1.2 《二次函数的图象》（4）-浙教版数学九年级上册课堂分层训练

试卷更新日期：2025-08-06 类型：同步测试

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一、基础应用

1. 已知二次函数为 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0, b \neq 0, c \neq 0)$ ，则它的图象可能是（）.

A、 B、 C、 D、

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2. 将二次函数 $y = - 3 x^{2}$ 的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（）

A、 $y = - 3 {(x - 1)}^{2} - 2$ B、 $y = - 3 {(x + 1)}^{2} - 2$ C、 $y = - 3 {(x - 1)}^{2} + 2$ D、 $y = - 3 {(x + 1)}^{2} + 2$

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3. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象开口向下，则 $a$ 的值可以是（）

A、 $- 2$ B、0 C、2 D、4

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4. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）的图象如图所示，则一次函数 $y = a x$ 与一次函数 $y = b x - c$ 在同一坐标系内的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线 $y = - 3 x^{2}$ 相同，它的顶点坐标为 $(- 2, 1)$ ，则此抛物线的解析式．

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6. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下，②顶点在y轴上．此二次函数的解析式可以是．

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7. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)中，决定该函数图象的开口方向和开口大小，在确定的条件下，决定图象对称轴的位置，决定图象与y轴交点的位置．

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8. 已知函数 $y = (m - 3) {(x + 2)}^{m^{2} - 7} + m - 2$ 是二次函数．

(1)、求m的值；

(2)、求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．

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9. 已知：抛物线y＝﹣x²+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．

(1)、求此抛物线的表达式；

(2)、如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．

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二、能力提升

10. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在第二象限内的图象与一次函数 $y = x + b$ 的图象如图所示，则函数 $y = - x^{2} + b x + 1 - k$ 的图象可能为（       ）


A、    B、    C、    D、

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11. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a、b、c为常数，且 $a \neq 0$ ）的对称轴为直线 $x = - 1$ ，且该抛物线与 $x$ 轴交于点 $A (1, 0)$ ，与 $y$ 轴的交点 $B$ 在 $(0, - 2)$ ， $(0, - 3)$ 之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（）
① $a b c > 0$ ；
② $9 a - 3 b + c \geq 0$ ；
③ $\frac{2}{3} < a < 1$ ；
④若方程 $a x^{2} + b x + c = x + 1$ 两根为 $m, n (m < n)$ ，则 $- 3 < m < 1 < n$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，对称轴为直线： $x = - 2$ ，下列说法：① $a b c > 0$ ；② $4 a - 2 b \leq t (a t + b)$ （t为全体实数）；③ $c > 3 a$ ；④若 $A (m, y_{1})$ 和 $B (m + 1, y_{2})$ 为图象上两点，且 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $m < - \frac{5}{2}$ ．其中正确的是（）

A、②③ B、②④ C、③④ D、①②

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13. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x
…
$- 3$
0
1
2
…
y
…
2
$- 1$
m
2
…
则下列结论：① $a c > 0$ ；②若点 $(- 4, y_{1})$ ， $(- 1, y_{2})$ ， $(4, y_{3})$ 均在该二次函数图象上，则 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ ；③若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - 1$ ；④ $8 a + c > 0$ ．其中正确的结论是（）

A、①② B、②③ C、③④ D、④

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14. 已知函数 $y = (k - 2) x^{2} - 2 k x + (k + 1)$ 的图象与 $x$ 轴只有一个交点，则 $k =$ ．

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15. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图，① $a b c > 0$ ；② $b < a + c$ ；③ $4 a + 2 b + c > 0$ ；④ $2 c < 3 b$ ；⑤ $a + b < m (a m + b) (m \neq 1)$ ，其中结论正确的有（填序号）．

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16. 如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A ， B两点．若OA=5OB，则下列结论中：
①abc＞0；
②（a+c）²﹣b²＝0；
③9a+4c＜0；
④若m为任意实数，则am²+bm+2b≥4a ，正确的是．

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17. 已知抛物线 $y = - x^{2} + 2 (b - 1) x + 3 c$ 经过点 $P (2 ， b)$ .

(1)、求 $b + c$ 的值.

(2)、若 $b > 3$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于另一点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $A$ ，且 $A B = 3 P A$ ，求此抛物线的表达式.

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18. 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x²＋x－1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，－k)．
(1)当k＝－2时，求反比例函数的解析式；
(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围．
(3)设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

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三、综合拓展

19. 为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：

二次函数的图象经过点 $(- 1 ， - 1)$ ，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．

(1)、 [观察发现]
请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．

(2)、[思考交流]
小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”
小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”
你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．

(3)、[概括表达]
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．

请你探究这个方法，写出探究过程．

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20. 如图1，抛物线y=ax²+b的顶点坐标为（0，﹣1），且经过点A（﹣2，0）．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若将抛物线y=ax²+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y=|ax²+b|图象上的任意一点P，直线l是经过（0，1）且平行与x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．
（注：在解题过程中，如果你觉得有困难，可以阅读下面的材料）
附阅读材料：
① 在平面直角坐标系中，若A、B两点的坐标分别为A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），则A，B两点间的距离为|AB|= $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ，这个公式叫两点间距离公式．
例如：已知A，B两点的坐标分别为（﹣1，2），（2，﹣2），则A，B两点间的距离为|AB|= $\sqrt{{(- 1 - 2)}^{2} + {(2 + 2)}^{2}}$ =5．
② 因式分解：x⁴+2x²y²+y⁴=（x²+y²）² ．

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x	…	$- 3$	0	1	2	…
y	…	2	$- 1$	m	2	…