《圆》精选典型题——人教版九年级上学期数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-30 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 装饰锥形草帽．
素材：母线长为 $5 cm$ 、高为 $4 cm$ 的锥形草帽（如图1）和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）足够大的卡纸．
步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角 $1 : 2 : 1 : 2 : 3$ 的比例剪成半径为 $5 cm$ 的扇形．
步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表面且卡纸连接处无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽（如图2），则橙色扇形卡纸的圆心角的度数是（）

A、 $36 °$ B、 $72 °$ C、 $24 °$ D、 $48 °$

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2. 如图，在 $⊙ O$ 的内接四边形 $A B C D$ 中， $∠ B C D = 120 °$ ， $C$ 为弧上一动点，且 $C A$ 平分 $∠ B C D$ ， $B D = 2 \sqrt{3}$ ，有如下说法： $①$ $A D = A B$ ； $②$ 三角形 $A B D$ 是等边三角形； $③$ $⊙ O$ 的半径为 $2$ ； $④$ $B C + C D = A C$ ； $⑤$ 四边形 $A B C D$ 最大面积是 $\frac{4}{3} \sqrt{3}$ ，其中正确的是（）

A、 $① ②$ B、 $① ③ ④$ C、 $① ② ③ ④$ D、 $① ② ③ ⑤$

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3. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ，点E是对角线 $B D$ 上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接 $A E$ ，过点B作 $B F ⊥ A E$ ，垂足为F，连接 $D F$ ．则 $D F$ 的最小值是（）

A、 $3 \sqrt{5}$ B、3 C、 $3 \sqrt{5} - 3$ D、 $3 \sqrt{5} + 3$

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4. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a $>$ 3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为 $4 \sqrt{2}$ ，则a的值是（）

A、4 B、 $3 + \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $3 + \sqrt{3}$

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5. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．且DC＋DA＝12， ⊙O的直径为20，则AB的长等于( )

A、8 B、12 C、16 D、18

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二、填空题

6. 如图，平面直角坐标系中， $A (0, \sqrt{2}) ， B (\sqrt{2}, 0) ， C (- 3, 0)$ ， $△ A O B$ 绕点 $O$ 旋转后得到 $△ A^{'} O B^{'}$ ， $A^{'} B^{'}$ 所在直线与半径为 $1$ 的 $⊙ C$ 相切于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $N$ ，则 $M N$ 的长为．

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7. 如图， $⊙ O$ 中，四边形 $A B D C$ 内接于圆， $B C$ 是直径， $A B = A C$ ，若 $S_{四边形 A B D C} = 6 c m^{2}$ ，则 $A D =$ $c m$ ．

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8. 如图，已知 $⊙ O$ 的半径为4， $\overset{⌢}{A B}$ 所对的圆心角 $∠ A O B = 60 °$ ，点C为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，点D为半径 $O B$ 上一动点．将 $△ C D B$ 沿 $C D$ 翻折得到 $△ C D E$ ，若点E落在半径 $O A 、 O B$ 、 $\overset{⌢}{A B}$ 围成的封闭图形内部（不包括边界），则 $O D$ 的取值范围为．

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9. 在 $R t △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，以 $C$ 为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，交BC于点E，以E为圆心，CE长为半径画弧，交AB于点F．交弧AE于点G，则图中阴影部分的面积为．

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10. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B = 2$ ，点C在线段 $A B$ 上运动，过点C的弦 $D E ⊥ A B$ ，将 $\overset{⌢}{D B E}$ 沿 $D E$ 翻折交直线 $A B$ 于点F，当 $D E$ 的长为正整数时，线段 $F B$ 的长为．

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11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为．

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12. 如图，点 $P$ 是 $△ A B C$ 外接圆 $⊙ O$ 上的一个动点（点 $P$ 不与点 $A$ ， $B$ ， $C$ 重合）， $A B = 6$ ， $∠ A P C = ∠ C P B = 60 °$ ．则下列结论：① $△ A B C$ 是等边三角形；② $\sqrt{2} P C = P A + P B$ ；③以 $A$ ， $P$ ， $B$ ， $C$ 为顶点的四边形的最大面积是 $12 \sqrt{3}$ ；④若点 $M$ 在 $⊙ O$ 内运动时，始终满足 $M A : M B : M C = 1 : \sqrt{2} : \sqrt{3}$ ，则点 $M$ 运动的路径长度为 $2 π$ ．其中正确的是．（填写所有正确结论的序号）

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13. 如图，在半径为 $4$ 的 $⊙ O$ 中，弦 $A C = 4 \sqrt{2}$ ， $B$ 是 $⊙ O$ 上的一动点（不与点 $A$ 重合）， $D$ 是 $A B$ 的中点，则 $C D$ 的最大值为．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，点 $P$ 在第一象限， $⊙ P$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴都相切，且经过矩形 $A O B C$ 的顶点 $C$ ．与 $B C$ 相交于点 $D$ ，若 $⊙ P$ 的半径为 $3$ ，点 $B$ 的坐标是 $(5, 0)$ ，则点 $D$ 的坐标是．

