广东省深圳市龙华区2025-2026学年九年级上期末数学试卷

试卷更新日期：2026-02-06 类型：期末考试

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一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每个小题有四个选项，其中只有一个是正确的)

1. 一元二次方程(x-1)(x-3)=0的两个实数根分别为（）

A、 $x_{1} = 1, x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = - 1, x_{2} = - 3$ C、 $x_{1} = - 1, x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = 1, x_{2} = - 3$

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2. 如图，数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子。从早晨到傍晚，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是（）

A、一直变短 B、短一长一短 C、一直变长 D、长一短一长

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3. 为了估计某种新型催化剂在化学反应中的有效催化概率，兴趣小组通过实验，记录了如下催化情况：
实验总次数
80
150
300
500
800
1200
有效催化频数
74
131
271
453
727
1093
有效催化频率
0.925
0.873
0.903
0.906
0.909
0.911
由此可估计该新型催化剂的有效催化概率约为（）

A、0.87 B、0.90 C、0.91 D、0.93

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4. 劳动课上，同学们动手制作一个如图所示的置物架，他们已在点B，C，D，E，G处打孔。经测量，BD=24cm，CE=30cm， EG=50cm，若要使得安装的层板互相平行，即BC∥DE∥FG，则孔 F应打在离孔D多远处? （）

A、20cm B、30cm C、40cm D、50cm

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5. 如图是一个零件的三视图，已知大正方形的边长均为4，小正方形的边长均为1，则该零件的体积为（）

A、15 B、27 C、48 D、63

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6. 在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间t(单位：h)是充电功率P(单位：kW)的反比例函数，其图象如图所示。若该新能源电动车每次充满电需要2~3h，则充电时的充电功率范围是（）

A、20kW 以内 B、20~30kW C、30~60kW D、60kW 以上

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7. 经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件。该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250元?设每件小商品降价x元，则可列方程（）

A、(30-x)(200+10x)=6250 B、(30+x)(200+10x)=6250 C、(30+x)(200-10x)=6250 D、(30-x)(200-10x)=6250

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8. 活动课上，创新小组根据“伐木工十字法”设计了如下测高方法：
①将两根小木棍AB，CD垂直摆放；
②将水平木棍CD的端点D放在眼睛H的正下方，移动位置，直到树根F与点B 重合，树冠E与点A 重合；
③测量此时树 EF 与人HK之间的水平距离FK。
若测得两根小木棍AB与CD的长度比为2：3，FK 的长度为6m，则树EF的高度为（）

A、3m B、4m C、6m D、9m

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二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

9. 已知 $\frac{m}{n} = \frac{2}{3},$ 则 $\frac{m + n}{n}$ 的值为。

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10. 若关于x的方程. $x^{2} = a$ 有两个不相等的实数根，则a的值可以为。

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11. 如图， AD， BE交于点C， ∠A=∠E，若 $\frac{A C}{C E} = \frac{4}{3},$ 则 $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ E D C}} =$ 。

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12. 如图，在矩形ABCD中， AC， BD 相交于点O， OE⊥CD于E，若AB=6， AC=10，则OE的长为。

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13. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中， E是边AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE所在直线折叠，得到△FDE。若点F恰好在边BC上，且BE=BF，则BE的长为。

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三、解答题(本大题共7小题，共61分)

14. 解方程， $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ .

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15. 第十五届全运会排球项目女子 18 岁以下组第二阶段比赛在龙华文体中心举行，小明和小亮相约一起去比赛现场为广东队加油。比赛现场的观赛区分为A、B、C三个区域，预约后系统将随机分配观赛区域。

(1)、小明预约后分配在A区域的概率为；

(2)、求小明和小亮预约后分配在同一区域的概率。

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16. 每逢传统佳节，某糕饼店都会制作特色“客家糯米糍”礼盒。如图，店主用一根红色丝带在长方体礼盒盒面绑成十字形，寓意“鸿运交织”。已知盒高 1 dm，丝带总长度为12dm(打结处彩带长忽略不计)。

(1)、当长为2.5d m时，宽为dm；

(2)、若礼盒的底面面积是3dm² ，则这款糯米糍礼盒的长和宽各是多少?

