冀教版七（下）数学第九章因式分解单元测试提升卷

试卷更新日期：2026-02-26 类型：单元试卷

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一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)

1. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）

A、 $x^{2} + 4 y^{2}$ B、 $- x^{2} + 4 y^{2}$ C、 $x^{2} - 2 y + 1$ D、 $- x^{2} - 4 y^{2}$

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2. 下列因式分解正确的是（）．

A、 $m^{2} + n^{2} = {(m + n)}^{2}$ B、 $m^{2} - n^{2} = {(m - n)}^{2}$ C、 $m^{2} - 3 m n + 2 m = m (m - 3 n + 2)$ D、 $- m^{2} - 2 m n - n^{2} = - {(m - n)}^{2}$

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3. 若 $（ b - c ）^{2} = 4 （ 1 - b ）（ c - 1 ）$ ，则 $b + c$ 的值是（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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4. 若x取正整数，则代数式 $x^{3} - x$ 的值可以是（）.

A、2181 B、2182 C、2183 D、2184

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5. 将多项式 $- 4 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a$ 分解因式，应提取的公因式是（）

A、 $4 a^{3}$ B、 $4 a^{2}$ C、 $- 4 a^{2}$ D、 $- 4 a$

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6. 已知多项式a²+ma+n可因式分解为（a-4）（a+5），则m的值为（）

A、1 B、-1 C、-9 D、9

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7. 设n为某一自然数，代入代数式 $n^{3} - n$ 计算其值时，四个学生算出了下列四个结果。其中正确的结果是（）

A、121 B、210 C、335 D、505

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8. 已知矩形的长为 $x$ ，宽为 $y (x ⩾ y)$ ．若 $x, y$ 是有理数，且该矩形的周长与面积的数值是相等的整数，则满足条件的矩形个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 如图，有 $A$ 型、 $B$ 型、 $C$ 型三种不同的纸板. 其中 $A$ 型是边长为 $x c m$ 的正方形，共有 2 块； $B$ 型是长为 $x c m$ ，宽为 $1 c m$ 的长方形，共有 4 块； $C$ 型为边长为 $1 c m$ 的正方形，共有 3 块. 现用这 9 块纸板去拼出一个大的长方形 (不重叠、不留空隙)，则下列操作可行的是 ( )

A、用全部 9 块纸板 B、拿掉 1 块 $A$ 型纸板 C、拿掉 1 块 B 型纸板 D、加上 1 块 $C$ 型纸板

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10. 已知 $a = m + 2020$ ， $b = m + 2021$ ， $c = m + 2022$ ，则代数式 $2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 a b - 2 b c - 2 a c$ 的值为（）

A、4 B、10 C、8 D、6

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11. ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②无论 $k$ 取何实数，多项式 $x^{2} - k y^{2}$ 总能分解成两个一次因式积的形式；
③若 ${(t - 3)}^{3 - 2 t} = 1$ ，则 $t$ 可以取的值有2个；
④关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} a x + 2 y = - 5 \\ - x + a y = 2 a \end{array}$ ，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中当 $a$ 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是 $\{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 1 \end{array}$ ．其中正确的有（）

A、①③ B、①④ C、②④ D、③④

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12. 有n个依次排列的整式：第一项是 $x^{2}$ ；第二项是 $x^{2} - 2 x + 1$ ；用第二项减去第一项，所得之差记为 $m_{1}$ ，将 $m_{1}$ 加2记为 $m_{2}$ ；将第二项与 $m_{2}$ 相加作为第三项；将 $m_{2}$ 加2记为 $m_{3}$ ，将第三项与 $m_{3}$ 相加作为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到5个结论：
① $m_{5} = - 2 x + 9$ ；②当 $x = 3$ 时，第三项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则 $x = - 4$ ；④第2022项为 ${(x - 2023)}^{2}$ ；⑤当 $n = 100$ 时， $m_{1} + m_{2} + \dots + m_{100} = 10^{4} - 200 x$ ；以上结论正确的是（）

A、①②④ B、②④⑤ C、①②⑤ D、①③⑤

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二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)

13. 因式分解： $2 x^{2} - 18$ =

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14. 已知3^a+1+3^a=108，3^b+1-3^b=54，则a+b的值为.

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15. 若多项式 $a x^{2} - 6 x + 3$ 有一个因式为 $(x - 1)$ ，则 a 的值为.

