相关试卷

1、计算： $- {(- \frac{1}{2})}^{- 3} + tan 60 ° + |\sqrt{3} - 2| + {(π - 2024)}^{0}$ ．

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2、为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、 $\overset{⌢}{A B}$ 与 $\overset{⌢}{C D}$ 是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是 $72 °$ ，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽 $A C$ 的长是米．（ $π$ 取3.14，计算结果精确到0.1）

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3、如图，点 $A (0, - 2)$ ， $B (1, 0)$ ，将线段 $A B$ 平移得到线段 $D C$ ，若 $∠ A B C = 90 °$ ， $B C = 2 A B$ ，则点 $D$ 的坐标是．

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4、如图， $A D ∥ B C, A B ⊥ A C$ ，若 $∠ 1 = {35.8}^{\circ}$ ，则 $∠ B$ 的度数是（）

A、 $35 ° 4 8^{'}$ B、 $55 ° 1 2^{'}$ C、 $54 ° 1 2^{'}$ D、 $54 ° 5 2^{'}$

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5、下列说法正确的是（）

A、任意画一个三角形，其内角和是 $360 °$ 是必然事件 B、调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查． C、一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4 D、在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为 $S_{甲}^{2} = 1.5, S_{乙}^{2} = 2.5$ ，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐

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6、下列计算正确的是（）

A、 ${(- 2 a^{4})}^{3} = - 6 a^{12}$ B、 $a^{- 2} \div a^{5} = a^{3}$ C、 $\frac{a + 1}{a} - \frac{1}{a} = \frac{1}{a}$ D、 $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$

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7、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在 $P O$ 的延长线上，使得 $\frac{P O}{Q O} = \frac{1}{2}$ ，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1， $A (2, 4), B (2, 2), P (- 1, - \frac{3}{2})$ 是线段 $A B$ 外一点， $Q (2, 3)$ 在 $P O$ 的延长线上，且 $\frac{P O}{Q O} = \frac{1}{2}$ ，因为点Q在线段 $A B$ 上，所以点P是线段 $A B$ 的“延长2分点”．

(1)、如图1，已知图形 $W_{1}$ ：线段 $A B$ ， $A (2, 4)$ ， $B (2, 2)$ ，在 $P_{1} (- \frac{5}{2}, - 1), P_{2} (- 1, - 1), P_{3} (- 1, - 2)$ 中，______是图形 $W_{1}$ 的“延长2分点”；

(2)、如图2，已知图形 $W_{2}$ ：线段 $B C$ ， $B (2, 2)$ ， $C (5, 2)$ ，若直线 $M N : y = - x + b$ 上存在点P是图形 $W_{2}$ 的“延长2分点”，求b的最小值：

(3)、如图3，已知图形 $W_{3}$ ：以 $T (t, 1)$ 为圆心，半径为1的 $⊙ T$ ，若以 $D (- 1, - 2)$ ， $E (- 1, 1)$ ， $F (2, 1)$ 为顶点的等腰直角三角形 $D E F$ 上存在点P，使得点P是图形 $W_{3}$ 的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．

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8、综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在 $△ A B C$ 中，点M，N分别为 $A B$ ， $A C$ 上的动点（不含端点），且 $A N = B M$ ．
【初步尝试】（1）如图1，当 $△ A B C$ 为等边三角形时，小颜发现：将 $M A$ 绕点M逆时针旋转 $120 °$ 得到 $M D$ ，连接 $B D$ ，则 $M N = D B$ ，请思考并证明：
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A E ⊥ M N$ 于点E，交 $B C$ 于点F，将 $M A$ 绕点M逆时针旋转 $90 °$ 得到 $M D$ ，连接 $D A$ ， $D B$ ．试猜想四边形 $A F B D$ 的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，连接 $B N$ ， $C M$ ，请直接写出 $B N + C M$ 的最小值．

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9、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点D为 $⊙ O$ 上一点， $B C = B D$ ，延长 $B A$ 至E，使得 $∠ A D E = ∠ C B A$ ．

(1)、求证： $E D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B O = 4, \tan ∠ C B A = \frac{1}{2}$ ，求 $E D$ 的长．

