广东省深圳市罗湖区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷(1月)

试卷更新日期：2026-02-05 类型：期末考试

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一、选择题(共8小题，每题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案涂在答题卡上)

1. 在－2，0，1， $\sqrt{2}$ 这四个数中，最小的数是（）

A、－2 B、0 C、1 D、 $\sqrt{2}$

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2. “三地联动、四城同传”，2025年11月2日上午，第十五届全国运动会火炬传递在深圳、广州、香港、澳门同步举行，展现了粤港澳大湾区城市的协同发展。以下图形是全运会历史上使用过体育项目图标，其中轴对称图形是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 某校举行主持人评选活动，需进行知识储备、应变能力、朗读水平三项测试，小颖三项测试成绩分别为 85分、90分、92分.若评委按照知识储备占20%，应变能力占30%，朗读水平占50%，计算加权平均数来作为最终成绩，则小颖的最终成绩为（）

A、85分 B、89分 C、90分 D、92分

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4. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的值有可能是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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5. 如图，已知△ABC与△DEF 是位似图形，DE=2AB，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点 O，△ABC的面积是1，则 $△ D E F$ 的面积是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知不等式 $k x + b < 0$ 的解集是 $x < 2$ ，则一次函数 $y = k x + b$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 《孙子算经》中记载了这样一道题：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺?”若设绳子长x尺，木长y尺.根据题意，可得列方程组（）

A、 ${\begin{matrix} x + y = 1 \\ x - \frac{1}{2} y = 4.5 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} x - y = 1 \\ x - \frac{1}{2} y = 4.5 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} x - y = 4.5 \\ y - \frac{1}{2} x = 1 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} x + y = 4.5 \\ y - \frac{1}{2} x = 1 \end{matrix}$

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8. 如图，点A是反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x ＞ 0)$ 的图象上任意一点，则点 A 到直线 $y = - \frac{1}{4} x - 1$ 距离的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{8 \sqrt{17}}{17}$

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二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)

9. 计算 $- \sqrt{9}$ 的结果是。

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10. 如图，若l₁∥l₂∥l₃ ， AB=6， BC=4， DE=9，则EF长为。

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11. 若关于x的一元二次方程( ${(x + 2)}^{2} = m (2 x + 1)$ 中不含x的一次项，则m的值是。

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12. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ (k为常数且k≠0)，当-3≤x≤-1 时，y的最大值是6，则当1≤x≤3时， y的最小值为。

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13. 如图，菱形ABCD 的边长为5，面积为20， H 为边AD上一点，将△ABH沿着BH翻折至△A’ BH ， A’ H和A’ B分别交边CD于点E和F，若A’ B⊥CD，则BH=。

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三、解答题(本大题共7题, 其中14题6分, 15题8分, 16题8分, 17题8分,18题10分, 19题10分, 20题11分, 共61分)

14. ${(π - 3)}^{0} + ∣ \sqrt{2} - 1 ∣ - {(- 1)}^{2026} + {(\frac{1}{2})}^{- 2}$

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15. 下面是小亮同学解方程. $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的过程，请阅读并填空.
解方程： $x^{2} - 2 x - 1 = 0 .$
第1步： $x^{2} - 2 x = 1,$
第2步： (x-1)²=1，
第3步：解得，. $x_{1} = 0, x_{2} = 2 .$

(1)、小亮是用(填“配方法”“公式法”或“因式分解法”)求解的，但他从第步开始出现错误；

(2)、请你写出正确的解方程过程。

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16. 深圳市公园数量年年增加，很多高品质、国际范的公园成为亮眼的城市名片。为了解全市的公园数量，数学小组选取A，B，C，D四个区域进行了抽样调查与评估，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图。请根据上述信息，回答下列问题：

(1)、请你补全条形统计图；

(2)、在扇形统计图中，C区域对应的圆心角度数是°；

(3)、学校开展环保知识竞赛，老师鼓励同学们从A，B，C，D四个区域选取一个公园进行环境考察研究，已知选择C区域的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，请用画树状图法或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率。

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17. 如图，在矩形ABCD 中， AC是对角线。

(1)、尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段 AC的垂直平分线，垂足为点O，与边AB，CD分别交于点E，F(要求：不写作法，保留作图痕迹)；

(2)、在(1) 的条件下，连接AF， CE，求证：四边形AECF为菱形。

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18. 如图，某草莓园购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形ABCD，且EF⊥墙面CD。

(1)、若矩形自由采摘区面积为120m² ，请你求出AB和BC分别是多少?

(2)、为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为130m² ，这一想法能实现吗?请说明理由。

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19. 根据以下素材，探索完成任务.

天文轨道计算问题
素材1	某星际探测器的主轨道是直线 $y_{1} = \frac{1}{2} x + b;$
素材2	同时它需要与一颗星际小行星的轨道双曲线 $y_{2} = \frac{k}{x} (x⟩ 0)$ 交汇，以采集样本；
素材3	如图1，已知探测器与小行星在交汇点A(2，3)处相遇，探测器的主轨道与地球轨道y轴交于发射基地B ；
素材4	如图2，探测器在主轨道第一象限的观测点C与x轴上的观测点E之间的连线CE⊥x轴，交小行星轨道于点D。
任务1	求探测器轨道参数b和小行星轨道参数k ；
任务2	若发射基地B到观测点C 的距离与到交汇点A的距离之比是3：2，即 $\frac{B C}{B A} = \frac{3}{2},$ 求 $\frac{C E}{D E}$ 的值。
任务3	如图3，若小行星运动到点 P的位置，连接OA， OP，若∠AOP=∠BAO，求点P的坐标。

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20. 【问题情境】：已知在四边形ABCD中， ∠D=90°， AC是对角线，且AB=AC，

(1)、【数学思考】：如图1，当. $A D = C D = 2, ∠ A C B = 4 5^{\circ}$ 时， $A B =$ $∠ D A B =$

(2)、【探究实践】：如图2，当AD<CD时，将 $△ A D C$ 绕点A 顺时针旋转至AC与AB重合，得到 $△ A E B,$ D的对应点为E，连接DE并延长交BC于点 F.
①试说明 $△ A B C △ A D E;$
②求证：BF=CF；

(3)、【拓展应用】：在(2)的条件下，如图3，若 $A C = 2 \sqrt{3}, B C = C D = 2 \sqrt{2},$ 求DF的长。

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