冀教版七（下）数学第八章整式的乘法单元测试提升卷

试卷更新日期：2026-02-26 类型：单元试卷

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一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)

1. 2025年国庆假期，雁荡山景区共接待游客约830000人次，数830000用科学记数法表示为( )

A、83×10⁴ B、 $8.3 \times 1 0^{5}$ C、0.83×10⁶ D、8.3×10⁶

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2. 数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 ( )

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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3. 下列计算正确的是 ( )

A、 $- 6 a^{3} \times 2 a^{2} = - 12 a^{6}$ B、 $a^{4} + a^{2} = a^{6}$ C、 $(3 x y^{2})^{2} = 6 x^{2} y^{4}$ D、 $(- m)^{7} \div (- m)^{2} = - m^{5}$

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4. 已知 $a = 3^{44}$ ， $b = 2^{55}$ ， $c = 4^{33}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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5. 如图1，现有边长为b和a十b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，α的长方形纸片一张。把纸片Ⅰ，Ⅲ按图2所示的方式放入纸片Ⅱ内，若图2中阴影部分的面积S₁和S₂满足S₁=4S₂ ，则a，b满足的关系式为（）

A、b=4a B、b= 3A C、b=2a D、b=1.5a

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6. 若a，b的值使得 ${(x - b)}^{2} - 1 = x^{2} + 4 x + a$ 成立，则 $a + b$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、5 C、 $- 5$ D、1

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7. 运用简便方法计算 $103^{2}$ 正确的是（）

A、103×103 B、 $100^{2} + 3^{2}$ C、 $(100 + 3) \times (100 - 3)$ D、 ${(100 + 3)}^{2}$

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8. 已知有A，B，C三种类型的纸片若干张，现用这些纸片拼成相邻边长分别为 $(3 a + 4 b)$ 、 $(5 a + b)$ 的矩形，对于拼接条件，甲、乙两名同学分别提出了自己的看法．
甲：需要C型纸片4张；
乙：需要三种类型的纸片合计41张；
则下列判断正确的是（）

A、甲对，乙错 B、乙对，甲错 C、甲、乙都对 D、甲、乙都错

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9. 如图是一个由4张纸片拼成的长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中（1）（2）是两个面积相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出长方形的面积，则需要知道下列哪个条件（）

A、（1）与（2）的周长之差 B、（3）的面积 C、（1）与（3）的面积之差 D、长方形的周长

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10. 现有若干个长为 $a$ ，宽为 $b$ 的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为 $a$ 的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为 $(a + b)$ 的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为 $S_{1}$ ，右下角的阴影部分面积为 $S_{2}$ ．若 $a b = \frac{27}{4}$ ，则 $S_{2} - S_{1}$ 的值为（　　）

A、10 B、 $\frac{45}{4}$ C、11 D、 $\frac{23}{2}$

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二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)

11. 若 $x^{2} - 6 x + 1 = 0$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} =$ ．

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12. 如果a+3b-2=0，那么3^a×27^b的值为 .

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13. 如图，左边是一个张长方形卡片，把五张相同的小长方形卡片放入一个大长方形中，若阴影部分的面积为5，大长方形的周长为12，则一张小长方形卡片的面积为.

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14. 已知 $a = \frac{1}{99} x + 2025$ ， $b = \frac{1}{99} x + 2024$ ， $c = \frac{1}{99} x + 2026$ ，则代数式 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c$ 的值为．

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三、解答题(本大题共8小题，共72分)

15. 计算与求解：

(1)、计算： ${- 1}^{4} - (1 - 0.5) \times \frac{1}{3} \times [2 - {(- 3)}^{2}];$

(2)、解方程： $\frac{4 x - 5}{3} = \frac{3 + x}{2} + 1 .$

(3)、先化简，再求值： $2 (x^{2} y + x y) - 3 (x^{2} y - x y) - 3 x^{2} y,$ 其中x=1，y=-2.

