相关试卷

1、如图，点A，B，C均在 $⊙ O$ 上，若 $∠ B O C = 100 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $60 °$ C、 $50 °$ D、 $40 °$

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2、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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3、已知 $⊙ O$ 的半径为5，若点 $P$ 在 $⊙ O$ 内，则 $O P$ 的长可能为（）

A、3 B、5 C、7 D、以上都有可能

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4、下列式子是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} - 2 x = 0$ B、 $x^{2} + 3 x > 0$ C、 $y = 2 x^{2} - 1$ D、 $2 x^{2} - y + 1 = 0$

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5、如图，已知 $A B = A D, A C = A E, ∠ 1 = ∠ 2$ ．求证： $B C = D E$ ．

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6、定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图 1，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $C D$ 的中点，连接 $A E$ ， $B E$ ，则折线 $A E B$ 叫做菱形 $A B C D$ 的折中线，折线 $A E B$ 的长叫做折中线的长．
已知，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = a$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点，连接 $A E$ ， $B E$ ．

(1)、如图 1，若 $a = 8$ ， $∠ C = 60 °$ ，求折中线 $A E B$ 的长；

(2)、如图 2，若 $∠ A E B = ∠ C$ ，请探究折中线 $A E B$ 的长与菱形的边长 $a$ 之间满足的等量关系式，并说明理由；

(3)、若 $a = 8$ ，且折中线 $A E B$ 中的 $A E$ 或 $B E$ 与菱形 $A B C D$ 的一条对角线相等，求折中线 $A E B$ 的长．

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7、阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想――转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ ，可以通过因式分解把它转化为 $x (x^{2} + x - 2) = 0$ ，解方程 $x = 0$ 和 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，可得方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ 的解．

(1)、问题：方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ 的解是______；

(2)、拓展：用“转化”思想求方程 $\sqrt{2 x + 3} = x$ 的解；

(3)、应用：如图，已知矩形草坪 $A B C D$ 的长 $A D = 8 m$ ，宽 $A B = 3 m$ ，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿 $B A ， A D$ 走到点P处，把长绳 $P B$ 段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿 $P D 、 D C$ 走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求 $A P$ 的长．

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8、解下列方程：

(1)、 ${(x - 3)}^{2} = 4 x (x - 3)$ ；

(2)、 $x^{2} + 8 x - 9 = 0$ ．

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9、在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = 120 °$ ，在 $A B 、 A D$ 上分别有一点 $E 、 F$ ，连接 $C E 、 B F$ 交于点 $G$ ，若 $2 A E = B E$ ， $∠ E G F = 60 °$ ，则 $\frac{C E}{B F}$ 的值为．

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10、在平面直角坐标系中， $P$ ， $Q$ 两点的坐标分别为 $(- 5, - 2)$ ， $(- 1, - 3)$ ．以原点 $O$ 为位似中心，把线段 $P Q$ 放大，得到线段 $P^{'} Q^{'}$ ，点 $P$ 的对应点 $P^{'}$ 的坐标是 $(15, 6)$ ，则点 $Q^{'}$ 的坐标是．

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11、在△ABC中，AB⊥AC，AB=3，BC=5。

(1)、【初步感知】
如图1，取线段AC的中点O，连接BO，将△ABO绕点O顺时针旋转180°得到△COD，连接AD，求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)、【深入探究】
如图2，在⑴的条件下，将边AD绕点A顺时针旋转得到AD₁ ，当AD₁与AB在同一条直线上时，求点D₁到AD的距离；

(3)、【拓展延伸】
如图3，在⑴的条件下，将△ACD绕点A顺时针旋转得到△AC₁D₁ ，当点B、C₁、D₁构成以 $C_{1} D_{1}$ 为直角边的直角三角形时，请直接写出BD₁的长度。

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12、如图，已知△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，F是BC中点，连接DE、DF和EF。

(1)、若AB=10，BC=8，AC=7，求△DEF的周长；

(2)、连接AF，求证：AF和DE互相平分。

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13、如图，长方形ABOC的顶点都在方格纸的格点上。

(1)、如图1，将长方形ABOC平移，使得点O与点P重合，请画出平移后的长方形，并判断平移前后的两个长方形构成 ▲ 图形(填写“轴对称”或“中心对称”)；

(2)、如图2，请作出一个与长方形ABOC关于某条直线成轴对称的图形，且所有顶点均在格点上。(画出一种即可)

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14、综合与实践
如图1，是东汉数学家赵爽为证明勾股定理所创制的赵爽弦图(亦称“勾股圆方图”)，该图以直角三角形斜边为边作正方形，由四个全等直角三角形和一个小正方形拼接而成.某学校数学研究小组受赵爽弦图构图思想的启发，发现了一个不等式 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b,$ ，并将其命名为“弦图不等式”。

(1)、以下是他们的发现过程，请结合图补全他们的思考：
设直角三角形的两条直角边分别为a、b，
①大正方形ABCD的面积可表示为，四个直角三角形的面积和可表示为(用含有a和b的字母表示)；
②如图1，当a<b时，则大正方形ABCD的面积四个直角三角形面积和(填“>”、“<”或“=”)；
③如图 2，当a=b时，则大正方形ABCD的面积四个直角三角形面积和(填“>”、“<”或“=”)；
④综上所述，可得到“弦图不等式”。

(2)、若a=x， $b = \frac{4}{x}$ 时，请利用“弦图不等式”，求代数式 $x^{2} + \frac{16}{x^{2}} (x ＞ 0)$ 的最小值，并求出此时x的值；

(3)、为保障2026年深圳APEC会议期间市容整洁有序，推动绿色出行，城市规划部门计划在会场周边人行道设置长方形共享单车停放区。如图3，停放区面积为6.48m²(即长方形ABCD的面积)，其中靠马路一边无须喷绘油漆，其余三边均喷绘油漆，则AB、BC、CD三条边的和的最小值是多少？若一辆APEC纪念款单车长度为1.7m，如图所示，车头朝向路面整齐摆放，试分析此时能否将车辆放进停车区内。

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15、2026年APEC峰会将在深圳举行.为提升会场周边的交通运力，深圳公交公司拟将A、B两种型号的大巴编入某条专线进行统一调度。

(1)、已知每辆B型大巴的核定载客人数是A型大巴的1.25倍，使用B型大巴运送800名乘客比A型大巴少4辆车。请问每辆A型、B型大巴分别能运送多少人？

(2)、峰会期间，需紧急调度车辆转运600名志愿者从会场前往酒店。若已确定调用A型大巴4辆，请问至少要调用B型大巴多少辆才能一次性运完所有志愿者？

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16、先化简，再求值： $(1 - \frac{2}{x + 1}) \div \frac{2 x - 2}{x^{2} - 1},$ 其中 $x = 2 \sqrt{2} + 1$ 。

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17、解不等式组： ${\begin{matrix} 3 (x + 2) \geq 2 x + 5 \\ \frac{x - 2}{2} < \frac{x}{3} \end{matrix}$

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18、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点E落在边BC上时，CE=2，BE=3，此时四边形ADEC的面积为。

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19、如图表示的是数轴上“比m+2小的数”(空心圆圈表示不包含该数)所在区域，若2m-1在该区域内，则m的取值范围为。

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20、如图，在▱ABCD中，连接对角线BD，已知直线EF是线段BD的垂直平分线，EF分别交AD、BC于点E、F，连接BE。若▱ABCD的周长为20，则△ABE的周长为。

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