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1、计算： $202 5^{0} - t a n 3 0^{°} + \frac{1}{\sqrt{3}} + | \sqrt{2} - 1 |$ ；

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2、如图，线段AB与CD相交于点 $O, ∠ A O C = 3 0^{°}, A B = 6, C D = 5 \sqrt{3}$ ，则 $A C + B D$ 的最小值为．

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3、如图所示是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根长度相等的支柱构成。小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面之间的夹角最大能达到约 $6 0^{°}$ ，即 $∠ B A F = 6 0^{°}$ ，最小能达到约 $3 7^{°}$ ，即 $∠ C D F = 3 7^{°}$ ，已知该三脚架的支柱 $A B = C D = 1.5 m$ ，则该三脚架可调节的部分BC的长度为．（答案精确到0.1m，已知 $c o s 3 7^{°} \approx 0.8, s i n 3 7^{°} \approx 0.6, t a n 3 7^{°} \approx 0.75, \sqrt{3} \approx 1.732)$

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4、若方程 $2 x^{2} - 4 x + c = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $c$ 的值可能是（写出一个）．

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5、在数轴上，介于 $\sqrt{5}$ 和 $\sqrt{11}$ 之间的整数是．

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6、若 $a^{2} - 2 a = 8$ ，则 $2 a^{2} - 4 a + 4$ 的值为．

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7、对联是一种传统的中国文化艺术形式，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．一副对联包括上下两联，小鑫无意间将两副内容不同的对联打乱，他从中随机抽取两张，则恰好是一副对联的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8、正方体表面展开图如图所示，每个面上分别写着“初三中考加油”，如果将这个展开图还原为正方体，其中和“初”字所在面相对的面上的汉字是（）

A、中 B、加 C、考 D、油

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9、下列运算正确的是（）

A、 $x^{4} - x^{2} = x^{2}$ B、 ${(- x^{3} y^{2})}^{3} = - x^{9} y^{6}$ C、 $\sqrt{16} = \pm 4$ D、 $3 x^{2} \cdot 2 x^{3} = 5 x^{5}$

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10、下列四张新能源图标是中心对称图形的是

A、水能 B、风能 C、太阳能 D、氢能

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11、在Rt $△ A B C$ 中， $M$ 是斜边AB上的一点，将线段MA绕点 $M$ 旋转至MD位置，点C，D在直线AB的同一侧．

(1)、当M是AB的中点时，连接AD，BD．
①如图1，求 $∠ A D B$ 的大小；
②如图2，已知点 $D$ 和边AC上的点 $E$ 满足 $M E ⊥ A D, D E / / A B$ ，连接CD．求证： $B D = C D$ ．

(2)、如图3，当 $A M > B M$ 时，在线段MD取一点 $G$ ，连接BG并延长交AC的延长线于点 $F$ ，当四边形CMGF是平行四边形时，若 $△ A C M$ 的面积为 $8, B C \cdot G M = 12$ ，求平行四边形CMGF的面积．

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12、国产AI大模型DeepSeek的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“ $A$ ．机器人技术”，“ $B$ ．计算机视觉”，“ $C$ ．自然语言处理”，“ $D$ ．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解．

(1)、甲同学选择“ $A$ ．机器人技术”直播的概率是 ▲ ；

(2)、请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“D．专家系统”的概率．

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13、如图，将四边形纸片ABCD沿AE折叠，使点 $B$ 落在CD上的点 $F$ 处，点 $E$ 在BC上；再将 $△ A D F 、 △ E C F$ 分别沿AF、EF折叠，此时点D、C都落在AE上的点 $G$ 处．若 $A B = 6$ ，则当四边形AECD是平行四边形时， $G F =$ ．

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14、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点 $O, A B = 5, C O = 6$ ，则BC的长为．

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15、如图，在四边形ABCD中， $A B / / C D, A D ⊥ A B$ ，以 $D$ 为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为 $E$ ，若 $\frac{A B}{C D} = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n C$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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16、我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊 $x$ 只，乙有羊 $y$ 只，根据题意列方程组正确的为（）

A、 ${\begin{array}{l} 2 x + 9 = y - 9 \\ x - 9 = 2 y + 9 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + 9 = 2 y - 9 \\ 2 x - 9 = y + 9 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 2 (x + 9) = y - 9 \\ x - 9 = y + 9 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + 9 = 2 (y - 9) \\ x - 9 = y + 9 \end{array}$

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17、已知在 $△ A B C$ 中， $A B < B C$ ，用尺规在BC边上确定一点 $D$ ，使得 $A D + C D = B C$ ，则下列作图中，一定符合要求的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中 $∠ C = ∠ D B E = 9 0^{°}, ∠ A = 4 5^{°}$ ， $∠ E = 3 0^{°}$ ．若 $A B / / D E$ ，则 $∠ C B D$ 的度数为（）

A、 $5^{°}$ B、 $1 0^{°}$ C、 $1 5^{°}$ D、 $2 0^{°}$

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19、你玩过荡秋千游戏吧？图（a）是秋千的侧视图，当秋千 $A B$ 静止时，下端 $B$ 离地面 $l$ 的距离 $B D$ 为 $0.5 m$ ．

(1)、如图（a），当秋千两边摆动时，两边摆动的角度相等（即 $∠ B A C_{1} = ∠ B A C_{2}$ ），当秋千分别荡到两边的最高点 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 位置时，若 $A D$ 交 $C_{1} C_{2}$ 于点 $E$ ， $A E = \frac{1}{2} A D$ ，且 $C_{1} C_{2} = 4 m$ ，请你计算秋千 $A B$ 的长度．

(2)、如图（b），在（1）的条件下，设计一个侧视图为 $△ P Q R$ 的挡光板，用于遮挡阳光，点 $Q$ ， $P$ ， $D$ 都在 $l$ 上，已知 $∠ R P Q = 45 °$ ， $P D = 2 m$ ，如果把挡光板沿 $Q P$ 方向向右平移，但为安全起见，要求 $P R$ 与秋千运动弧线最近点的距离不小于 $0.5 m$ ，问挡光板应最多向右平移多少米？（不考虑人体和坐板的大小，结果精确到 $0.1 m$ ）

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20、如图，码头 $B$ 在码头 $A$ 的正东方向，甲船从码头 $A$ 出发，沿北偏东 $40 °$ 的方向行驶可直达小岛 $C$ .若甲船与乙船分别从码头 $A$ ， $B$ 同时等速出发，均直接驶向小岛 $C$ ，两船可以同时到达.

(1)、在图中，用尺规作图画出小岛 $C$ 的位置（不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的基础上，过点 $C$ 作正东方向 $C D$ ，乙船从点 $C$ 出发，沿 $C Q$ 行驶且始终保持到 $C D$ ， $C B$ 两边的距离相等，请用尺规法作出航向 $C Q$ （不写作法，保留作图痕迹）；

(3)、以 $B C$ 为直径的半圆在 $B C$ 的右侧，若乙船沿 $C Q$ 运动不能到该半圆弧之外，当 $B C = 20 k m$ 时，求乙船运动的最远距离 $C P$ 的长（参考数据： $s i n 25 ° = 0.423$ ， $c o s 25 ° = 0.906$ ， $t a n 25 ° = 0.466$ ）.

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