《一元二次方程》精选典型题——人教版九年级上学期数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-30 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 4 x + (a + 6) = 0$ 有两个不相等的实数根，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{a y}{y - 1} + 1 = \frac{7}{1 - y}$ 的解为正整数，则所有满足条件的整数 $a$ 的值之和是（）

A、 $- 7$ B、 $- 9$ C、 $- 14$ D、 $- 16$

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2. 已知一元二次方程 $3 - (x - 5) (x + 6) = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），则下列判断正确的是（）

A、 $- 6 < x_{1} < x_{2} < 5$ B、 $x_{1} < - 6 < 5 < x_{2}$ C、 $- 6 < x_{1} < 5 < x_{2}$ D、 $x_{1} < - 6 < x_{2} < 5$

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3. 对于关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根的情况，有以下四种表述：
①当 $a < 0 ， b + c > 0 ， a + c < 0$ 时，方程一定没有实数根
②当 $a < 0 ， b + c > 0 ， b - c < 0$ 时，方程一定有实数根
③当 $a > 0 ， a + b + c < 0$ 时，方程一定没有实数根
④当 $a > 0 ， b + 4 a = 0 ， 4 a + 2 b + c = 0$ 时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（）

A、① B、② C、③ D、④

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4. 阅读下面的材料：为解方程 ${(x^{2} - 1)}^{2} - 5 (x^{2} - 1) + 4 = 0$ 可以将 $(x^{2} - 1)$ 看作一个整体，然后设 $x^{2} - 1 = t$ 则原方程可化为 $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ 解得 $t_{1} = 1, t_{2} = 4$ ，再求解 $x$ 的方程．上述解题方法，我们称之为换元法．则 $y = 3 \sqrt{x^{2}} + 4 - x^{2} + 6$ 的最大值为（）

A、12 B、 $\frac{49}{4}$ C、 $\frac{25}{2}$ D、 $5 + 3 \sqrt{5}$

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5. 定义：已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根，若 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，且 $1 \leq \frac{x_{1}}{x_{2}} \leq 3$ ，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程 $x^{2} + 8 x + 15 = 0$ 的两根为 $x_{1} = - 5 ， x_{2} = - 3$ ，且 $1 \leq \frac{- 5}{- 3} \leq 3$ ，所以一元二次方程 $x^{2} + 8 x + 15 = 0$ 为“友好方程”．关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (1 - p) x - p = 0$ ，有下列两个结论：①当 $p = - \frac{2}{3}$ 时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有 $2$ 个整数 $p$ 满足要求．对于这两个结论判断正确的是（　　）

A、①②都正确 B、①②都错误 C、①正确，②错误 D、①错误，②正确

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二、填空题

6. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图 $1$ ， $B D$ 是矩形 $A B C D$ 的对角线，将 $△ B C D$ 分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图 $2$ 重新摆放，观察两图，若 $a = 2$ ， $b = 1$ ，则矩形 $A B C D$ 的面积是
图1 图2

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7. 某新开业的商场地下共有三层停车库，已知最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是下一层开灯数量的x 倍，三层停车库共开了380盏灯，则x 的值为．

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8. 若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的其中一根为 $x = 2023$ ，则关于x的方程 $a {(x + 2)}^{2} + b x + 2 b + c = 0$ 的根为．

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9. 若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的其中一根为 $x = 2025$ ，则关于x的方程 $a {(x + 2)}^{2} + b x = - 2 b - c$ 的一根为．

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10. 已知：3a²﹣6a﹣11＝0，3b²﹣6b﹣11＝0，且a≠b，则a⁴﹣b⁴＝．

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11. 数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有人．”

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三、解答题

12. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段 $M N$ ，再砌三面墙，围成一个矩形花园 $A B C D$ （围墙 $M N$ 最长可利用 $25 m$ ），现在已备足可以砌 $40 m$ 长的墙的材料．

(1)、当 $A B$ 长度是多少时，矩形花园的面积为 $150 米^{2}$ ；

(2)、能否围成矩形花园面积为 $220 米^{2}$ ，为什么？

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13. 如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用34m长的栅栏围一个矩形羊圈ABCD和一个边长为1m的正方形狗屋CEFG（图中阴影部分为羊的活动范围）．设AB=x m.

(1)、BC的长为 m.（用含x的代数式表示）

(2)、若羊的活动范围的面积为95m² ，求AB的长．

(3)、羊的活动范围的面积能否为130m²？若能，求出此时AB的长；若不能，请说明理由．

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14. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．
定义：方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题：

(1)、方程 $- 12 x^{2} - x + 1 = 0$ 的倒方程是．

(2)、若 $x = 5$ 是 $x^{2} - 3 x + c = 0$ 的倒方程的解，求出c的值；

(3)、若m，n是一元二次方程 $x^{2} - 5 x - 1 = 0$ 的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式 $2 n^{2} - m n - 10 m$ 的值．

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15. 综合与实践：阅读材料，并解决以下问题．

(1)、学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以 $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ 为例，求解过程如下：
①变形：将方程 $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ 变形为 $x (x + 2) = 35$ ；
②构图：画四个长为 $x + 2$ ，宽为 $x$ 的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；

③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为 ${(x + x + 2)}^{2}$ ，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即 $4 x (x + 2) + 2^{2} = 4 \times 35 + 4 = 144$ ，因此，可得新的一元二次方程 ${(x + x + 2)}^{2} = 144$ ， ∵ $x$ 表示边长，∴ $2 x + 2 = 12$ ，即 $x = 5$ ．
这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程 ${(x + x + 2)}^{2} = 144$ 可以得到原方程的另一个根是________．

(2)、类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．


(3)、拓展应用：一般地对于形如： $x^{2} + a x + b = 0$ 一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么 $a =$ ________， $b =$ ________，方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 的一个正根为________．


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16. 已知关于x的方程x²-（3k+1）x+2k²+2k=0，

(1)、求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．

(2)、若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．

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17. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠DAE的边AD、AE分别交直线BC于点D、E（D在E的左边），∠BAC＝2∠DAE＝a；

(1)、如图1，若a＝120°，AB＝12，当点D与点B重合时，△ADE的面积为．

(2)、若a＝90°，BC＝12，BD和CE的长度分别是方程x²﹣7x+m＝0的两根，请在图2中画出图形并求△ADE面积．

(3)、如图3，若a＝60°，D、E分别在点C的两侧，CD＝3，CE＝4，求出BD的长．

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