勾股定理的常见模型-【培优周周练】浙教版数学八年级上册

试卷更新日期：2025-08-06 类型：复习试卷

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一、“勾股树”模型

1. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（）

A、2，3，5 B、3，4，5 C、6，8，13 D、5，12，14

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2. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（）

A、2025 B、2024 C、 $2^{2023}$ D、 $2^{2024} - 1$

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3. 如图 $1$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，以这个直角三角形两直角边为边作正方形 $.$ 图 $2$ 由图 $1$ 的两个小正方形向外分别作直角边之比为 $4$ ： $3$ 的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形， $\dots$ ，按此规律，则图 $7$ 中所有正方形的面积和为（）

A、 $200$ B、 $175$ C、 $150$ D、 $125$

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4. 如图，以 Rt $△ A B C$ 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若 $A B = \sqrt{5}$ ，则图中阴影部分的面积为

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5. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

(1)、①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ 的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，直角三角形面积为 $S_{3}$ ，也满足 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ 吗？若满足，请证明；若不满足，请求出 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 的数量关系．

(2)、如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} =$ __________．

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二、“赵爽弦图”模型

6. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股圆方图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则 $a^{4} + b^{4}$ 的值为（）

A、68 B、89 C、119 D、130

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7. 如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD ，连结AC ，交BE于点 $P$ ，若正方形ABCD的面积为 $30, A E + B E = 7$ .则 $S_{△ C F P} - S_{△ A E P}$ 的值是（）

A、5.5 B、6.5 C、7 D、7.5

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8. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH，连接 EG，BD 相交于点O，BD 与HC相交于点 P.若GO=GP，则 $\frac{S_{正方形 A B C D}}{S_{正方形 E F G H}}$ 的值是( ).

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $2 + \sqrt{2}$ C、 $5 - \sqrt{2}$ D、 $\frac{15}{4}$

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9. 在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将 $5$ 个全等的小正方形嵌入长方形 $A B C D$ 内部，其中点 $M$ ， $N$ ， $P$ ， $Q$ 分别在长方形的边 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 和 $A D$ 上，若 $A B = 7$ ， $B C = 8$ ，则小正方形的边长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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10. 如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形 $A B C D$ ，其中 $A E = 4$ ， $A B = 5$ ，则 $D E$ 的值是．

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11. 图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长 $D K$ 交 $A B$ 、 $A C$ 分别于点 $M$ 、 $N$ ，延长 $E H$ 交 $B D$ 于点 $P$ （如图2）．
（1）若 $Rt △ A B F$ 的面积为 $5$ ，小正方形 $F G H K$ 的面积为 $9$ ，则 $A B$ ＝；
（2）如图2，若 $\frac{S_{四边形 A E H N}}{S_{四边形 B M H P}} = k$ ，则 $\frac{S_{四边形 F G H K}}{S_{四边形 B C N K}}$ ＝（用含 $k$ 的代数式表示）．

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12. 勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成.如图1为赵爽弦图，其中∠AGB=∠DFA=∠CED=∠BHC=90°，连结AE交BG于点P，连结BE，得到图2，若∠ABE＝∠AEB.

(1)、求证：EF=DF；

(2)、若EF=2，求PE的长.

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三、蚂蚁爬行模型

13. 如图，在棱长为2 的正方体中，蚂蚁从正方体下方一边 AB 的中点 P 出发爬到顶点( $C^{'}$ 处，若蚂蚁选择的路径是最短的，则最短路径长为.

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14. 如图，长方体盒子的长、宽、高分别为2，2，4，若一只蚂蚁想从盒底的点 A 处沿盒子的表面爬行一周到达点 B处，则蚂蚁爬行的最短路径长为.

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15. 如图，有一个高为8cm ，底面周长为6 cm的圆柱形容器，在外壁距下沿3c m的点A处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的内壁距上沿4 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从A 处到蜂蜜 B 处所走的最短路径长为.

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16. 如图，已知圆锥的母线长为6，底面圆的半径为3，在圆锥的底面边缘上点A处有一只蚂蚁，想吃到与点A 相对的母线的中点B处的食物，这只蚂蚁从点 A 出发，沿着曲面爬到点 B，则最短路线长是.

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17. 如图，是一个四级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5，1.5 和1.5，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，B点上有一只蚂蚁，想到A点去觅食，则蚂蚁从 B 点出发，沿着台阶面爬到A点，最短路径长为.