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16. 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知 $a^{m} = 4$ ， $a^{m + n} = 20$ ，求 $a^{n}$ 的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即 $a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ ，所以 $20 = 4 \times a^{n}$ ，所以 $a^{n} = 5$ ．
请你也利用逆向思考的方法解决下列问题：

(1)、若 $a^{m} = 12$ ， $a^{m - n} = 6$ ，求 $a^{n}$ 的值；

(2)、计算： $(- 2)^{2025} \times {(\frac{1}{2})}^{2026}$

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17. 已知 $a - b = 1$ ， $a^{2} + b^{2} = 25$ ，求 $a b$ 的值．
【例题讲解】
小亮探究出解题方法如下：
已知 $a - b = 1$ ， $a^{2} + b^{2} = 25$ ，求 $a b$ 的值．
∵ ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
∴ $2 a b = a^{2} + b^{2} - {(a - b)}^{2}$
∵ $a - b = 1$ ， $a^{2} + b^{2} = 25$ ，
∴ $2 a b = 25 - 1^{2} = 24$
∴ $a b = 12$ ．
【方法运用】
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）小亮发现，借助原题的条件还可以求出 ${(a + b)}^{2}$ 的值，请你直接写出 ${(a + b)}^{2}$ 的值．
（2）若 $x + y = 1$ ， $x y = - \frac{3}{4}$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 和 ${(x - y)}^{2}$ 的值．
【拓展提升】
（3）如图，以 $R t △ A B C$ 的直角边 $A B$ ， $B C$ 为边作正方形 $A B D E$ 和正方形 $B C F G$ ．若 $△ A B C$ 的面积为 $6.5$ ，正方形 $A B D E$ 和正方形 $B C F G$ 面积和为 $35$ ，直接写出 $A G$ 的长．

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18. 如图，将一个边长为 $a + b$ 的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形.解答下列问题：

(1)、根据图中条件.试通过两种方法求出该图形的总面积，并用公式的形式将两种关系表达出来；

(2)、当图中的 $a ， b (a > b > 0)$ 满足 $a^{2} + b^{2} = 57$ ， $a b = 12$ .求 $a + b$ 的值.

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19.

(1)、已知 $a^{2} = 3, a^{2} + a^{3} = 12,$ 则求 $a^{2} + a^{3}$ 的值；

(2)、若 $8^{a} = 2, 8^{b} = 3,$ 求 $8^{3 a + 2 b}$ 的值.

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20. 如图所示，有一块长宽为 $(3 a + b)$ 米和 $(a + 2 b)$ 米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为 $(2 a + b)$ 米，宽为 $(a + b)$ 米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．

(1)、请用含a和b的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简）

(2)、若 $a = 5, b = 10$ ，求休息区域的面积.

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21. 规定两数a，b之间的一种运算，记作： $(a, b)$ ：如果 $a^{c} = b$ ，那么 $(a, b) = c$ $．$
例如：因为 $3^{2} = 9$ ，所以 $(3, 9) = 2$ ．

(1)、根据上述规定，填空： $(2, 8)$ ______；

(2)、若 $(5, x) = m$ ， $(5, y) = n$ ，且 $m + n = 3$ ，求 $x y$ 的值；

(3)、①若 $(4, 3) = a, (4, 8) = b, (4, 24) = c$ ，请你尝试证明： $a + b = c$ ；
②进一步探究这种运算时发现一个结论： $(x^{n}, y^{n}) = (x, y)$ ，结合①，②探索的结论，计算： $(27, 125) + (9, \frac{81}{25}) =$ _____．

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22. 【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化．
【问题解决】
（1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________；
（2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求 $a + b$ 的值；
【拓展应用】
（3）如图3，有两个正方形A，B，现将 $B$ 放在 $A$ 的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形 $A$ 的边长为 $x$ ，正方形 $B$ 的边长为 $y (x > y > 0)$ ，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形 $A$ 和两个正方形 $B$ 如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积．

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冀教版七（下）数学 第八章 整式的乘法 单元测试提升卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)

三、解答题(本大题共8小题，共72分)

冀教版七（下）数学第八章整式的乘法单元测试提升卷