北京版七（下）数学第四章一元一次不等式和一元一次不等式组单元测试提升卷

试卷更新日期：2026-01-06 类型：单元试卷

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一、选择题（每题2分，共16分）

1. ① $1 > - 1$ ；② $3 x - 2 y \geq 0$ ；③ $a + 3 = 1$ ；④ $y + 6$ ；⑤ $m + 5 < 8$ ．其中不等式有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 已知 $a > b$ ，则下列各式中一定成立的是（）

A、 $a - b < 0$ B、 $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $2 a - 1 < 2 b - 1$

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3. 把不等式组 ${\begin{cases} x \leq 2 \\ x > - 1 \end{cases}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 小红读一本400页的书，计划10天内读完，前5天因种种原因只读了100页，为了按计划读完，则从第六天起平均每天至少要读多少页?设第六天起平均每天至少要读x页，则根据题意列不等式为（）

A、 $100 + 5 x \geq 400$ B、 $100 + 6 x \geq 400$ C、 $100 + 6 x > 400$ D、 $100 + 5 x > 400$

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5. 若不等式组 ${\begin{array}{l} x > m \\ x - 2 > 0 \end{array}$ 的解集是x＞2，则m的取值范围是（）

A、m＜2 B、m＞2 C、m≤2 D、m≥2

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6. 若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{cases} x + 11 \leq 4 x - 1 \\ x \geq a \end{cases}$ 的解集为 $x \geq 4$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 4$ B、 $a \leq 4$ C、 $a$ >4 D、 $a$ <4

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7. 已知三个实数a ， b ， c满足 $a - b + c = 0$ ， $a c - b + 1 = 0$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、若 $a = 1$ ，则 $b^{2} - 4 c \geq 0$ B、若 $b + c = 0$ ，则 $c < - 1$ C、若 $c = 1$ ，则 $b^{2} - 4 a < 0$ D、若 $a + b = 0$ ，则 $c > 2 b$

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8. 若关于x的不等式组 $\{\begin{cases} 2 (x - 2) - 3 x ＜ - 4 \\ \frac{k + 3 x}{6} \geq \frac{1}{2} + x \end{cases}$ 只有3个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（）

A、39 B、42 C、45 D、48

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二、填空题（每题2分，共16分）

9. 已知关于 $x$ 的不等式 $(1 - 2 a) x > 1$ 的解集为 $x > \frac{1}{1 - 2 a}$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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10. 写一个解集为 $x \geq 2$ 的不等式：．

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11. 某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题，答对一题加10分，答错（或不答）一道题扣5分，如果小明参加本次竞赛得分要不低于140分，那么他至少答对道题．

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12. 高斯函数 $[x]$ ，也称取整函数，即 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如： $[2.5] = 2$ ， $[5] = 5$ ， $[- 2.5] = - 3 .$ 若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} \frac{2 x - 4}{3} \leq x - 1 \\ [a] - x > 0 \end{array}$ 的整数解恰有 $3$ 个，则 $a$ 的取值范围为．

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13. 不等式组 $\{\begin{array}{l} 5 x + 2 > 3 (x - 1) \\ \frac{1}{2} x - 1 \leq 7 - \frac{3}{2} x \end{array}$ 的所有整数解的和是．

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14. 北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速 $60 km/h$ 的路段上，当距离下一路口 $800 m$ 时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为 $64 s$ ，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度 $x km/h$ 的取值范围是．

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15. 定义一种新运算： $a \otimes b = a - a b$ ，例如： $2 \otimes 3 = 2 - 2 \times 3 = - 4$ ．根据上述定义，不等式组 $\{\begin{matrix} 2 \otimes x \geq - 1 \\ x \otimes 2 \leq 1 \end{matrix}$ 的整数解为．

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16. 关于 $x$ 的方程 $k - 2 x = 3 (k - 2)$ 的解为非负数，且关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 2 (x - 1) \leq 3 \\ \frac{2 k + x}{3} \geq x \end{array}$ 有解，则符合条件的整数 $k$ 的值的和为．

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三、解答题（共12题，共68分）

17. 求不等式 $1 - \frac{x - 2}{2} \geq \frac{2 + x}{3}$ 的非负整数解．

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 5 x - 1 < 2 (x + 4) ① \\ \frac{x + 1}{3} \geq \frac{x}{2} + 1 ② \end{array}$ ，并将不等式组的解集在数轴上表示出来.

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19. x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3（x-1）与 $\frac{1}{2}$ x≤2- $\frac{3}{2}$ x都成立？

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20. 下面是小华同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务：
解不等式： $\frac{x + 2}{4} - 1 < \frac{2 x - 1}{6}$
解：去分母，得： $3 (x + 2) - 1 < 2 (2 x - 1)$        第一步
去括号，得 $3 x + 6 - 1 < 4 x - 2$      第二步
移项，得 $3 x - 4 x < - 2 - 6 + 1$        第三步
合并同类项， $- x < - 7$              第四步
两边同时除以 $- 1$ ，得 $x > 7$              第五步
任务：

(1)、上述过程中，从第______步出现错误，具体错误是______；

(2)、请写出该不等式正确的求解过程；

(3)、请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式的过程写出一条注意事项．

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21. 某商场计划购进一批某型号冰箱和洗衣机，经投标，购买 $1$ 台冰箱 $1200$ 元，购买 $1$ 台洗衣机 $800$ 元．

