相关试卷

1、如图，已知平面上四个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，请按要求C完成下列问题：

(1)、利用无刻度直尺和圆规，根据以下步骤在图1中求作点 $E$ （不写做法，保留每个步骤的作图痕迹）：
①画直线 $A B$ ，射线 $B D$ ，连接 $A C$ ；
②在线段 $A C$ 上找点 $P$ ，使得 $C P = A C - A B$ ；
③在线段 $A B$ 上作点 $E$ ，使得点 $E$ 到 $A$ 、 $D$ 、 $B$ 、 $P$ 的距离之和最小。

(2)、在（1）中第③步画图的依据是。

(3)、在图2中，若 $B C = \frac{1}{2} A B$ ， $A M = \frac{1}{3} A B$ ， $N$ 为 $B C$ 中点，且 $B M - 4 B N = 3$ ，求 $A C$ 的长。

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2、 3月14日是国际数学日，也称“ $π$ 日”。今年3月14日某校七年级500名学生参加了华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛。比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及90分以上的学生可获得“ $π$ 日”徽章。学校为了解学生的积分情况，随机抽取了 $m$ 名学生，并对积分成绩进行整理和分析，积分成绩（用整数 $x$ 表示）共分五组： $A . 20 \leq x < 40$ ， $B . 40 \leq x < 60$ ， $C . 60 \leq x < 80$ ， $D . 80 \leq x < 100$ ， $E . 100 \leq x \leq 120$ 。并绘制了不完整的统计图（如图所示）。
根据以上信息，完成下列问题。

(1)、下列抽取样本的方式中，最合理的是（填写序号）；
①从七年级的学生中抽取 $m$ 名男生；
②从七年级参加九连环游戏的学生中抽取 $m$ 名学生；
③从七年级学号末位数字为3或7的学生中抽取 $m$ 名学生。

(2)、直接写出 $m = \underline{}$ ， $40 \leq x < 60$ 这一组对应的扇形的圆心角度数是 $________$ ；并补全频数分布直方图；

(3)、 $80 \leq x < 100$ 这一组的学生积分是：81，82，87，93，93，93，96，请估计七年级学生获得“ $π$ 日”徽章的人数。

(4)、综合上述调查，对该校七年级数学趣味游戏比赛成绩进行简单评价。（写出一条即可）

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3、如图，这是一道例题的部分解答过程，其中 $A$ ， $B$ 是两个关于 $x$ ， $y$ 的二项式。

请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：

(1)、多项式 $A$ 为，多项式 $B$ 为，例题的计算结果为；

(2)、计算： $A^{2} - A · B$ ；

(3)、对（2）的结果，求出当 $x = 1$ ， $y = 2$ 时该式的值。

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4、

(1)、计算： ${(- 1^{3})}^{2} - (3.14 - π)^{0} + {(\frac{3}{4})}^{2024} \times {(\frac{4}{3})}^{2024} + {(- \frac{1}{3})}^{- 2}$

(2)、解方程 $1 + \frac{2 x - 5}{4} = \frac{3 - x}{6}$

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5、定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“巧合数”。如：有理数 $\frac{5}{4}$ 和5，因为 $\frac{5}{4} + 5 = \frac{5}{4} \times 5$ ，所以 $\frac{5}{4}$ 和5是一对“巧合数”。对于有理数 $x$ （ $x \neq 0$ 且 $x \neq 1$ ），设 $x$ 的“巧合数”为 $x_{1}$ ， $x_{1}$ 的倒数为 $x_{2}$ ， $x_{2}$ 的“巧合数”为 $x_{3}$ ， $x_{3}$ 的倒数为 $x_{4}$ ， ……依次按如上的操作，得到一组数： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $⋯$ ， $x_{n}$ 。当 $x = \frac{1}{3}$ 时， $x_{2026}$ 的值为。

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6、当 $x$ 取不同值时对应的多项式 $4 m x + 3 n$ 的值如表所示，则关于 $x$ 的方程 $4 m x + 3 n + 2 = 0$ 的解是。
x -2 -1 0 1 2 3
4mx+3n 14 10 6 2 -2 -6

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7、一个含有 $30 °$ 角的直角三角板 $A B C$ ，两个含有 $45 °$ 角的直角三角板 $D C E$ 和 $F C G$ 如图放置， $A C$ 与直线 $M N$ 重合。若 $∠ B C D = \frac{1}{3} ∠ A C D$ ， $C F$ 平分 $∠ E C N$ ，则 $∠ M C G =$ 。

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8、如果 $x^{2} + k x + 16$ （其中 $k$ 为常数）是一个完全平方式，那么 $k$ 的值为。

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9、右图是一个正方体的展开图，相对面上的两数之和都相等，则 $a + b + c =$ 。

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10、在长方形 $A B C D$ 中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中 $A B = 5 c m, B C = 7 c m$ ，求阴影部分图形的总面积（）

A、 $12 c m^{2}$ B、 $13 c m^{2}$ C、 $14 c m^{2}$ D、 $15 c m^{2}$

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11、小明和小华用手机里同款指北针参加定向越野赛，指北app的屏幕里有一条黑色的竖线，这条线所指的方向是参赛者当前的行进方向。图1和图2分别是小明和小华在比赛中某时刻指北app的屏幕截图，根据屏幕截图数据，下列说法正确的是（）

A、小明当时的行进方向是北偏东 $30 °$ 方向； B、小华当时的行进方向是南偏西 $210 °$ ； C、小明当时的行进方向与小华当时的行 D、小明当时的行进方向是东北方向，小华当时的行进方向是西南方向。

