相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $A D + C D = \frac{1}{2} B C$ ．将线段 $A B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $A E$ ，连接 $D E$ ．

(1)、如图1，当 $A D = D C = 1$ 时，补全图形，并求 $D E$ 的长；

(2)、如图2，取 $A E$ 的中点 $F$ ，连接 $D F$ ，用等式表示线段 $D F$ 与 $A C$ 的数量关系，并证明．

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2、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C在 $⊙ O$ 上，连接 $A C$ ， $B C$ ．作 $O D ∥ A C$ 交 $⊙ O$ 于点D，交 $B C$ 于点E．

(1)、求证： $\overset{⌢}{B D} = \overset{⌢}{C D}$ ；

(2)、过点D作 $⊙ O$ 的切线交 $A C$ 的延长线于点F，若 $C F = 1$ ， $B C = 4$ ．求 $A C$ 的长．

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3、不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．

(1)、从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为；

(2)、从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率．

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4、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
-1
$- \frac{1}{2}$
0
$\frac{1}{2}$
1
$\frac{3}{2}$
2
$\frac{5}{2}$
3
…
y
…
m
$\frac{7}{4}$
3
$\frac{15}{4}$
4
$\frac{15}{4}$
3
$\frac{7}{4}$
0
…
根据以上信息回答下列问题：

(1)、二次函数图象的顶点坐标是， m的值为；

(2)、求二次函数的表达式；

(3)、当 $k \leq x \leq k + 2$ 时，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的最小值是1，则k的值为．

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5、已知：如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦．
求作： $⊙ O$ 上的点 $C$ ，使得 $∠ A B C = 45 °$ ．
作法：①连接 $A O$ 并延长交 $⊙ O$ 于 $P$ ；
②分别以点 $A$ ， $P$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A P$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $Q$ ；
③作直线 $O Q$ 交 $⊙ O$ 于点 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ，连接 $B C_{1}$ ， $B C_{2}$ ．
所以，点 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 就是所求作的点．

(1)、使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明：
证明：连接 $A Q$ ， $P Q$ ．
$∵ A Q = P Q$ ， $A O = P O$ ，
$∴ O Q ⊥ A P$ （ ▲ ）（填推理的依据）．
$∴ ∠ A O C_{1} = ∠ A O C_{2} = 90 °$ ．
$∵ A$ ， $B$ ， $C_{1}$ ， $C_{2}$ 都在 $⊙ O$ 上，
$∴ ∠ A B C_{1} = \frac{1}{2} ∠ A O C_{1}$ ， $∠ A B C_{2} = \frac{1}{2} ∠ A O C_{2}$ （ ▲ ）（填推理的依据）．
$∴ ∠ A B C_{1} = ∠ A B C_{2} = 45 °$ ．

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6、如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是 $⊙ O$ 中弦 $A B$ 的中点，连接 $D O$ 并延长交 $⊙ O$ 于点C，并且 $A B = 1 m$ ， $C D = 2.5 m$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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7、已知 $2 a^{2} - 3 a + 1 = 0$ ，求代数式 ${(a - 3)}^{2} + a (a + 3)$ 的值．

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8、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是 $△ A B C$ 内的一个动点，满足 $A C^{2} - A D^{2} = C D^{2}$ ．若 $A B = 2 \sqrt{13}$ ， $B C = 4$ ，则 $B D$ 长的最小值为．

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9、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 4$ ，点O在 $A B$ 上， $O B = 3$ ，以 $O B$ 为半径的 $⊙ O$ 与 $A C$ 相切于点D，交 $B C$ 于点E，则弦 $B E$ 的长为．

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10、若关于x的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} - 2 x + a^{2} - 1 = 0$ 有一个根为 $x = 0$ ，则a的值为．

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11、如图， $△ A B C$ 为等腰三角形， $O$ 是底边 $B C$ 的中点，若腰 $A B$ 与 $⊙ O$ 相切，则 $A C$ 与 $⊙ O$ 的位置关系为．（填“相交”、“相切”或“相离”）

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若点 $(2, y_{1})$ ， $(4, y_{2})$ 在抛物线 $y = 2 (x - 3)^{2} - 4$ 上，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ”）．

