$ 有实数根 $α$ ， $β$ ．

(1)、实数 $k$ 的取值范围为；

(2)、设 $t = \frac{α + β}{k}$ ，则 $t$ 的最小值是．

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4、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (m + 2) x + 3 m + 3 = 0$ ，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数 $m$ 的值为。

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5、设关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + (a + 2) x + 9 a = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < 1 < x_{2}$ ，那么实数 $a$ 的取值范围是.

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6、若 $α$ ， $β$ 是方程 $x^{2} + 2 x - 2028 = 0$ 的两个实数根，则 $α^{2} + 3 α + β$ 的值为 $($ $)$

A、2025 B、 $- 2026$ C、2026 D、2029

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7、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (k + 1) x + k^{2} - 3 = 0$ ．

(1)、若该方程有两个实数根，求 $k$ 的取值范围．

(2)、若该方程的两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = 11$ ，求 $k$ 的值．

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8、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 k + 1) x + k^{2} + 1 = 0$ 有两个不等实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $x_{1} + x_{2} + 2 x_{1} x_{2} = 1$ ，求 $k$ 的值．

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9、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (a + 3) x + a + 1 = 0$ ．若方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $(x_{1} - 2) (x_{2} - 2) = 2$ ，则实数 $a$ 的值为．

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10、设 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 7 x - 4 m^{2} = 0$ 的两个不同实数根，则 $x_{1} + x_{2}$ 的值是（）

A、 $- 4$ B、4 C、7 D、 $- 7$

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11、如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的 $n$ 倍 $(n$ 为正整数），则称这样的方程为“ $n$ 倍根方程”．例如：方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．

(1)、根据上述定义， $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 是“倍根方程”；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 6 x + m = 0$ 是“三倍根方程”，求 $m$ 的值；

(3)、直线 $l_{1}$ ： $y = - x + 5$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，直线 $l$ 过点 $B (- 1,0)$ ，且与 $l_{1}$ 相交于点 $C (1,4)$ ．若一个五倍根方程的两个根为 $x_{1}$ 和 $x_{2} (0 < x_{1} < x_{2})$ ，且点 $P (x_{1}, x_{2})$ 在 $△ A B C$ 的内部（不包含边界），求 $x_{1}$ 的取值范围．

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12、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 2) x + m^{2} - 2 m = 0$ ．

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根．

(2)、如果方程的两实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10$ ，求 $m$ 的值．

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13、已知 $x_{1}, x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + a x - 9 = 0$ 的两个实数根．

(1)、若 $a = - 11$ ，求 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值；

(2)、若 $x_{1} = 1$ ，求 $x_{2}$ 及 $a$ 的值．

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14、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ，下列配方法正确的是（　　）

A、 $(x - 2)^{2} = 4$ B、 $(x - 2)^{2} = 1$ C、 $(x + 2)^{2} = 4$ D、 $(x + 2)^{2} = 1$

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15、小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于 $x$ 的多项式 $x^{2} - 2 x + 3$ ，由于 $x^{2} - 2 x + 3 = (x - 1)^{2} + 2$ ，所以当 $x - 1 = 0$ 时，多项式 $x^{2} - 2 x + 3$ 有最小值；多项式 $- x^{2} - 2 x + 3$ ，由于 $- x^{2} - 2 x + 3 = - (x + 1)^{2} + 4$ ，所以当 $x + 1 = 0$ 时，多项式 $- x^{2} - 2 x + 3$ 有最大值．于是小慧给出一个定义：关于 $x$ 的二次多项式，当 $x - t = 0$ 时，该多项式有最值，就称该多项式关于 $x = t$ 对称．例如 $x^{2} - 2 x + 3$ 关于 $x = 1$ 对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：

(1)、多项式 $x^{2} + 6 x + 5$ 关于 $x =$ 对称；

(2)、若关于 $x$ 的多项式 $x^{2} - 2 a x + 4$ 关于 $x = 4$ 对称，则 $a =$ .

(3)、关于 $x$ 的多项式 $x^{2} + a x + c$ 关于 $x = - 1$ 对称，且最小值为3，求方程 $x^{2} + a x + c = 7$ 的解．

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16、

(1)、若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} = b (a b > 0)$ 的两个根分别是 $m + 1$ 与 $2 m - 4$ ，则 $m =$ ．

(2)、若关于 $x$ 的方程 $a (x + m)^{2} + b = 0 (a ， b ， m$ 均为常数，且 $a \neq 0)$ 的两个根是 $x_{1} = 3$ 和 $x_{2} = 7$ ，则方程 $a (2 x + m - 1)^{2} + b = 0$ 的根是．

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17、已知关于 $x$ 的方程 $a (x - 1) (x - m) = 0$ 与 $a (x - n)^{2} = b$ 有相同的解，则 $m$ 与 $n$ 之间的等量关系为（　　）

A、 $m + n = 1$ B、 $m - n = 1$ C、 $m + 2 n = - 1$ D、 $m - 2 n = - 1$

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18、根据下列问题，列出关于 $x$ 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：

(1)、一个长方形的长比宽多 2 ，其面积是 100 ，求长方形的长 $x$ ．

(2)、直角三角形的两条直角边长相差 5 ，面积是 7 ，求较长的直角边长 $x$ ．

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19、若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + 6 x - 4 = 0$ 的解为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ ，则关于 $y$ 的一元二次方程 $a {(y + 1)}^{2} + 6 (y + 1) - 4 = 0$ 的解为.

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20、若一元二次方程 $a x^{2} + b x - 2016 = 0$ 有一根为 $x = - 1$ ，则 $a - b$ 的值为．

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