湘教版七（下）数学第二章实数单元测试提升卷

试卷更新日期：2026-01-05 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下面有四种说法，其中正确的是（　　）

A、 $- 64$ 的立方根是4 B、49的算术平方根是 $\pm 7$ C、 $- \frac{1}{27}$ 的立方根是 $- \frac{1}{3}$ D、 $\sqrt{0.25} = \pm 0.5$

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2. 下列各式中，正确的是（　　）

A、 $\sqrt{8} = 4$ B、 $\sqrt{\frac{25}{49}} = \pm \frac{5}{7}$ C、 $\pm \sqrt{\frac{4}{81}} = \pm \frac{2}{9}$ D、 $\sqrt[3]{64} = \pm 4$

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3. 下列说法正确的有( )
①带根号的数都是无理数；
②立方根等于本身的数是0和1；
③-a一定没有平方根；
④实数与数轴上的点是一一对应的；
⑤两个无理数的差还是无理数；
⑥若面积为3的正方形的边长为a，则a一定是一个无理数.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 在如图所示的运算程序中，输入 $x$ 的值是64时，输出的 $y$ 值是（）

A、 $\sqrt[3]{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、8

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5. 如图，面积为2的正方形 $A B C D$ 的顶点A在数轴上，且表示的数为 $- 2$ ．若 $A D = A E$ ，则数轴上点E所表示的数为（）

A、 $\sqrt{2} - 2$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\sqrt{2} + 2$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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6. 无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为 $\sqrt{5}$ 、宽为 $\sqrt{3}$ ，则这个矩形面积的值在（　　）

A、2与3之间 B、3与4之间 C、4与5之间 D、5与6之间

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7. 如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是（）

A、25分 B、50分 C、75分 D、100分

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8. 下表是被开方数 $a 和 a$ 的算术平方根（ $\sqrt{a}$ ）的小数点位置移动规律，若 $\sqrt{7} = 2.646 ， \sqrt{a} = 264.6$ ，则被开方数 $a$ 的值为（）

$a$
…
0.000001
0.0001
0.01
1
100
10000
1000000
…

$\sqrt{a}$
…
0.001
0.01
0.1
1
10
100
1000
…

A、70 B、700 C、 $7$ 000 D、 $7$ 0000

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9. 据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根.华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙.你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗?
【发现与思考】 $∵ 1 0^{3} = 1000,10 0^{3} = 1000000; 1000 < 50653 < 1000000,$
$∴ \sqrt[3]{50653}$ 是两位数.
∵50653的个位数字是3，      $∴ \sqrt[3]{50653}$ 的个位数字是7.
$∵ 3 0^{3} = 27000,4 0^{3} = 64000; 27000 < 50653 < 64000,$
$∴ \sqrt[3]{50653}$ 的十位数字是3.      $∴ \sqrt[3]{50653} = 37 .$
【运用并解决】
类比上述的分现与思考，推理求出 681472 的立方根是(    )

A、72 B、78 C、88 D、92

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10. 读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为 $50 {cm}^{3}$ ．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（）

A、1和2之间 B、2和3之间 C、3和4之间 D、4和5之间

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二、填空题（每题3分，共24分）

11. 根据下列的对话，代数式2a+2b-3c+2m的倍为： .

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12. 如图，在数轴上的两个点表示为实数 $a$ ， $b$ ，化简： $\sqrt{{(a - b)}^{2}} - |a + b| + \sqrt[3]{a^{3}} =$ ．

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13. 若 $a = - \sqrt{3^{2}}$ ， $b = - |- \sqrt{2}|$ ， $c = - \sqrt[3]{{(- 2)}^{3}}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是．

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14. 如果 $\sqrt[3]{2.37} ≈ 1.333 ， \sqrt[3]{23.7} ≈ 2.872$ ，那么 $\sqrt[3]{2370}$ 约等于．

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15. 已知a ， b为等腰三角形的两条边长，且a ， b满足 $b = \sqrt{3 - a} + \sqrt{2 a - 6} + 4$ ，则此三角形的周长为．

