《二次函数》精选典型题——人教版九年级上学期数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-30 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $O A = O C$ ，则下列结论：① $a b c < 0$ ；② $\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} > 0$ ；③ $a c - b + 1 = 0$ ；④ $O A \cdot O B = - \frac{c}{a}$ ，其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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2. 如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图 $2$ ，抛物线上任意一点 $M$ 到焦点 $A$ 的距离 $A M$ 的长，等于点 $M$ 到一条平行于 $x$ 轴的直线 $l$ 的距离 $M N$ 的长．若抛物线的表达式为： $y = \frac{1}{2} x^{2} + 3$ ，那么此抛物线的焦点的坐标为（）

A、 $(0, 3)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(0, \frac{7}{2})$ D、 $(0, \frac{9}{2})$

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3. 如图，正方形 $A B C D$ 的顶点 $A, C$ 在抛物线 $y = - x^{2} + 4$ 上，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $D$ 在 $y$ 轴上．若 $C$ 点的横坐标为 $m (m > 0)$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{5}{4}$

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4. 如图，是抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），与 $x$ 轴的一个交点为A（－4，0）．直线 $y_{2} = m x + n$ （ $m \neq 0$ ）经过点A和点B．以下结论：① $2 a + b = 0$ ；② $a b c < 0$ ；③抛物线与 $x$ 轴的另一个交点是（4，0）；④方程 $a x^{2} + b x + c = - 3$ 有两个不相等的实数根；⑤ $a + b + c > - m + n$ ；⑥不等式 $m x + n > a x^{2} + b x + c$ 的解集为 $- 4 < x < - 1$ ．其中结论正确的是（）

A、①④⑥ B、②⑤⑥ C、②③⑤ D、①⑤⑥

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5. 如图，平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 2 ， 0)$ 和 $B (3 ， 0) ， P$ 是抛物线上第四象限内一动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $Q$ ，当 $A Q + P Q$ 取最大值时，点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(1, 9)$ B、 $(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$ C、 $(\frac{1}{2}, - 9)$ D、 $(1, - 6)$

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6. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4, 0)$ ，交 $y$ 轴的正半轴于点 $C$ ，对称轴交抛物线于点 $D$ ，交 $x$ 轴于点 $E$ ，则下列结论：① $2 a + b = 0$ ；② $a b c > 0$ ；③ $3 a + c < 0$ ；④ $△ A B C$ 的面积等于 $- 24 a$ ，其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 矩形 $A B C D$ 中， $A D = 8 cm ， A B = 6 cm$ ．动点E从点C开始沿边 $C B$ 向点B以 $2 cm / s$ 的速度运动，同时动点F从点C出发沿边 $C D$ 向点D以 $1cm / s$ 的速度运动至点D停止．如图可得到矩形 $C F H E$ ，设运动时间为x（单位： $s$ ），此时矩形 $A B C D$ 去掉矩形 $C F H E$ 后剩余部分的面积为y（单位： ${cm}^{2}$ ），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（　　）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $(- 3, 0)$ ，其对称轴为直线 $x = - \frac{1}{2}$ ，结合图象分析下列结论：① $a b c > 0$ ；② $3 a + c > 0$ ；③当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；④一元二次方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 的两根分别为 $x_{1} = - \frac{1}{3}$ ， $x_{2} = \frac{1}{2}$ ；⑤ $\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} < 0$ ；⑥若 $m$ ， $n (m < n)$ 为方程 $a (x + 3) (x ﹣ 2) + 3 = 0$ 的两个根，则 $m < - 3$ 且 $n > 2$ ，其中正确的结论有（　　）

A、 $3$ 个 B、 $4$ 个 C、 $5$ 个 D、 $6$ 个

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为 $2cm$ 的正方形，点E，点F分别为边 $A D$ ， $C D$ 中点，点O为正方形的中心，连接 $O E, O F$ ，点P从点E出发沿 $E - O - F$ 运动，同时点Q从点B出发沿 $B C$ 运动，两点运动速度均为 $1cm/s$ ，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为 $t s$ ，连接 $B P, P Q$ ， $△ B P Q$ 的面积为 $S {cm}^{2}$ ，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