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17. 如图1，在同一平面内有三条等距的平行线l₁ ， l₂ ， l₃ ，点A在直线l₁上，点B， D在直线l₂上。

(1)、在直线l₃上求作一点C，顺次连接点A，B，C，D，使得四边形ABCD为平行四边形；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

(2)、在(1) 的条件下，若AB=AD，如图2所示，连接AC交直线l₂于点O，在直线l₃上截取CE=OD，连接DE，求证：四边形 OCED 是矩形。

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18. 综合与实践
素材：图1是杆秤构造示意图，秤纽A在秤纽B 的左侧。
图2是杆秤称重示意图，当秤杆水平平衡时，根据杠杆平衡条件可得x·y=m·n，其中x为秤砣质量，y为秤纽与秤砣之间的水平距离，m为秤盘和物体的总质量，n为秤纽与秤盘之间的水平距离。
根据以上素材解决如下问题：

(1)、当m=60g， n=5cm时，求y(单位： cm) 关于x(单位： g) 的函数解析式；

(2)、当m为定值时，学习小组选取不同质量的秤砣称重。提起秤纽A，根据选用的x的大小，得到对应的y值，记录这些有序数对(x，y)，绘制y关于x的函数图象；提起秤纽B，重复上述操作。如图3，将两个函数图象绘制在同一平面直角坐标系中，则(填序号)是提起秤纽B时得到的图象；

(3)、甲、乙小组分别提起秤纽A，B，选取同一个磨损了的秤砣对同一物体称重。
当m=100g时，哪个小组得到的y值误差更大?
甲组的误差计算如下：
记nA为秤纽A与秤盘之间的水平距离，x组为秤砣磨损后的质量， yp与y甲损为磨损前后秤纽与秤砣的水平距离，依题意可得：
$y_{甲} = \frac{100 n_{A}}{x}, y_{甲} = \frac{100 n_{A}}{x_{棱锥侧}},$ 所以甲组的误差为 $\frac{100 n_{A}}{x_{棱锥侧}} - \frac{100 n_{A}}{x};$
请计算乙组的误差，并比较两组误差大小，得出结论。

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19. 【实验目的】利用位似作一个三角形的内接正方形。
【实验原理】如图1，在射线OA， OB， OC上分别取点D， E， F，使OD=kOA，OE=kOB，OF=kOC，连接D， E， F，则△DEF与△ABC位似，相似比为k。

(1)、【实验初探】
如图2，将一铅笔笔尖固定在一根橡皮筋OQ的一端Q处，另一端O固定在图形外。拉动铅笔，使标记好的 OQ中点 P 沿图形的边缘运动。当点 P 沿周长为8cm 的图形运动一周时，笔尖Q点经过的路径长为cm。

(2)、【实验制作】
如图3，在正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，利用网格和无刻度直尺可作出△ABC的内接正方形HMNG，使得点H在AB上，点M， N在BC上，点G在AC上。小明取一个格点正方形DEFP，D在AB上，E，F在BC上，以点B为位似中心，连接BP并延长交AC 于点 G，点G 即为所求作正方形HMNG 的一个顶点。
① 请以点 C为位似中心，求作出正方形HMNG 的另一个顶点 H；
② 若网格中每个小正方形的边长为1，求正方形HMNG的边长。

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20. 【定义】从三角形的一个顶点出发作它的角平分线，在该角平分线的延长线上任取一点与三角形的其余两个顶点相连，得到一个四边形。在这个四边形中，若该角平分线所对的一个内角等于原三角形的一个内角，且这两个角位于该角平分线的两侧，则称这个四边形为自相似四边形，这个顶点叫相似顶点。
例：如图1，AP为△ABD的角平分线，点C是AP 延长线上一点，连接CB，CD，若∠ABC=∠ADB，则四边形ABCD是以点A为相似顶点的自相似四边形。
【性质】已知：如图20-1，四边形ABCD 是以点A为相似顶点的自相似四边形。
求证： ∠BCP=∠BPC；
【判定】如图2，在 $△ A B E$ 中，点 D， C 分别在边 AE， BE上， AC与 BD 相交于点 P，若. $∠ B C P = ∠ B P C, A B^{2} = A D \cdot A E 。$ 。求证：四边形ABCD是以点A为相似顶点的自相似四边形；
【应用】在以点A为相似顶点的自相似四边形ABCD中，.AB=4，AD=2，AC与BD相交于点 P。当 $△ A D P$ 是等腰三角形时，求CD 的长。

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实验总次数	80	150	300	500	800	1200
有效催化频数	74	131	271	453	727	1093
有效催化频率	0.925	0.873	0.903	0.906	0.909	0.911