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16. 如果一个两位正整数， $t = 10 x + y$ （ $1 \leq x \leq y \leq 9$ ， x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为 $m$ ，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为 $n$ ，若 $m n$ 为2376，那么我们称这个数为“最美数”，则这个“最美数”为．

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三、解答题(本大题共8小题，共72分)

17. 因式分解

(1)、 $m^{2} - 4 n^{2}$

(2)、 $2 x^{2} - 12 x y + 18 y^{2}$

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18. 从a² ， 2ab，b²这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解（写出两种情况）。

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19. 如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小长方形，且 $m > n$ ．（以上长度单位： $cm$ ）

(1)、用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和；

(2)、观察图形，可以发现代数式 $2 m^{2} + 5 m n + 2 n^{2}$ 可以因式分解为______

(3)、若每块小长方形的面积为 $10 {cm}^{2}$ ，四个正方形的面积和为 $58 {cm}^{2}$ ，试求 $m - n$ 的值．

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20. 【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法．

(1)、填空：因式分解3x²﹣6x+3＝．

(2)、【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“x²﹣y²+3x+3y”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为
x²﹣y²+3x+3y＝（x²﹣y²）+（3x+3y）＝（x+y）（x﹣y）+3（x+y）＝（x+y）（x﹣y+3）．
请在上述方法的启发下，分解下列因式：
①x²﹣xy+6x﹣6y；
②m²﹣n²+6m+9．

(3)、【应用尝试】已知实数a，b满足2a²﹣4a+4+2ab+b²＝0，求a﹣b的值．

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21. 我们定义：一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （ $a$ 、 $b$ 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为 $5 = 2^{2} + 1^{2}$ ，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成 $a^{2} + b^{2}$ （ $a$ 、 $b$ 是整数）的形式__________；
（2）若 $x^{2} - 6 x + 5$ 可配方成 ${(x - m)}^{2} + n$ （ $m$ 、 $n$ 为常数），则 $m n =$ __________；
【探究问题】
（3）已知 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 5 = 0$ ，则 $x + y =$ __________；
（4）已知 $S = x^{2} + 4 y^{2} + 4 x - 12 y + k$ （ $x$ 、 $y$ 是整数， $k$ 是常数），要使 $S$ 为“完美数”，试求出符合条件的一个 $k$ 值，并说明理由．
【拓展结论】
（5）已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 $y = x^{2} + x + 2$ ，求 $x + y$ 的最小值．

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22. 我们知道：二次三项式 $a^{2} + 6 a + 9$ 可以运用完全平方公式分解因式成 $(a + 3)^{2}$ 的形式．若一个二次三项式 (．如 $a^{2} + 6 a + 8$ ) 不能直接写成两数和 (或差)的平方的形式，我们可以采用下面的方法分解因式： $a^{2} + 6 a + 8 = (a + 3)^{2} - 1 = (a + 2) (a + 4)$
仿照上面的方法，将下列各式因式分解：

(1)、 $x^{2} - 6 x - 27$ ；

(2)、 $a^{2} + 8 a b + 15 b^{2}$ ；

(3)、 $x^{4} + 1$ ．

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23. 在学习《整式的乘除》时，对于整式乘法公式的验证，我们经常采用“算两次”的思想．现在有两张大小不一的正方形卡片，边长分别为a、b，小明同学通过用它们进行不同的拼接，验证了两个常见的整式乘法公式，具体拼接方法如下：

(1)、若拼接方法如图1所示，阴影部分的面积可以表示为______________，还可以表示为______________，用这两次算面积的结果可以验证哪个等式？____________________________．

(2)、若拼接方法如图2所示，阴影部分的面积可以表示为______________，还可以表示为______________，用这两次算面积的结果可以验证哪个等式？____________________________．

(3)、拓展应用（下列两题，请任意选择一题作答即可）：
①若拼接方法如图3所示，且 $a + b = 6 ， a b = 4$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ A C D$ 的面积之和为______________．
②若拼接方法如图4所示，且 $a + b = 6 ， a - b = 4$ ，则 $△ B E F$ 与 $△ A C D$ 的面积之差为______________．

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24. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
$\begin{array}{r} 1 + x + x (x + 1) + x (x + 1)^{2} \\ = (1 + x) [(1 + x) + x (x + 1)] \\ = (1 + x)^{2} (1 + x) = (1 + x)^{3} \end{array}$

(1)、上述因式分解的方法是法，共应用了次；

(2)、若分解 $1 + x + x (x + 1) + x (x + 1)^{2} + \dots + x (x + 1)^{2024}$ ，分解因式得到的结果是

(3)、用上述方法分解因式： $1 + x + x (x + 1) + x (x +$ $1)^{2} + \dots + x \cdot (x + 1)^{n}$ (其中 $n$ 为正整数)，所得的结果是

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冀教版七（下）数学 第九章 因式分解 单元测试提升卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)

三、解答题(本大题共8小题，共72分)

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