10. 已知抛物线 $P : y = 3 x^{2} + 6 a x - 4 (a > 0)$ ，将抛物线 $P$ 绕原点旋转 $180 °$ 得到抛物线 $P^{'}$ ，当 $1 \leq x \leq 3$ 时，在抛物线 $P^{'}$ 上任取一点 $M$ ，设点 $M$ 的纵坐标为 $m$ ，若 $m \leq 4$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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11. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a, b, c$ 是常数）开口向下，过 $A (- 1, 0), B (m, 0)$ 两点，且 $1 < m < 3$ ．下列四个结论：
① $b > 0$
②若 $m = 2$ 时，则 $2 a + c < 0$
③若方程 $|a x^{2} + b x + c| = 1$ 有四个根，且四个根和为s，则 $0 < s < 4$
④已知点 $P (- 2, y_{1}), Q (3, y_{2}), M (n, y_{3})$ 均在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上，其中 $2 a n + b = 0$ ，若 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ ，则n的取值范围是 $n > \frac{1}{2}$ ．
其中正确的结论有（写序号）

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12. 我们定义一种新函数：形如 $y = |a x^{2} + b x + c|$ （ $a \neq 0$ ，且 $b^{2} - 4 a > 0$ ）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数 $y = |x^{2} - 2 x - 3|$ 的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为 $(- 1, 0), (3, 0)$ 和 $(0, 3)$ ；
②图象具有对称性，对称轴是直线 $x = 1$ ；
③当 $- 1 \leq x \leq 1$ 或 $x \geq 3$ 时，函数值y随x值的增大而增大；
④当 $x = - 1$ 或 $x = 3$ 时，函数的最小值是0；
⑤当 $x = 1$ 时，函数的最大值是4．
其中正确的结论有．（填正确的序号）

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三、解答题

13. 综合与实践：

素材1

福州地铁某站在工作日早高峰 $（ 7 : 00 - 9 : 00 ）$ 期间，地铁运营部门通过闸机感应系统统计发现，在 $7 : 00 - 9 : 00$ 这两小时内，A出口的人流量y（人次）与时间t（分钟）存在如下关系：以 $7 : 00$ 为起始时间点（ $t = 0$ ）

t（分钟）	0	30	60	90	120
y（人次）	10	60	80	70	30

任务1

根据已知条件，将 $(0,10)$ ， $(30,60)$ ， $(60,80)$ ， $(90,70)$ ， $(120,30)$ 在平面直角坐标系中描点，观察发现它们的连线形状近似于抛物线，所以猜想y与t满足二次函数的关系式，请求出该二次函数解析式．

素材2

福州凭借丰富的历史文化底蕴、美丽的自然风光以及特色美食，吸引了大量游客前来游玩．三坊七巷内人潮涌动；游客们穿梭于古街古巷，感受着福州的历史韵味；鼓山风景区迎来络绎不绝的登山客，俯瞰城市美景；烟台山的文艺街区也聚集了众多游客打卡拍照．某假期为吸引游客，福州地铁特推出免费乘车活动，使得客流量较平日呈现显著攀升态势，导致 $7 : 30$ 后A出口在原有人流量基础上每分钟较前一分钟额外增加2人．例如 $7 : 31$ 的人流量比原来增加2人， $7 : 32$ 的人流量比原来增加4人，以此类推……

任务2

求 $7 : 30 - 9 : 00$ 时段y与t的关系式，并指出人流量达到最大值时对应的具体时刻；

素材3

在地铁大客流应对措施中，栏杆绕行是颇为常见且有效的一种手段．通常，地铁车站会选用可移动的金属安全围栏，也就是俗称的“铁马”来设置特定的通行路径，较为常见的是设置“S”形铁马阵．

任务3

为保障乘客安全和通行效率，若地铁运营规定，当出口闸门人流量达到或超过200人次/分钟时，需启动一级客流管控，工作人员会在安检通道摆放铁马，设置绕行，以减缓客流进入站台的速度．根据任务2中y与t的关系式，通过计算，直接写出该出口需要启动一级客流管控的持续时长．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2交x轴于点A，交y轴于点B，过点A的抛物线y=ax²+bx-2与y轴交点C，与直线AB的另一个交点为D，点E是线段AD上一点，点F在抛物线上，EF∥y轴，设E的横坐标为m.