(1)、商场根据实际情况，决定购买冰箱和洗衣机共 $100$ 台，要求购买的总费用不超过 $96000$ 元，则购买冰箱最多多少台？

(2)、在 $(1)$ 的条件下，购买洗衣机的台数不超过冰箱台数的 $1.7$ 倍 $.$ 请问有几种购买方案？

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22. 感知：解不等式 $\frac{x + 2}{x - 1} > 0$ ．根据两数相除，同号得正，异号得负，得不等式组① $\{\begin{array}{l} x + 2 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{array}$ 或不等式组 $\{\begin{matrix} x + 2 < 0 ， \\ x - 1 < 0 ． \end{matrix}$ 不等式组①，得 $x > 1$ ；解不等式组②，得 $x < - 2$ ，所以原不等式的解集为 $x > 1$ 或 $x < - 2$ ．

(1)、探究：解不等式 $\frac{2 x - 4}{x + 1} > 0$ ．

(2)、应用：解不等式 $(x - 3) (x + 5) \leq 0$ ．

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23. 已知关于x的方程 $3 x - a = 4$ ．

(1)、若该方程的解满足 $x > - 2$ ，求a的取值范围；

(2)、若该方程的解是不等式 $x - 2 (3 x - 1) \geq x + 4$ 的最大整数解，求a的值．

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24. 如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．

(1)、在方程① $3 x - 1 = 0$ ；② $\frac{2}{3} x + 1 = 0$ ；③ $x - (3 x + 1) = - 5$ 中，不等式组 ${\begin{array}{l} x > \frac{3}{4}, \\ x > \frac{4}{3} \end{array}$ 的关联方程是；（填序号）

(2)、若不等式组 ${\begin{array}{l} x - \frac{1}{2} < 1, \\ 1 + x > - 3 x + 2 \end{array}$ 的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是；（写出一个即可）

(3)、若方程 $3 - x = 2 x$ ， $3 + x = 2 (x + \frac{1}{2})$ 都是关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} x < 2 x - m, \\ x - 2 \leq m \end{array}$ 的关联方程，求 $m$ 的取值范围．

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25. 【提出问题】已知x－y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如y表示另一个量如x ，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解决问题】解：∵x－y＝2，∴x＝y+2．
又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞－1．
又∵y＜0，∴－1＜y＜0，…①
同理得1＜x＜2…②
由①+②得－1+1＜y+x＜0+2．
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
【尝试应用】已知x－y＝－3，且x＜－1，y＞1，求2x+2y的取值范围．

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26. 阅读理解：
例：解不等式 $\frac{3 x + 2}{x - 1} > 2$ ．
解：把不等式 $\frac{3 x + 2}{x - 1} > 2$ 进行整理，得 $\frac{3 x + 2}{x - 1} - 2 > 0$ ，通分得 $\frac{3 x + 2}{x - 1} - \frac{2 (x - 1)}{x - 1} > 0$ ，
即 $\frac{x + 4}{x - 1} > 0$ ，则有：① $\{\begin{array}{l} x + 4 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{array}$ ；② $\{\begin{array}{l} x + 4 < 0 \\ x - 1 < 0 \end{array}$ ．
解不等式组①得： $x > 1$ ；解不等式组②得： $x < - 4$ ．
所以原不等式的解集为： $x < - 4$ 或 $x > 1$ ．
请根据以上解不等式的思想方法解不等式 $\frac{x}{2 x - 1} < 1$ ．

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27. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程 $x - 1 = 3$ 的解为 $x = 4$ ，而不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 1 > 1 \\ x - 2 < 3 \end{array}$ 的解集为 $2 < x < 5$ ，不难发现 $x = 4$ 在 $2 < x < 5$ 的范围内，所以方程 $x - 1 = 3$ 是不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 1 > 1 \\ x - 2 < 3 \end{array}$ 的“关联方程”

(1)、在方程① $\frac{x + 1}{3} + 1 = x$ ；② $2 (x + 1) - x = - 3$ ；③ $2 x - 6 = 0$ 中，不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 x + 1 > x - 3 \\ 3 (x - 2) - x \leq 2 \end{array}$ 的“关联方程”是___________（填序号）

(2)、关于 $x$ 的方程 $2 x - k = 2$ 是不等式组 $\{\begin{array}{l} \frac{x - 3}{2} \geq x \\ \frac{2 x + 5}{2} > \frac{1}{2} x \end{array}$ 的“关联方程”，求 $k$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $\frac{x + 5}{2} - 3 m = 0$ 是关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{x + 2 m}{2} > m \\ x - m \leq 2 m + 1 \end{matrix}$ 的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求 $m$ 的取值范围．

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28. 【提出问题】已知 $x - y = 2$ ，且 $x > 1$ ， $y < 0$ ，试确定 $x + y$ 的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解决问题】解：∵ $x - y = 2$ ， ∴ $x = y + 2$ ．
又∵ $x > 1$ ， ∴ $y + 2 > 1$ ， ∴ $y > - 1$ ．
又∵ $y < 0$ ， ∴ $- 1 < y < 0$ ， ①
同理得 $1 < x < 2$ ②
由 $① + ②$ 得 $- 1 + 1 < y + x < 0 + 2$ ．
∴ $x + y$ 的取值范围是 $0 < x + y < 2$ ．
【尝试应用】已知 $x - y = - 3$ ，且 $x < - 1$ ， $y > 1$ ，求 $2 x + 2 y$ 的取值范围．

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北京版七（下）数学第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组 单元测试提升卷

一、选择题（每题2分，共16分）

二、填空题（每题2分，共16分）

三、解答题（共12题，共68分）

北京版七（下）数学第四章一元一次不等式和一元一次不等式组单元测试提升卷