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10、观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”，如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：
①本条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接 $A B$ ；
②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，C不在同一条直线上）；
③连接 $C B$ 并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在 $C B$ 延长线上的落点记为点D；
④用另一根足够长的木条画线，连接 $A D$ ， $A C$ ，则画出的 $∠ D A C$ 是直角．
操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图2， $B A = B C$ ，请画出以点A为顶点的直角，记作 $∠ D A C$ ；
推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：
证明： $∵ A B = B C = B D$ ，
$∴ △ A B C$ 与 $△ A B D$ 是等腰三角形．
$∴ ∠ B C A = ∠ B A C, ∠ B D A = ∠ B A D$ ．（依据1______）
$∴ ∠ B C A + ∠ B D A = ∠ B A C + ∠ B A D = ∠ D A C$ ．
$∴ ∠ D A C + ∠ B C A + ∠ B D A = 180 °$ ，（依据2______）
$∴ 2 ∠ D A C = 180 °$ ，
$∴ ∠ D A C = 90 °$ ．
依据1：______；依据2：______；
拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作 $∠ P O Q$ ，使得直角边 $O P$ （或 $O Q$ ）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）

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11、先化简，再求值： $(1 + \frac{a + 7}{a + 1}) \div \frac{a + 4}{a}$ ，其中 $a = 4$ ．

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12、如图，在平面直角坐标系中，点P为y轴上一点，⊙P交y轴于点A，点B，交x轴的正半轴于点C，AD平分∠BAC交⊙P于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交y轴于点F．

(1)、求证：EF为⊙P的切线；

(2)、若A(0，−1)，C( $\sqrt{3}$ ， 0)，求图中阴影部分的面积．

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13、随着劳动教育的开展，某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为40米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽 1米的小门，便于同学们进入．

(1)、若围成的菜地面积为120平方米，求此时边 $A B$ 的长；

(2)、可以围成的菜地面积最大是多少？

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14、计算： $- 1^{2020} + \sqrt{{(- 2)}^{2}} - \sqrt[3]{27} + |2 - \sqrt{3}|$

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15、如图是一个游戏装置，四边形 $A B O D$ 是正方形，点光源 $E$ 为 $O B$ 的中点．点 $P$ 、点 $Q$ 为 $A D$ 的三等分点， $P Q$ 是一个感光元件．若从点 $E$ 发出的光线照向平面镜 $O D$ ，其反射光线照射到 $P Q$ 上（含端点），该感光元件就会发光．已知点 $E (- 3, 0)$ ，反射光线所在直线为 $y = k x + b$ ，当感光元件发光时， $b$ 的取值范围为．

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16、若 $x = a$ 是一元二次方程 $x^{2} - 6 x - 2022 = 0$ 的一个根，则 $a^{2} - 6 a + 1$ 的值是．

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17、设 $A (- 3, y_{1}), B (- 2, y_{2}), C (3, y_{3})$ 是抛物线 $y = - x^{2} - 2 x + c$ 上的三点，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系为（　　）

A、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ B、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ C、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ D、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$

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18、光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反射，在射入水中后会发生折射现象．如图入射光线 $A P$ 在射入水面 $P$ 点的反射光线为 $P Q$ ，折射光线为 $P B$ ，若反射光线与折射光线夹角为 $80 °$ ，入射光线与折射光线夹角为 $160 °$ ，则入射光线与水平面的夹角为多少度？（　　）

A、 $40 °$ B、 $20 °$ C、 $60 °$ D、 $35 °$

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19、下列说法正确的是（）

A、圆的内接平行四边形一定是正方形 B、平分弦的直径垂直弦 C、圆的切线一定垂直于半径 D、任何一个三角形的内心一定在三角形内

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20、如图1，在正方形ABCD中，E是线段CD上任意一点（不含端点），点F在射线BE上，且CF=CB，连结DF，过点D作DH⊥DF交BE于点H，连结CH.

(1)、若∠EBC=15°，求∠DFB的度数.

(2)、求证：DH=DF.

(3)、如图2，CB=4，当CH⊥BF时，求CE的长度.

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