(1)、用含a的代数式表示b．

(2)、当点D的横坐标为8时，求出a的值．

(3)、在（2）的条件下，设△ABF的面积为S，求出S最大值，并求出此时m的值．

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15. 综合与实践
问题情境：某市计划在一处正方形的场地上建一座供市民休闲娱乐的绿地公园，要求是把场地划分成四大区域，场地内有曲线形的观光道路，需要建有一个休息室，一个洗手间．
设计人员小红的设计方案是：如图1所示，把一张边长为4的正方形纸 $A B C D$ 先对折，得到 $A B$ 的垂直平分线 $M O$ ，摊开，铺平后再次将正方形折叠，使点D，C落到 $M O$ 上且折叠后点D与点C重合，记为点P，折痕为 $A E ， B F$ ，再次摊开，铺平，连接 $A P ， B P ， E P$ ， $F P$ ，得到 $△ A B P$ ， $△ E F P$ ，四边形 $A D E P$ ，四边形 $B C F P$ 四个区域．一条抛物线形的路把这四个区域串起来，抛物线经过A，P，B三点，点P是抛物线的顶点．
工程师小李在听了小红的设计方案后，在图2中以 $A B$ 所在直线为x轴， $M O$ 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请按照他的方法解决下列问题：

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、在四边形 $A D E P$ 区域内的抛物线上找一点N，使得 $△ A P N$ 的面积最大，在此处建一个休息室，请求出点N坐标；

(3)、为了平衡布局，设计人员要求洗手间（用点H表示）到点P和点B的距离相等，若点H在抛物线上的四边形 $B C F P$ 区域内，求点H的坐标．

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16. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如 $A (a, a)$ 就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 1$ 就是“好点二次函数”．

(1)、直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 上的“好点”坐标为；

(2)、若“好点二次函数” $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与 $y$ 轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式；

(3)、若“好点二次函数” $y = \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $(- 2, 6)$ ，且顶点在第一象限，当 $m - 1 \leq x \leq m$ 时，这个“好点二次函数”的最小值为3，求 $m$ 的值．

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17.
阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若 $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{2}, y_{2})$ 是平面直角坐标系内两点， $R (x_{0}, y_{0})$ 是 $P Q$ 的中点，则有结论 $x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ， $y_{0} = \frac{y_{1} + y_{2}}{2}$ ．这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题．
已知：二次函数 $y = x^{2}$ 的函数图象上分别有 $A$ ， $B$ 两点，其中 $B (2, 4)$ ， $A$ ， $B$ 分别在对称轴的异侧， $C$ 是 $A B$ 中点， $D$ 是 $B C$ 中点．利用阅读材料解决如下问题：
概念理解：
（1）如图1，若 $A (- 1, 1)$ ，求出 $C$ ， $D$ 的坐标．
解决问题：
（2）如图2，点 $A$ 是 $B$ 关于 $y$ 轴的对称点，作 $D E ∥ y$ 轴交抛物线于点 $E$ ．延长 $D E$ 至 $F$ ，使得 $D E = 3 E F$ ．试判断 $F$ 是否在 $x$ 轴上，并说明理由．
拓展探究：
（3）如图3， $A (m, n)$ 是一个动点，作 $D E ∥ y$ 轴交抛物线于点 $E$ ．延长 $D E$ 至 $F$ ，使得 $D E = 3 E F$ ．
①令 $F (a, b)$ ，试探究 $b - 4 a$ 值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
②在①条件下， $y$ 轴上一点 $G (0, 2)$ ，抛物线上任意一点 $H$ ，连接 $G H$ ， $H F$ ，直接写出 $G H + H F$ 的最小值．

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18. 项目式学习

主题	矩形劳动实践基地最大面积探究
背景	习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．为促进学生全面发展、健康成长，某校计划在校园围墙内建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙．
素材	绘制设计	如图，兴趣小组利用墙和篱笆围出这个矩形劳动实践基地，在平行于墙的边上留一个1米宽的门．
	操作测量	经测量，墙长为18米，另外三边用长为29米的篱笆围成（门除外）；
	数学建模	设垂直于墙的一边长为 $x$ 米，其中 $6 \leq x < 15$ ，平行于墙的一边长为 $y$ 米，矩形劳动实践基地的面积为 $S$ 平方米．
任务	（1）请直接写出 $y$ 与 $x$ ， $S$ 与 $x$ 的函数关系式；（2）当 $S = 100$ 平方米时，求垂直于墙的一边长；（3）兴趣小组根据实际情况，可利用的墙的长度不超过14米，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值．