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15. 如图，等边三角形 $△ A B C$ 的边长为 $2 \sqrt{3}$ ，点D，E分别是边 $B C ， A C$ 的动点，且 $A E = C D$ ，连接 $A D 、 B E$ 交于点 $F$ ．则 $∠ B F D =$ ：连接 $C F$ ，线段 $C F$ 长的最小值为．

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三、解答题

16. （1）如图①，四边形 $A B C D$ 为 $⊙ O$ 的内接四边形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $∠ A D C = 90^{\circ}$ ，且 $A B = A D$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ，若 $⊙ O$ 半径长为2，求 $B D$ 的长度．
（2）如图②，四边形 $A B C D$ 为 $⊙ O$ 的内接四边形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $∠ A D C = 90^{\circ}$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ，若 $⊙ O$ 半径长为 $r$ ，求 $B D$ 的长度（用含 $r$ 的代数式表示）
（3）如图③，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ C = 60^{\circ}$ ， $∠ A D C = 90^{\circ}$ ， $B C = C D$ ，以 $C$ 为圆心， $C B$ 为半径画 $\overset{⌢}{B D}$ ， M为 $\overset{⌢}{B D}$ 上一个动点，过点 $M$ 作 $M E ⊥ A B$ ， $M F ⊥ A D$ ，连接 $E F$ ，已知 $A D = 20$ ，探究线段 $E F$ 是否存在最小长度?若存在，请求出 $E F$ 的最小长度，若不存在，请说明理由．

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17. 图（1）是一把“U形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边 $A B ⊥ B C$ ，边 $C D ⊥ B C$ ， $A B = C D = 6 cm$ ， $B C = 4 cm$ ．
算一算
将该尺摆放在一些圆上，测量并计算圆的半径r．
（1）如图（3），点A，B，C，D恰好都在圆上，则 $r =$ $cm$ ．
（2）如图（4），该尺的 $A B$ 边与圆相切于点P，且点P在该尺上的读数为 $1cm$ ，点D在圆上，则 $r =$ $cm$ ．
（3）如图（5），该尺的 $A B$ 边与圆有两个公共点P，Q，它们在该尺上的读数分别为 $5cm$ ， $1cm$ ， $C D$ 边与圆也有两个公共点，其中一个公共点R在该尺上的读数为 $2cm$ ，求r的值．
想一想
（4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），一定可以通过测量并计算出该圆的半径r吗？如果可以，说明理由；如果不一定可以，请直接写出可计算出的r的最小值和最大值．

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18. 【课本再现】（1）课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离等于半径.复习课上，小明和同学们对如图1所示的课本例题进行了深入学习：
例1矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，求证： $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个点在以点 $O$ 为圆心的同一个圆上.
证明： $∵$ 四边形 $A B C D$ 为矩形，
$∴ O A = O C = \frac{1}{2} A C$ ， $O B = C D = \frac{1}{2} B D$ ， $A C = B D$ ，
$∴ O A = O C = O B = C D$ ，
$∴ A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个点在以点 $O$ 为圆心， $O A$ 为半径的同一个圆上.
通过这个例题学习对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深的理解.以下是一道课本原题：“ $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，求证： $A$ ， $B$ ， $C$ 三点在同一个圆上.”请你利用图2写出证明过程.
【初步运用】（2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题.例如：如图3，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 是 $△ A B C$ 外一点，且 $A D = A C$ ，求 $∠ B D C$ 的度数.若以点 $A$ 为圆心， $A B$ 为半径作辅助 $⊙ A$ ，由 $A B = A C = A D$ 可知点 $C$ ， $D$ 必在 $⊙ A$ 上， $∠ B A C$ 是 $⊙ A$ 的圆心角，而 $∠ B D C$ 是圆周角，从而可容易得到 $∠ B D C =$ __________°.
【深入理解】（3）如图4，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C = A D$ .求证： $∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$ .
【拓展延伸】（4）如图5，在边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $M$ 是 $A D$ 边的中点， $N$ 是 $A B$ 边上的一动点，将 $△ A M N$ 沿 $M N$ 所在直线翻折得到 $△ A^{'} M N$ ，连接 $A^{'} C$ ，求 $A^{'} C$ 长度的最小值.