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16. 现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有 $x ※ y = \sqrt{x + y} + \sqrt[3]{x y + 1}$ ，则 $7 ※ 9$ 的值为．

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17. 已知a、b为两个连续的整数，且a＜ $\sqrt{13}$ ＜b，则b-a的平方根是．

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18. 我们知道 $\sqrt{3}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于 $1 < \sqrt{3} < 2$ ，所以 $\sqrt{3}$ 的整数部分为1，小数部分为 $\sqrt{3} - 1$ 。根据以上的内容，解答下面的问题：若 $\sqrt{7}$ 的小数部分为a， $\sqrt{26}$ 的整数部分为b，则 $a + b - \sqrt{7}$ 的值是。

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三、解答题（共8题，共66分）

19. 计算：

(1)、 $4 \div {(- \frac{2}{3})}^{2} - \sqrt{64} + |1 - \sqrt{2}|$ ．

(2)、 ${(2 x - 1)}^{2} = 25$ ；

(3)、 ${(2 x - 1)}^{3} + 8 = 0$ ；

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20. 计算：

(1)、 $- 1^{2023} + 6 \div (- 3) \times 2 - (- \sqrt{4})$

(2)、 $\sqrt{{(- 5)}^{2}} + \sqrt[3]{- 8} + |2 - \sqrt{3}| + 2 \sqrt{3}$

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21. 如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．

(1)、图2中A、B两点表示的数分别为______，______；

(2)、请你参照上面的方法
①把图3中 $5 \times 1$ 的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网（虚线表示）格中画出拼成的大正方形（实线表示），该正方形的边长 $a =$ ______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点M表示数a．

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22. 已知关于x的一元一次方程 $(m + 2) x^{|m| - 1} - 2 n = 6$

(1)、求m的值；

(2)、若 $x = a (a \neq 0)$ 是这个方程的解，
①求 $2024 - 2 a + n$ 的值；
②若 $k = 4^{2 a - n}$ ，求k的平方根．

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23. 已知2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是3， $\sqrt{13}$ 的整数部分为c．

(1)、分别求出a，b，c的值；

(2)、求a+b+c的平方根．

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24. 一个正数的平方根为 $2 a - 3$ 与 $5 - a$ ， 2为 $3 a + 2 b + 4$ 的立方根， $\sqrt{5}$ 的整数部分为 $c$ ．

(1)、求a，b，c的值；

(2)、求 $a + b + c$ 的平方根．

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25. 如图1，这是一个由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为V.

(1)、求出这个魔方的棱长；(用含有V的式子表示)

(2)、若 $V = 27$ ，即阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长.

(3)、如图2，在(2)的条件下，把图1中的正方形ABCD放到数轴上，使得点A与-2重合，将正方形沿着数轴顺时针滚动一周，即AD边再次回到数轴上时，那么点D在数轴上表示的数是多少？

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26. 对于实数，我们规定：用符号 $[\sqrt{x}]$ 表示不大于 $\sqrt{x}$ 的最大整数，并称 $[\sqrt{x}]$ 为x的根整数，例如： $[\sqrt{9}] = 3, [\sqrt{10}] = 3 .$

(1)、仿照以上方法计算： $[\sqrt{4}] =$ ， $[\sqrt{26}] =$ .

(2)、若 $[\sqrt{x}] = 1,$ 写出满足题意的x的整数值.

(3)、我们对x连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次 $[\sqrt{10}] = 3, [\sqrt{3}] =$ 1，这时候结果为1.
①对100连续求根整数，次之后结果为1.
②只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 .

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$a$	…	0.000001	0.0001	0.01	1	100	10000	1000000	…
$\sqrt{a}$	…	0.001	0.01	0.1	1	10	100	1000	…

湘教版七（下）数学第二章 实数 单元测试提升卷

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共24分）

三、解答题（共8题，共66分）

湘教版七（下）数学第二章实数单元测试提升卷