初中数学-试题列表-第18页

1、综合与探究

【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”.

【示例】如图1，在四边形ABCD中， ∠A =∠C =90°，则称四边形ABCD 叫做“对直四边形ABCD”.

【性质探究】

小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下：

如图2，连接对角线BD，取BD中点O，并连接OA， OC.

∵∠BAD=∠BCD=90°， ▲ ，

$∴ O A = \frac{1}{2} B D, O C =$ ▲

∴OA=OB=OC=OD，

∴四边形ABCD的顶点A， B， C， D均在以点O为圆心， BD为直径的圆上.

(1)、请补全小明同学的证明过程.

(2)、【性质应用】

如图3，在矩形ABCD中，点P是AB边上一点，过A， D， P三点的圆交对角线AC于点 E.

①求证：四边形 APED 是“对直四边形”；

②若AB=8， AD=6，当△ADE为等腰三角形时，直接写出PE的长.

(3)、【拓展提升】

如图4，在矩形ABCD中， AB =kBC （k为正实数).点P是BA延长线上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E，延长PE交 BC于点 F.请求出 $\frac{P E}{E F}$ 的值（用含 k的式子表示).

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2、综合与实践

【问题背景】

数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究.

【数据收集】

信息1：如图1，以消防水枪喷水口点O处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点O的水平距离为6m时达到最高点，最大高度为18m.

信息2：从点O处喷出的水流落在高楼外墙上的点A处，高楼外墙与点O的水平距离为8m.

信息3：若消防员将水枪喷水口从点O处向右移动 tm至点B处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变)，此时水流未达到最高点但恰好到达点A处.

（以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状)

【问题解决】

(1)、求此次消防演练中点O处喷出的抛物线形状水流的表达式；

(2)、求信息3中移动距离t的值；

(3)、【联系拓广】

如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状.如图3，无人机出水口点E位于y轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为 $y_{1} = - \frac{1}{10} x^{2} + h,$ 下沿抛物线的表达式为 $y_{2} = - \frac{1}{5} x^{2} + h$ （h为出水口点E到地面的高度)，高楼外墙与y轴仍相距8m.当点E沿y轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖4.9m长的火带CD处（即 CD两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且CD=4.9m)?若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由.

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3、学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品.已知购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元，购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300元.

(1)、求甲、乙两种奖品的单价；

(2)、学校计划购买甲、乙两种奖品共100件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少?并求出最少总费用.

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4、 “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益.为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某学校就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从小学部、初中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分，满分10分)：

小学部： 7， 7， 7， 8， 8， 8， 8， 8， 9， 10；

初中部： 9， 7， 9， 6， 10， 6， 8， m， 9， 7.

两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：

	平均数	中位数	众数	方差
小学部	8	a	8	0.8
初中部	8	8.5	b	1.8

根据以上信息，完成下列问题：

(1)、填空：m= ， a= ， b=；

(2)、综合表中数据，你认为是该校的小学部还是初中部的学生对“校园餐”的满意度更高?请说明理由；

(3)、若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比65%及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”，已知该校小学部有1200名学生，初中部有800名学生，你认为该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”?请说明理由.

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5、先化简，再求值：

(\frac{3 x}{x - 2} - \frac{x}{x + 2}) \cdot \frac{x^{2} - 4}{x},

其中x=3.

下面是甲、乙两同学的部分运算过程：

甲同学

解：原式 $= [\frac{3 x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}] \cdot \frac{x^{2} - 4}{x} \dots$

乙同学

解：原式 $= \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x} - \frac{x}{x + 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x} \dots$

(1)、甲同学解法的依据是；乙同学解法的依据是；（填序号)

①等式的基本性质②分式的基本性质③乘法分配律④乘法交换律

(2)、请你选择上面的一种解法，写出完整的解答过程.

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6、计算：

{(2 + \sqrt{3})}^{0} + 6 t a n 3 0^{\circ} - \sqrt{12} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} .

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7、如图，AB为订书机的托板，压柄BC绕着点 B旋转，连接杆 DE的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中， DE 的长度保持不变.若DE=10cm， ∠DEB=22°， ∠B=45°，则BE的长度为cm.（结果保留整数，参考数据： sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)