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19. 如图， $△ A B C$ 是内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ A B C = 30 °$ ， $A B = 6$ ．

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、点 $D$ 为 $⊙ O$ 的一个动点，且位于直线 $A B$ 的上方，点 $D$ 从点 $B$ 开始沿着 $⊙ O$ 运动至点 $C$ ，连接 $D O$ ，延长 $D O$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ ， $B E$ ．
①当 $C E$ 平分 $∠ A C B$ 时，试探究 $A C$ ， $B C$ 和 $C E$ 三者之间的数量关系，并证明你的结论；
② $A D$ 与 $C E$ 交于点 $P$ ，求点 $E$ 运动过程中，点 $P$ 的运动路径长．

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20. 如图， $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $E$ ， $F$ ， $G$ ，且 $A B ∥ C D$ ，连接 $O B, O C$ ，延长 $C O$ 交 $⊙ O$ 于点 $M$ ，过点 $M$ 作 $M N ∥ O B$ 交 $C D$ 于点 $N$ ．

(1)、求证： $M N$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、当 $O B = 6 cm, O C = 8 cm$ 时，求 $⊙ O$ 的半径及 $M N$ 的长；

(3)、当 $⊙ O$ 半径 $r = \sqrt{2} cm$ 时，令 $B E = a, C G = b, m = \frac{2}{2 + a} + \frac{2}{2 + b}$ ．
①求证： $m > 1$ ；
②令 $n = \frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b}$ ，比较 $m$ 与 $n$ 的大小，并说明理由．

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21. 如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，我们就称这个四边形为圆内接四边形．

(1)、下列选项中，一定是圆内接四边形的是___________．（填序号）
①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形

(2)、如图1， $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 1$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，点 $C$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $D$ 在 $y$ 轴负半轴上，若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四点共圆
①设 $△ B O C$ 、 $△ A O D$ 、四边形 $A B C D$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S$ ，且满足： $\sqrt{s} = \sqrt{s_{1}} + \sqrt{s_{2}}$ ，试判断 $△ B O C$ 的形状，并说明理由．
②在①的条件下，求四边形 $A B C D$ 的面积．

(3)、如图2，若等腰 $Rt △ A B C$ 的外接圆为 $⊙ O$ ，半径为 $r$ ，平面上有两点 $E$ 、 $F$ ，分别与 $△ A B C$ 的三个顶点构成圆内接四边形（ $E$ 在 $A B$ 的左侧， $F$ 点在 $A C$ 的右侧），求五边形 $A E B C F$ 面积的最大值．

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22. 如图，在平面直角坐标系中， $Rt △ A B C$ 的斜边 $A B$ 在 $y$ 轴上，边 $A C$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ ， $A E$ 平分 $∠ B A C$ 交边 $B C$ 于点 $E$ ，经过点 $A$ 、 $D$ 、 $E$ 的圆的圆心 $F$ 恰好在 $y$ 轴上， $⊙ F$ 与 $y$ 轴相交于另一点 $G$ ．

(1)、求证： $B C$ 是 $⊙ F$ 的切线；

(2)、若点 $A$ 、 $D$ 的坐标分别为 $A (0, - 1)$ ， $D (2, 0)$ ，求 $⊙ F$ 的半径；

(3)、试探究线段 $A G$ 、 $A D$ 、 $C D$ 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

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23. 阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程：
已知：在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ．
求证：过点 $A 、 B 、 C 、 D$ 可作一个圆．
证明：假设过点 $A 、 B 、 C 、 D$ 四点不能作一个圆，过 $A 、 B$ 、 $C$ 三点作圆．如图1，若点 $D$ 在圆外，设 $A D$ 与圆相交于点 $E$ ，连接 $C E$ ，则______，而已知 $∠ B + ∠ D = 180 °$ ，所以 $∠ A E C = ∠ D$ ，而 $∠ A E C$ 是 $△ C E D$ 的外角， $∠ A E C > ∠ D$ ，出现矛盾，故假设不成立，因此点 $D$ 在过 $A 、 B 、 C$ 三点的圆上．
如图2，若点 $D$ 在圆内， $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ （请同学们补充完成省略的部分证明过程）
因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．
学习任务：

(1)、材料中划线部分的结论是______，依据是______；

(2)、请将图2的证明过程补全；

(3)、如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ ， $∠ C A D = 16 °$ ， $A D = B D$ ，则 $∠ A D B$ 的大小为______ $°$

(4)、如图4，已知正方形 $A B C D$ 的边长为6，点 $P$ 是 $A B$ 边上的一个动点，连接 $C P$ ，过点 $P$ 作 $P C$ 的垂线交 $A D$ 于点 $E$ ，以 $P E$ 为边作正方形 $P E F G$ ，顶点 $G$ 在线段 $P C$ 上，对角线 $E G 、 P F$ 相交于点 $O$ ．当点 $P$ 从 $A$ 运动到 $B$ 时，点 $O$ 也随之运动，求 $O$ 经过的路径长．

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24. 如图1，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ， $B D$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A F ⊥ B D$ ，垂足为点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $∠ A B C = ∠ B A F$ ；

(2)、如图2，分别延长 $A D, B C$ 相交于点 $G$ ，点 $H$ 为 $F G$ 的中点，连接 $D H$ ，若 $D H$ 切 $⊙ O$ 于点 $D$ ，求 $\tan ∠ A D B$ 的值；

(3)、如图2，在（2）的条件下，若 $O E = 1$ ，则 $A C$ 的长为．

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