相关试卷

1、“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，表盘中数字 $1 ~ 12$ 均匀分布，分针转动一周（ $360 °$ ）需要 $60$ 分钟，时针转动一周的 $\frac{1}{12}$ 需要 $60$ 分钟，这样，分针的转速为每分钟转 $6$ 度，时针的转速为每分钟转 $\frac{1}{2}$ 度．
【课题学习】三点二十分时，时针与分针所成角度是多少度？为了解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为 $90 °$ ；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度为 $20 \times 6 ° = 120 °$ ，时针转动的角度为 $20 \times (\frac{1}{2}) ° = 10 °$ ；三点二十分时，时针与分针所成角度是 $120 ° - (90 ° + 10 °) = 20 °$
【问题解决】如图，表盘上的点 $A$ 对应数字“ $12$ ”，点 $B$ 对应数字“ $3$ ”

(1)、三点三十分时，时针与分针所成角度是度；

(2)、如图 $1$ ，若分针 $O M$ 从 $O A$ 的位置开始转动，经过多少分钟， $O M$ 第一次平分 $∠ A O B$ ；

(3)、如图 $2$ ，两点钟时，时针 $O N$ 与分针 $O M$ 所成角度 $60 °$ ，在两点钟到三点钟之间，经过多少分钟，分针 $O M$ 、时针 $O N$ 和射线 $O B$ 中的一条射线是另外两条射线组成的角的平分线；

(4)、当时针和分针所成角度 $180 °$ 时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图 $3$ ，六点整就是一个美妙时刻，从 $0$ 时到 $24$ 时共有个美妙时刻．

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2、根据以下信息，探索并完成任务．

现有一块长方形宣传牌，拟在上面书写24字宣传语．
信息1	如图1，（1）实线部分是长方形宣传牌，长 $414 cm$ ，宽 $270 cm$ ．（2）中间虚线部分也是长方形，长是宽的 $1.6$ 倍，用来设计．（3）四周空白部分的宽度相等．
信息2	如图2，为了美观，将设计部分分割成大小相等的左中右三个长方形栏目，每个栏目书写8个字，栏目与栏目之间的中缝间距相等．
信息3	如图3，每个栏目划出正方形方格，中间有十字间隔，竖向两列中间间隔（如 $C D$ ）和横向中间间隔（如 $E F$ ）宽度比为 $1 : 2$ ．
问题解决
任务1	设四周宽度为 $x cm$ ，则长可表示为___________ $cm$ ，宽可表示为___________ $cm$ ．
任务2	求四周宽度 $x$ 的值．
任务3	（1）求每个栏目的水平宽度（如 $A B$ ）；（2）长方形栏目与栏目之间的中缝间距是___________ $cm$ ．

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3、百合外国语学校为调研学生的睡眠情况，随机抽取了 $m$ 名学生，调查他们过去一周的平均睡眠时间并绘制了如下两幅不完整的统计图：
$a ． m$ 名学生平均睡眠时间的频数分布直方图如图①：（将调查数据分成5组，分别是 $A ： 6 \leq x < 7$ ， $B ： 7 \leq x < 8 ， C ： 8 \leq x < 9 ， D ： 9 \leq x < 10 ，$ $E ： 10 \leq x < 11 ）$
b． $m$ 名学生平均睡眠时间的扇形统计图如图②：根据以上信息，回答下列问题：

(1)、本次调查的学生总数 $m$ 的值为___________

(2)、补全频数分布直方图；

(3)、在扇形统计图中，B组所在扇形区域的圆心角大小为___________度；

(4)、百合外国语学校共有1800名在校学生，请估计睡眠时间在9小时及以上的学生有多少名？

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4、（ $1$ ）已知：如图 $1$ ，点 $C$ 在线段 $A B$ 上，且 $A C = 8 cm$ ，点 $E$ 和点 $F$ 分别是线段 $A B 、 A C$ 的中点， $E F = 5 cm$ ．求线段 $A B$ 的长．
（ $2$ ）如图 $2$ ，已知 $∠ A O C = \frac{1}{2} ∠ B O C$ ， $O D$ 平分 $∠ A O B$ ，且 $∠ A O C = 32 °$ ，求 $∠ C O D$ 的度数．

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5、如图，已知一个正方体展开图的六个面依次书写“勇”“敢”“追”“逐”“梦”“想”，则折叠成正方体后，与“勇”相对的字是．

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6、已知 $a ， b ， c$ 三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简： $|a + b| - |c - a| + |b - a|$ 的结果为（）

A、 $- 3 a - c$ B、 $- a - c$ C、 $a - 2 b - c$ D、 $a + 2 b - c$

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7、随着初中学业水平考试的临近，我校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，
绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（）

A、共有500名学生参加模拟测试 B、从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 C、第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多 D、第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人

