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1、将下列各数填入相应的横线上．
$6$ ， $\frac{1}{2}$ ， $0$ ， $- \sqrt{81}$ ， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt[3]{27}$ ， $2.6$ ， $|- 2|$ ， $π$
无理数：_____；
非负整数：_____；
有理数：_____；
正实数：_____．

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2、将1， $- \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $- \frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{5}$ ， $- \frac{1}{6}$ ， $\dots$ 按一定规律排成如图，从图中可以看到，第4行中自左向右第3个数是 $\frac{1}{9}$ ．第5行中自左向右第4个数是 $- \frac{1}{14}$ ．那么第 $20$ 行中自左向右第五个数是．

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3、有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的 $x$ 是7，则第1次输出的结果是 $12$ ，第2次输出的结果是6．第三次输出的结果是3．依次继续下去．第 $2025$ 次输出的结果是．

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4、下列各数： $\sqrt{7}$ ， $\frac{π}{3}$ ， $\sqrt[3]{8}$ ， $- \frac{5}{6}$ ， 0， $0.2020020002$ ， $|- 5|$ ， 0中，无理数有个．

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5、已知 $|x - 3| + \sqrt{y + 2} = 0$ ，则 $x + y =$

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6、实数 $- \frac{1}{2}$ 的倒数是．

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7、古人云“三十而立”，如果以 $30$ 岁为基准，张三 $35$ 岁记为 $+ 5$ 岁，那么李四 $23$ 岁记为岁．

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8、如图，圆的周长为3个单位长度，在该圆的三等分处分别标上数字0、1、2，先圆周上表示数字0的点与数轴上表示1的点重合，再将数轴按照逆时针方向环绕在该圆上，数轴上表示整数的点与圆周上表示数字 $y$ 的点重合，简记为 $y = f (x)$ ．如数轴上表示0的点与圆周上表示数字2的点重合，简记 $f (0) = 2$ ，则 $f (- 2025)$ 和 $f [- f (- 2025)]$ 的值分别是（）

A、2，0 B、1，2 C、1，0 D、2，1

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9、有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．给出下列结论：① $a < 0$ ；② $|a| > |b|$ ；③ $a + b > 0$ ；④ $b - a > 0$ ．其中正确的是（）

A、①② B、②③ C、①②③ D、①③④

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10、已知 $2 a^{2} - 3 a$ 的值为1，那么代数式 $4 a^{2} - 6 a + 2$ 的值等于（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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11、一家商店将某种服装按成本价每件a元提高 $50 %$ 标价．又以8折优惠卖出．则这种服装每件的售价是（）

A、 $0.8 a$ 元 B、 $0.4 a$ 元 C、 $1.2 a$ 元 D、 $1.5 a$ 元

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12、下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{9} = \pm 3$ B、 $\sqrt{- 4} = - 2$ C、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ D、 $\pm \sqrt{81} = \pm 9$

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13、国家统计局7月31日发布数据，经核算，2024年我国“三新”经济增加值约为242000亿元，比上年增长 $6.7 %$ （按现价计算），比同期国内生产总值（GDP）现价增速高2.5个百分点；占GDP的比重为 $18.01 %$ ，比上年提高0.43个百分点．经济增加值用科学记数法表示为（）亿元

A、 $0.242 \times 10^{6}$ B、 $2.42 \times 10^{5}$ C、 $242 \times 10^{3}$ D、 $24.2 \times 10^{4}$

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14、下列四个数中最小的数是（）

A、 $- π$ B、3 C、 $- 4$ D、0

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15、在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．

(1)、【已有认识】 $\sqrt{2}$ 既可以从算术平方根的角度理解，结合勾股定理的知识，也能将其看成是直角边都为1的直角三角形的斜边长，即 $\sqrt{2} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}}$ ，由此得到在数轴上寻找 $\sqrt{2}$ 所表示的点的方法，如图1．
【拓展运用】如图2，点 $O$ 、点 $A$ 在数轴上，且 $O A = 2$ ， $A B = 1$ ， $A B ⊥ O A$ 于 $A$ ，以点 $O$ 为圆心， $O B$ 长为半径画弧，交数轴于点 $P$ ，则数轴中点 $P$ 表示的数是．（直接写出答案）

(2)、【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．
【拓展运用】请在图3正方形网格（每个小正方形的边长为1）内画出顶点在格点的 $△ A B C$ ，其中 $A C = \sqrt{2}$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = \sqrt{10}$ ，并求出 $△ A B C$ 的面积，以及点 $C$ 到 $A B$ 边的距离．

(3)、【已有认识】如图4，结合直角坐标系，我们发现：要求出坐标系中 $A$ 、 $B$ 两点的距离，显然是转化为求 $R t$ △ $A B C$ 的斜边长．下面以求 $D E$ 为例来说明如何解决：
从坐标系中发现： $D (- 1, - 4), E (6, - 2)$ ，
所以 $D F = |6 - (- 1)| = 7, E F = |- 2 - (- 4)| = 2$ ，
所以由勾股定理可得， $D E = \sqrt{7^{2} + 2^{2}} = \sqrt{53}$ ．
【拓展运用】①在图5中，设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ， $A C ∥ y$ 轴， $B C ∥ x$ 轴， $A C ⊥ B C$ 于点 $C$ ，则 $A C =$ _________， $B C =$ _________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式， $A B = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ （直接写出答案）
②图4中，平面直角坐标系中有两点 $M (- 3, 4), N (- 6, 1)$ ， $P$ 为 $x$ 轴上任一点，则 $P M + P N$ 的最小值为________；（直接写出答案）
③应用平面内两点间的距离公式，求代数式 $\sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}} + \sqrt{{(x - 5)}^{2} + {(y + 1)}^{2}}$ 的最小值为：________．（直接写出答案）

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16、山青林场准备对一块四边形空地 $A B C D$ 进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据： $A B = 15 m, C D = 8 m, A D = 17 m$ ，从点A修一条垂直 $B C$ 的小路 $A E$ (垂足为点E)， $A E = 12 m$ ，点E恰好是 $B C$ 的中点．

(1)、求 $B C$ 边的长；

(2)、求空地 $A B C D$ 的面积．

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17、意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形 $A B C D E F$ 由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形 $A B C D E F$ 的面积为 $14$ ， $S_{正方形 A B G F} ： S_{正方形 C D E G} = 4 : 1$ ．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中 $∠ B^{'} A^{'} F^{'} = 90^{\circ}$ ，则四边形 $B^{'} C^{'} E^{'} F^{'}$ 的面积为（）

A、12 B、10 C、5 D、4

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18、在同一直角坐标系中，直线 $y = a x$ 与直线 $y = 2 x + a$ 可能是（）

A、 B、 C、 D、

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19、在如图所示的运算程序中，输入 $x$ 的值是 $64$ 时，输出的 $y$ 值是（）

A、 $\sqrt[3]{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $8$

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20、下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{1} = \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = 6$ D、 $\sqrt{{(- 1)}^{2}} = - 1$

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