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18. 问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为 $100 c m$ ，宽为 $50 c m$ 的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽 $A D$ ，木块从正面看是一个边长为 $20 c m$ 的等边三角形，求一只蚂蚁从点 $A$ 处到达点 $C$ 处需要走的最短路程．
数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接 $A C$ ．

(1)、线段 $A C$ 的长即蚂蚁从点 $A$ 处到达点 $C$ 处需要走的最短路程，依据是；

(2)、问题解决：求出这只蚂蚁从点 $A$ 处到达点 $C$ 处需要走的最短路程．

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19. “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面.例如，如图①，一个立方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点 $A$ 出发，沿着立方体的表面爬行到点 $G$ .沿怎样的路线爬行路程最短?要解决这个问题，我们可以把立方体展开(如图②③，把空间两个面上的两点A，G之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题.根据“两点之间线段最短”，可知蚂蚁沿线段AG爬行路径最短，最短路径长为 $\sqrt{5}$ .
下面请你思考蚂蚁在圆锥表面的爬行问题：如图④，圆锥的底面半径为1，母线长为4.一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点 $A$ 出发，沿着圆锥的侧面爬过一圈到达母线PA的中点 $B$ .问：蚂蚁爬行的最短路径长是多少?

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四、矩形翻折形成的全等模型

20. 如图，矩形 $A B C D$ 沿着直线 $B D$ 折叠，使点C落在点 $C^{'}$ 处， $A D = 16$ ， $A B = 8$ ，则 $C^{'} E$ 的长度为（　　）

A、4 B、6 C、8 D、10

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21. 如图，折叠长方形纸片 $A B C D$ ，使得点D落在边 $B C$ 上的点F处，折痕为 $A E$ ，已知 $A B = D C = 6$ ， $A D = B C = 10$ ，则 $C E$ 的长为（）

A、3 B、 $2.5$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{7}{4}$

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22. 如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ，折叠纸片使边 $A D$ 落在对角线 $D B$ 上，折痕为 $D G$ ，则 $△ D B G$ 的面积为( )

A、 $30$ B、 $15$ C、 $24$ D、 $16$

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23. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ．点O为矩形 $A B C D$ 的对称中心，点E为边 $A B$ 上的动点，连接 $E O$ 并延长交 $C D$ 于点F．将四边形 $A E F D$ 沿着 $E F$ 翻折，得到四边形 $A^{^{'}} E F D^{^{'}}$ ，边 $A^{'} E$ 交边 $B C$ 于点G，连接 $O G 、 O C$ ，则 $△ O G C$ 的面积的最小值为（）

A、18－3 B、 $\frac{9}{2} + 3 \sqrt{7}$ C、 $12 - \frac{3 \sqrt{7}}{2}$ D、 $6 + \frac{3 \sqrt{7}}{2}$

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24. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片利用图 1 的方法折出一个正方形 $A B E F$ ，然后把纸片展平．第二步：将图 1 中的矩形纸片折叠，使点 $C$ 恰好落在点 $F$ 处，得到折痕 $M N$ ，如图 2 ．根据以上的操作，若 $A B = 8 ， A D = 12$ ，则线段 $B M$ 的长是（）

A、3 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、1

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25. 小明同学手中有一张矩形纸片ABCD ， AD＝12cm ， CD＝10cm ，他进行了如下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN ，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD^'N ， AD^'交折痕MN于点E ，则线段EN的长为（）

A、8cm B、 $\frac{169}{24} c π$ C、 $\frac{167}{24} c π$ D、 $\frac{55}{8} c π$

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26. 如图，矩形纸片 $A B C D ， A B = 3 ， A D = 5$ ，折叠纸片，使点A落在 $B C$ 边上的E处，折痕为 $P Q$ ，当点E在 $B C$ 边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．限定点P、Q分别在 $A B 、 A D$ 边上移动，若 $B P = 1$ ，则 $B E$ 的长为，若 $A Q = 4$ ，则 $B E$ 的长为．

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27. 长方形 $A B C D$ 中，点E在边上从点D沿 $D - C - B$ 的方向移动，若将长方形沿着 $A E$ 折叠在同一平面，如图1，点D的对应点为 $D^{'}$ ，连接 $D^{'} B$ ，若 $△ A B D^{'}$ 为直角三角形， $A D = 6$ ， $A B = 10$ ，求 $D E$ 的长．

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