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8、【定义新知】
婆罗摩芨多是公元 $7$ 世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．
【理解运用】
（ $1$ ）如图 $1$ ，四边形 $A B C D$ 为 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $A C$ 、 $B D$ 、 $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ 、 $O D$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ，已知 $∠ B O C + ∠ A O D = 180 °$ ．试说明：四边形 $A B C D$ 是“婆氏四边形”；
（ $2$ ）如图 $2$ ，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，以 $A B$ 为弦的 $⊙ O$ 交 $A C$ 于 $D$ ，交 $B C$ 于 $E$ ，连接 $D E$ 、 $A E$ 、 $B D$ ．其中， $A B = 6, B C = 10$ ，若四边形 $A B E D$ 是“婆氏四边形”，求 $D E$ 的长；
【问题拓展】
（ $3$ ）如图 $3$ ，某公园欲规划一个圆形景观区 $⊙ O$ ，并在其内部设计一个四边形 $A B C D$ 区域，作为花海，其中点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 均在 $⊙ O$ 上， $A C$ 、 $B D$ 为花海内两条笔直的观光通道．根据设计要求，四边形 $A B C D$ 是“婆氏四边形”，且 $A D$ 与 $B C$ 的长度之和为 $400$ 米．为了节约成本，要求圆形景观区的面积尽可能的小，请问圆形景观区的面积是否存在最小值？若存在，请求出圆形景观区面积的最小值；若不存在，请说明理由．

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9、如图，二次函数 $y = - x^{2} + b x + 5$ 的图象与 $x$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D (1,8)$ 在二次函数的图象上， $M$ 为二次函数的图象的顶点．

(1)、求 $△ M C B$ 的面积；

(2)、点 $Q$ 是 $x$ 轴上一动点，当 $△ B C Q$ 和 $△ M C B$ 相似时，求点 $Q$ 坐标．

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10、“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慈结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．八年级数学组组织了一项关于冬至节气包饺子及饺子馅成本探究的实践活动，现将八（5）班的学生作品进行评比，分为 $A, B, C, D$ 四个等级，并将评比结果绘制成以下两幅尚不完整的统计图：
请根据图中的信息解答下列问题：

(1)、补全两个统计图；

(2)、请求出 $C$ 等级所在扇形圆心角的度数；

(3)、现准备从 $A$ 等级的4人中随机抽取两人去参加比赛，小明和小丽都被抽到的概率是多少？

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11、随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为 $30 °$ ， A，C两点的距离为 $24 m$ ．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为 $36.9 °$ ．求无人机从A点到B点的上升高度 $A B$ （结果精确到 $0.1 m$ ）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据： $\sin 36.9 ° \approx 0.60$ ， $\cos 36.9 ° \approx 0.80$ ， $\tan 36.9 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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12、如图， $△ O P_{1} A_{1}$ ， $△ A_{1} P_{2} A_{2}$ ， $△ A_{2} P_{3} A_{3}$ $\dots$ 都是等腰直角三角形，直角顶点 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, \dots$ 都在函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图像上，若三角形依次排列下去，则点 $A_{2026}$ 的坐标是．

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，设 $⊙ O$ 与 $B C$ 、 $A C$ 分别相切于点 $E$ 、 $F$ ， $B O$ 平分 $∠ A B C$ ，连接 $O A$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{5}{2} - \frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{5}{2} - \frac{π}{3}$ C、 $\frac{5}{2} - \frac{3 π}{8}$ D、 $\frac{5}{4}$

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14、已知：如图，在扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B = 100 °$ ，半径 $O A = 6$ ，将扇形 $A O B$ 沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧 $A B$ 上的点D处，折痕交 $O A$ 于点C，连接 $O D$ ，则扇形 $A O D$ 的弧长为（）

A、 $\frac{2}{3} π$ B、 $\frac{4}{3} π$ C、 $4π$ D、 $\frac{24}{3} π$

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15、如图，将矩形 $A B C D$ 绕点A顺时针旋转到矩形 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ 的位置，旋转角为 $α (O ° < α < 90)$ ．若 $∠ 1 = 113 °$ ，则 $∠ α$ 的大小是（）

A、 $68 °$ B、 $20 °$ C、 $28 °$ D、 $23 °$

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16、如图，一次函数 $y = a x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于M，N两点，则关于x的不等式 $a x + b \geq \frac{k}{x}$ 的解集为（）

A、 $- 1 \leq x < 0$ 或 $x \geq 2$ B、 $x \leq - 1$ 或 $x \geq 2$ C、 $x \leq 2$ D、 $- 1 \leq x \leq 2$

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17、如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体从左面看到的形状图是（）

A、 B、 C、 D、

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18、在 $4 \times 4$ 的正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，图1中的线段 $A B$ 的两个端点都在格点上．

(1)、在图1中，线段 $A B$ 的长为．

(2)、在图2中，画一个面积为10的正方形 $D E F G$ ，且正方形的顶点都在格点上．

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19、在某次射击训练中，甲、乙两人各射击10次的成绩如下（单位：环）：甲：7，5，8，8，9，7，8，10，8，9；乙：6，8，9，7，5，10，7，6，9，10；

(1)、小明计算出两人的方差分别为： $s^{2}_{甲} = 1.69$ ， $s^{2}_{乙} = 2.81$ ，则___________的成绩更加稳定；（填“甲”或“乙”）

(2)、求乙射击成绩的四分位数 $m_{25}, m_{50}, m_{75}$ ；

(3)、小明又根据两人的成绩绘制成如下的箱线图，根据你的理解，比较两人的成绩．

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20、在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1，请回答下列问题：

(1)、直接写出点 $B 、 C$ 的坐标： $B$ ___________， $C$ ___________；

(2)、在图中描出点 $A$ 关于 $x$ 轴对称的点，记为点 $D$ ，连接 $B D, C D$ ；

(3)、求四边形 $A B D C$ 的面积．

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