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12、某校组织了美食节活动，某班家长义工准备了若干个蛋挞，分给本班每名同学。若每名同学分得5个蛋挞，还剩3个；若每个小朋友分得6个蛋挞，还差3个，设家长义工一共准备了 $x$ 个蛋挞，则可列方程为（）

A、 $5 x + 3 = 6 x - 3$ B、 $5 x - 3 = 6 x + 3$ C、 $\frac{x - 3}{5} = \frac{x + 3}{6}$ D、 $\frac{x - 3}{6} = \frac{x + 3}{5}$

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13、如图，数轴的单位长度为1，如果点B和点C表示的数互为相反数，则点A表示的数是（）

A、－2 B、－3 C、－4 D、－5

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14、在校午餐是学生校园生活的重要组成部分，为了了解某中学2000名学生对“校园午餐菜品质量现状”的满意程度，从中随机调查500名学生，结果有450名学生表示非常满意，则下列说法正确的是（）

A、样本是450名学生 B、调查方式是普查 C、学生对“校园午餐菜品质量现状”的满意程度的数据为定性数据 D、该校有450名学生对午餐菜品质量表示非常满意

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15、下列计算正确的是（）

A、 $b^{2} · b^{3} = b^{6}$ B、 $x^{3} · x^{3} = 2 x^{3}$ C、 $a^{4} + a^{2} = a^{6}$ D、 $m · m^{5} = m^{6}$

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16、2025年12月11日“九天苍穹”无人航空通用平台在陕西成功首飞，“九天”无人机机长16.35米，翼展25米，载荷能力达6吨，实用升限15000米。数据“15000”用科学记数法表示为（）

A、 $15 \times 1 0^{3}$ B、 $1.5 \times 1 0^{4}$ C、 $1.5 \times 1 0^{5}$ D、 $150 \times 1 0^{2}$

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17、中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池。类似地，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（）

A、 B、 C、 D、

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18、定义：在 $R t Δ A B C$ 中，若斜边长为 $c$ ，则称 $R t Δ A B C$ 是 $c$ 系直角三角形。
例：如图1，在 $R t Δ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ，则称 $R t Δ A B C$ 是5系直角三角形。

(1)、【任务一：概念理解】
①若 $A C = B C = 1$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，则 $Δ A B C$ 是 $Δ$ 系直角三角形；
②若 $Δ A B C$ 是 $\sqrt{5}$ 系直角三角形， $A B = 1$ ，请在图2中画出一个满足条件的 $Δ A B C$ ；

(2)、【任务二：实践应用】如图3，在以 $O$ 为原点的平面直角坐标系中， $M (1, 1)$ ，点 $N$ 在直线 $y = 2 x + 4$ 上， $R t Δ O M N$ 是以 $M$ 为直角顶点的 $a$ 系直角三角形，求 $a$ 的值；

(3)、【任务三：拓展提升】已知 $D (- 1, - 1)$ ， $E (1, 3)$ ， $R t Δ D E F$ 是 $2 \sqrt{10}$ 系直角三角形，直线 $l : y = k x + b (k \neq 0)$ 上有且仅有两个满足条件的点 $F$ ，请在图4中画出一个符合题意的 $R t Δ D E F$ ，并求出 $k$ 所有可能的取值。

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19、综合与实践
【问题背景】为了对体育节4×100米接力项目的成绩进行分析研究，某班同学进行了数据统计分析。已知全校有3个年级，每个年级10个班，分男、女子组进行比赛，
【数据统计】
A. 八年级男子组4×100米接力成绩统计如下：(单位：秒)
55.7、54.7、56.5、55.5、56、56.3、54.4、56.4、56.6、54.9
B. 三个年级男子4×100米接力成绩的箱线图如下：

【数据分析】

(1)、箱线图中x的值为；

(2)、比较三个年级男子 $4 \times 100$ 米接力成绩的集中趋势或离散程度，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？(写出一条即可)
发现：
原因：
【进阶分析】在 $4 \times 100$ 米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗。因此 $4 \times 100$ 米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的100米单项用时之和。

(3)、在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t(单位：秒)与交接棒训练时长x(单位：小时)满足一次函数关系(其中 $0 \leq x \leq 16$ )，已知当 $x = 8$ 时， $t = 1$ .0；当 $x = 12$ 时， $t = 1$ .4。并且接力比赛用时满足：
4×100米接力成绩 = 四人100米单项时间总和 - 三次交接棒总节约时间
①求t关于x的函数表达式；
②已知九(1)班四名选手的100米单项用时总和为56.4秒，则九(1)班 $4 \times 100$ 米接力成绩y(单位：秒)与交接棒训练时长x(单位：小时)之间的函数表达式为 ▴；
(化简为 $y = k x + b$ 的形式)
③九(2)班四名男子选手的100米单项用时总和比九(3)班快1.4秒，但 $4 \times 100$ 米接力成绩比九(3)班慢1.3秒，且两个班的交接棒训练时间之和为13小时。求九(3)班的交接棒训练时长。

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20、 2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手。下图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图。其中， $∠ G H N : ∠ F G E = 2 : 1$ ， $∠ H G F = 140 °$ ， $G E ∥ M N$ 。

(1)、求 $∠ G H M$ 的度数；

(2)、若 $G H ∥ D E$ ， $∠ A B C = 150 °$ ， $∠ B C E = 68 °$ ， $∠ G E C = 118 °$ ，求证： $G H ∥ A B$ 。

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