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19. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 1, 0)$ ，点 $B (3, 0)$ ，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、在对称轴上找一点Q，使 $△ A C Q$ 的周长最小，求点Q的坐标；

(3)、点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当 $△ P M B$ 是以 $P B$ 为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

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20. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在 $C$ 处，对称轴 $O C$ 与水平线 $O A$ 垂直， $O C = 9$ ，点 $A$ 在抛物线上，且点 $A$ 到对称轴的距离 $O A = 3$ ，点 $B$ 在抛物线上，点 $B$ 到对称轴的距离是1．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图②，为更加稳固，小星想在 $O C$ 上找一点 $P$ ，加装拉杆 $P A, P B$ ，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点 $P$ 的位置并求出坐标；

(3)、为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为 $y = - x^{2} + 2 b x + b - 1 (b > 0)$ ，当 $4 \leq x \leq 6$ 时，函数 $y$ 的值总大于等于9．求 $b$ 的取值范围．

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21. 已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴相交于点C，顶点为 $P$ ，对称轴为直线 $x = 1$

(1)、根据题目信息填空： $b =$ __________， $△ A B C$ 的面积＝__________；

(2)、直线 $y = k x + k - 1 (k \neq 0)$ 与抛物线相交于两点 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2}), (x_{1} < x_{2})$ ，当 $|x_{1} - x_{2}|$ 最小时，求M，N的坐标；

(3)、首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为 $L$ ，若线段 $B O$ 在 $x$ 轴上移动，求 $L$ 的最小值，并求此时 $B$ 点的坐标．

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22. 已知抛物线 $y_{1} = m x^{2} + (1 - 4 m) x + 3 m - 1$ （m为常数，且 $m \neq 0$ ）．

(1)、不论 $m$ 为何值，抛物线 $y_{1}$ 的图象一定经过某些定点．请求出这些定点的坐标；

(2)、若对于任意自变量 $x$ ，都有点 $(x, y_{1})$ 与点 $(x, y_{2})$ 分别到点 $(x, k x)$ 的距离相等，则 $y_{2}$ 与 $x$ 形成的函数称为抛物线 $y_{2}$ （异于 $y_{1}$ ）是抛物线 $y_{1}$ 的“ $k$ 倍相伴函数”．
①求抛物线 $y_{1}$ 的“2倍相伴函数”是 $y_{2}$ 的解析式；
②在①的情况下， $y_{2}$ 的图象经过两个定点 $A$ 和 $B$ （ $A$ 在 $B$ 左边），横坐标分别为 $x_{A}$ 、 $x_{B}$ ，若存在 $x_{A} \leq x \leq x_{B}$ 时， $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 都随着 $x$ 的增大而增大，求 $m$ 的取值范围．

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23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 3, 0)$ ， $B (1, 0)$ 两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点．

(1)、求拋物线的解析式；

(2)、当点P在直线 $A C$ 上方的拋物线上时，连接 $B P$ 交 $A C$ 于点D，如图1，当 $\frac{P D}{D B}$ 的值最大时，求点P的坐标及 $\frac{P D}{D B}$ 的最大值；

(3)、过点P作x轴的垂线交直线 $A C$ 于点M，连结 $P C$ ，将 $△ P C M$ 沿直线 $P C$ 翻折，当点M的对应点 $M^{'}$ 恰好落在y轴上时，求点M的坐标．

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24. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如（1，3），（﹣2，﹣6）， $(\sqrt{2} ， 3 \sqrt{2})$ 都是“纵三倍点”．

(1)、下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是；（填序号）
①y＝﹣2x+1；②y＝x²+x+1．

(2)、已知抛物线y＝x²+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式；

(3)、若抛物线 $y = a x^{2} + b x + \frac{3}{2}$ （a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令w＝b²﹣2b+6a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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25. 如图1，已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于点 $A (- 4, 0)$ 和点B，与y轴的负半轴交于点 $C (0, - 4)$ ．

(1)、求这个函数的解析式；

(2)、点P是抛物线上的一点，当 $∠ B C P = 45 °$ 时，求点P的坐标；

(3)、如图2，将直线 $A C$ 向下平移与抛物线交于M、N两点，直线 $A M 、 C N$ 交于Q点，请问点Q的横坐标是否为定值，并说明理由．

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