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13、如图，等边三角形 $A B C$ 的边长为2，点A，B在 $⊙ O$ 上，点C在 $⊙ O$ 内， $⊙ O$ 的半径为 $\sqrt{2}$ ．
将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：
①当点C第一次落在 $⊙ O$ 上时，旋转角为 $30 °$ ；
②当 $A C$ 第一次与 $⊙ O$ 相切时，旋转角为 $60 °$ ．
则结论正确的是（）

A、① B、② C、①② D、均不正确

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14、“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用，已知半径为 $20 c m$ 的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（）

A、 $30 \sqrt{3} c m^{2}$ B、 $100 \sqrt{3} c m^{2}$ C、 $150 \sqrt{3} c m^{2}$ D、 $600 \sqrt{3} c m^{2}$

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15、解一元二次方程：

(1)、 $2 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ ；

(2)、 $x (x - 2) = 2 - x$ ．

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16、为了加快发展新能源和清洁能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为 $16.2$ 万元，设该公司每个季度的下降率都相同．则该公司每个季度的下降率是．

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17、如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C$ 的平分线 $B F$ 分别与 $A C$ 、 $A D$ 交于点 $E$ 、 $F$ ．当 $A B = 4$ ， $B C = 6$ 时， $\frac{A E}{A C}$ 的值为（　　）

A、 $2 : 3$ B、 $2 : 5$ C、 $3 : 5$ D、 $3 : 10$

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18、如图所示，该几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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19、如图 $1$ ，在平面直角坐标系中，等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， C A = C B$ ，点 $B 在 x$ 轴正半轴上，点 $C 在 y$ 轴正半轴上，其中 $B (b, 0) 、 C (0, c)$ ，斜边 $A B 交 y$ 轴于点 $D$ ．

(1)、若 $b - c = 1 ， b^{2} - c^{2} = 3$ ，直接写出点 $B$ 的坐标为，点 $C$ 的坐标为，点 $A$ 的坐标为．

(2)、如图 $2$ ，已知 $A E ⊥ A B 交 x$ 轴负半轴于点 $E$ ，连接 $C E ， C F ⊥ C E ， C E 交 A B$ 于点 $F$ 、求证：点 $F 到 y$ 轴的距离等于 $c$ ；

(3)、在 $(2)$ 的条件下，若点 $A$ 在第三象限的角平分线上，记 $△ E A B$ 的面积为 $S_{1} ， △ C D F$ 的面积为 $S_{2} ， O E$ 的长度为 $a$ ．
$①$ 求证：点 $D$ 是线段 $A F$ 的中点；
$②$ 猜想一下， $S_{1} 与 S_{2}$ 有怎样的数量关系，先给出结论再写出理由 $. ($ 提示：尝试用 $a ， b ， c$ 去表示 $S_{1} 与 S_{2})$

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20、“读有益之书，做有益之事，成有益之人”，我们不妨约定：如果一个整数能表示成两个整数的平方差形式 $($ 即可以写成 $a^{2} - b^{2}$ 的形式其中 $a 、 b$ 是整数 $)$ ，则称这个数为“有益数” $.$ 例如， $3$ 是“有益数”，理由：因为 $3 = 2^{2} - 1^{2}$ ，所以 $3$ 是“有益数”．

(1)、按要求填空．
$①$ 已知 $20$ 是“有益数”，请将它写成 $a^{2} - b^{2} (a 、 b$ 是整数 $)$ 的形式； $($ 写一种即可 $)$
$②$ 整式 $x^{2} - 6 x - 7$ 可表示成 $(x - m)^{2} - n^{2} (m 、 n$ 为常数且 $n > 0)$ ，则 $m n$ 的值是；
$③$ 请判断 $122$ 是否为“有益数”，； $($ 填“是”或“否” $)$

(2)、已知 $Y = x^{2} - 2 x y - 3 y^{2} - 12 y + t (x 、 y$ 是整数， $t$ 是常数 $)$ ，要使 $Y$ 为“有益数”，试求出符合条件的一个 $t$ 值，并说明理由．

(3)、已知 $x_{1}$ 是关于 $x$ 的方程 $(k - 1) x + k = 0$ 的解， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $(k - 2) x + k - 1 = 0$ 的解 $($ 其中 $k$ 是常数 $)$ ，求“有益数” $Y = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} (x_{1}, x_{2}$ 是整数 $)$ 的值．

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x	…	-1	$- \frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	3	…
y	…	m	$\frac{7}{4}$	3	$\frac{15}{4}$	4	$\frac{15}{4}$	3	$\frac{7}{4}$	0	…