相关试卷

1、已知点 $P (k, b)$ 在第二象限，则一次函数 $y = (k - 2) x + b + 1$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (- a^{2} - 1, 4)$ 关于原点对称的点所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）

A、 $x + \frac{1}{x} = 2$ B、 $2 x^{2} - x = 1$ C、 $3 x^{3} = 1$ D、 $x y = 2$

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4、如图是上海今年春节七天最高气温（ $° C$ ）的统计结果，这七天最高气温的众数和中位数是（）

A、15，17 B、17，17 C、17，14 D、17，15

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5、若分式 $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ 的值为0，则 $x$ 的值为（）

A、 $x = - 2$ B、 $x = 2$ C、 $x = \pm 2$ D、 $x = 0$

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6、如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C ，其中A点的坐标是 $(1, 0)$ ， C点坐标是 $(4, - 3)$ ．

(1)、求抛物线解析式；

(2)、点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线 $A C$ 上方．当 $△ A C M$ 面积最大时，求 $M G + G F + \frac{\sqrt{2}}{2} A F$ 的最小值．

(3)、将（1）中抛物线沿射线 $A C$ 平移 $2 \sqrt{2}$ 个单位长度得到新的抛物线 $y^{'}$ ，点K为新抛物线上一点，使得 $∠ K A C + ∠ A E O = 45 °$ ．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标．

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7、阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第 $15$ 页，我们把 $b^{2} - 4 a c$ 就叫做一元二次方程根的判别式，我们用 $Δ$ 表示，即 $Δ = b^{2} - 4 a c$ ．如果 $Δ$ 的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数， $Δ$ 的值一定是一个完全平方数．
例如：方程 $2 x^{2} - x - 1 ＝ 0$ ， $Δ = b^{2} - 4 a c = {(- 1)}^{2} - 4 \times 2 \times (- 1) = 9 = 3^{^{2}}$ ， $Δ$ 的值是一个完全平方数，但是该方程的根为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - \frac{1}{2}$ 不都为整数；方程 $x^{2} - 6 x + 8 ＝ 0$ 的两根 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 4$ 都为整数，此时 $Δ = b^{2} - 4 a c = {(- 6)}^{2} - 4 \times 1 \times 8 = 4 = 2^{2}$ ， $Δ$ 的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 称为“全整根方程”，代数式 $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ 的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用 $Q (a, b, c)$ 表示，即 $Q (a, b, c) = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ ；若另一关于x的一元二次方程 $p x^{2} + q x + r = 0 (p \neq 0)$ 也为“全整根方程”，其“关爱码”记为 $Q (p, q, r)$ ，当满足 $Q (a, b, c) - Q (p, q, r) = c$ 时，则称一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 是一元二次方程 $p x^{2} + q x + r = 0 (p \neq 0)$ 的“全整根伴侣方程”．

(1)、关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 1) x + m = 0$ 是一个“全整根方程”．
①当 $m = 2$ 时，该全整根方程的“关爱码”是．
②若该全整根方程的“关爱码”是 $- 1$ ，则m的值为．

(2)、关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 3) x + m^{2} - 4 m - 5 = 0$ （m为整数，且 $4 < m < 15$ ）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”．

(3)、若关于x的一元二次方程 $x^{2} + (1 - m) x + m + 4 = 0$ 是 $x^{2} + (n - 1) x - n = 0$ （m ， n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求 $m - n$ 的值（直接写出答案）．

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8、已知：如图一次函数 $y_{1} = k x - 2$ 与 $x$ 轴相交于点 $B (- 2, 0)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $D$ ， $y_{2} = x + b$ 与 $x$ 轴相交于点 $C (4, 0)$ ，这两个函数图象相交于点 $A$ ．

(1)、求出 $k$ ， $b$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

(3)、在 $x$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得 $△ P B A$ 为等腰三角形？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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9、某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价 $x$ （元）满足一次函数关系，并且当 $x = 25$ 时， $y = 550$ ；当 $x = 30$ 时， $y = 500$ ．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过45元．

(1)、求y关于 $x$ 的函数关系式；

(2)、当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？

(3)、求商家销售该商品每天获得的最大利润．

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10、如图，将矩形 $A B C D$ 的边 $B C$ 延长到点 $E$ ，使 $C E = B C$ ，连接 $B D$ 、 $D E$ ，作 $B F ∥ D E$ 交 $D C$ 延长线于点 $F$ ，连接 $E F$ ．

(1)、求证：四边形 $B D E F$ 为菱形；

(2)、如果四边形 $B D E F$ 的面积为24， $B E = 8$ ，连接 $A E$ ，求 $A E$ 的长．

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11、已知关于x的一元二次方程 $(m - 2) x^{2} - 3 x + 1 = 0$ ．

(1)、若方程有实数根，求m的取值范围；

(2)、是否存在实数m ，使方程的两根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1} + x_{2} + 3 x_{1} \cdot x_{2} = \frac{2}{5} m$ ？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

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12、某公司为参加“2025年中国人形机器人生态大会”，对本公司生产的甲、乙两款人形机器人的满意度进行了评分测验，并从中各随机抽取20份对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A： $90 < x \leq 100$ ， B： $80 < x \leq 90$ ， C： $70 < x \leq 80$ ， D： $x \leq 70$ ）下面给出了部分抽取的信息：
对甲款机器人的评数据中B等级的数据为：90，90，88，88，88，87，86，85．
对乙款机器人的评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
对甲，乙两款机器人的满意度评分统计表：
机器人
平均数
中位数
众数
方差
甲
86
86.5
88
69.8
乙
86
85.5
a
96.6
对甲款机器人的满意度评分扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、上述图表中 $a =$ ， $m =$ ．

(2)、根据以上数据，你认为哪款机器人的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）

(3)、在此次测验中，各有800人对甲、乙两款人形机器人进行评分，估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为A等级的共有多少人？

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13、解方程

(1)、 $x^{2} - 10 x + 3 = 0$

(2)、 $3 x (x + 6) = x + 6$

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14、计算： $- 1^{2026} - \sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} + \sqrt{18} - {(- \frac{1}{5})}^{- 1} + {(3 - π)}^{0}$ ．

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15、已知点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ （点A在点B的左侧）是抛物线 $y = - 6 {(x - 1)}^{2} + 3$ 上的两点，若 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 满足的条件是．

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16、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $O A = 1$ ， $O B = 2$ ，点C的坐标为 $(3, - 1)$ ，则点D的坐标为．

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17、抛物线 $y = {(x + 1)}^{2} - 4 (- 2 \leq x \leq 2)$ 如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是．

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18、将抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + 3$ 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为．

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19、方程 $x^{2} - 3 x = 1 - 2 x$ 的一次项为．

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20、如图，点E是正方形 $A B C D$ 边 $A B$ 上任意一点， $D E ⊥ E F$ ，且 $D E = E F$ ，连接 $C F$ ．若 $D F + C F$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$ ，则正方形的边长为（　　）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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机器人	平均数	中位数	众数	方差
甲	86	86.5	88	69.8
乙	86	85.5	a	96.6