第一章《特殊平行四边形》B卷—北师大版数学九年级上册单元检测

试卷更新日期：2025-07-28 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定 $▱ A B C D$ 为矩形的是（）

A、 $∠ A = 90 °$ B、 $∠ B = ∠ C$ C、 $A C = B D$ D、 $A C ⊥ B D$

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2. 如图，直线a∥b ，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（）

A、41° B、51° C、49° D、59°

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3. 如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交 $∠ A$ 两边于点M ， N ，再分别以M、N为圆心， $A M$ 的长为半径画弧，两弧交于点B ，连接 $M B ， N B$ ．若 $∠ A = 40 °$ ，则 $∠ M B N =$ （）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $140 °$

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4. 如图，正方形 $A B C D$ 由四个全等的直角三角形（ $△ A B E$ ， $△ B C F$ ， $△ C D G$ ， $△ D A H$ ）和中间一个小正方形 $E F G H$ 组成，连接 $D E$ ．若 $A E = 4$ ， $B E = 3$ ，则 $D E =$ （）

A、5 B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{17}$ D、4

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5. 如图，矩形ABCD中， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ，动点E ， F分别从点A ， C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB ， CD向终点B ， D运动，过点E ， F作直线l ，过点A作直线l的垂线，垂足为G ，则AG的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、2 D、1

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6. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE ， AF ， AM平分∠EAF交CD于点M ．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{12}{5}$

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7. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $A C = 2$ ， $B D = 2 \sqrt{3}$ ．过点 $A$ 作 $A E ⊥ B C$ 的垂线交 $B C$ 于点 $E$ ，记 $B E$ 长为 $x$ ， $B C$ 长为 $y$ ．当 $x$ ， $y$ 的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

A、 $x + y$ B、 $x - y$ C、 $x y$ D、 $x^{2} + y^{2}$

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8. 小明同学手中有一张矩形纸片ABCD ， AD＝12cm ， CD＝10cm ，他进行了如下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN ，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD^'N ， AD^'交折痕MN于点E ，则线段EN的长为（）

A、8cm B、 $\frac{169}{24} c π$ C、 $\frac{167}{24} c π$ D、 $\frac{55}{8} c π$

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9. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $A B = 6 c m$ ， $B C = 12 c m$ ． A点P从点A出发、以 $1 c m / s$ 的速度沿 $A \to D$ 运动，同时点Q从点C出发，以 $3 c m / s$ 的速度沿 $C \to B \to C \to \cdot \cdot \cdot$ 往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段 $P Q = C D$ 出现的次数是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10. 如图，边长为6的正方形 $A B C D$ 中，M为对角线 $B D$ 上的一点，连接 $A M$ 并延长交 $C D$ 于点P．若 $P M = P C$ ，则 $A M$ 的长为（　　）

A、 $3 (\sqrt{3} - 1)$ B、 $3 (3 \sqrt{3} - 2)$ C、 $6 (\sqrt{3} - 1)$ D、 $6 (3 \sqrt{3} - 2)$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O ， A C = 8 ， B D = 12$ ，点 $E$ 在线段 $O A$ 上， $A E = 2$ ，点 $F$ 在线段 $O C$ 上， $O F = 1$ ，连接 $B E$ ，点 $G$ 为 $B E$ 的中点，连接 $F G$ ，则 $F G$ 的长为．

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12. 如图，在正方形ABCD中，若面积 $S_{矩形 A E O H} = 12,$ 周长 $C_{矩形 O F C G} = 16,$ 则 $S_{正方形 E B F O} + S_{正方形 H O G D}$ =.

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13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O ．若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是．

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14. 矩形ABCD的面积是90，对角线AC ， BD交于点O ，点E是BC边的三等分点，连接DE ，点P是DE的中点，OP＝3，连接CP ，则PC+PE的值为．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（-2，0），点E在边CD上.将 $△ B C E$ 沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为.

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16. 如图，在矩形纸片ABCD中， $A B = \sqrt{2}$ ， AD＝2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF ，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D^' ，连接BD^' ．若BD^'＝2，则DF＝．

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E ， F分别在 $A B$ ， $C D$ 的延长线上，且 $B E = D F$ ，连接 $E F$ 与 $A C$ 交于点M ，连接 $A F$ ， $C E$ .

(1)、求证： $△ A E M ≌ △ C F M$ ；

(2)、若 $A C ⊥ E F$ ， $A F = 3 \sqrt{2}$ ，求四边形 $A E C F$ 的周长.

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18. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点 $M$ ， $N$ 分别在 $A B$ ， $B C$ 上，且 $B M = C N$ ， $A N$ 与 $D M$ 相交于点 $P$ ．

(1)、求证： $△ A B N$ ≌ $△ D A M$ ；

(2)、求 $∠ A P M$ 的大小．

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19. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O, A B = 5, O A = 4, O B = 3$ ．求证： $▱ A B C D$ 是菱形．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 的中点，E是 $A D$ 的中点，过点A作 $A F ∥ B C$ 交 $C E$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $A F = B D$ ；

(2)、连接 $B F$ ，若 $A B = A C$ ，求证：四边形 $A D B F$ 是矩形．

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21. 如图， $A D$ 和 $B C$ 相交于点 $O$ ， $∠ A B O = ∠ D C O = 90 °$ ， $O B = O C$ ．点 $E$ 、 $F$ 分别是 $A O$ 、 $D O$ 的中点．

(1)、求证： $O E = O F$ ；

(2)、当 $∠ A = 30 °$ 时，求证：四边形 $B E C F$ 是矩形．

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22. 阅读与思考

下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务，

双关联线段

【概念理解】

如果两条线段所在直线形成的央角中有一个角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段。

例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB=CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段。

【问题解决】

问题1：如图1，在矩形ABCD中，AB<AD，若对角线AC与BD互为双关联线段，则∠ACB= ▲ °

问题2：如图2，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，CA的延长线上，且AE=CD，连接AD，BE.

求证：线段AD是线段BE的双关联线段。

证明：延长DA交BE于点F

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60° .

∵∠BAC+∠BAE=180°，∠ACB+∠ACD=180°，

∴∠BAE=ㄥACD（依据）.

∵AE=CD， ∴△ABE≌△CAD.

∴BE=AD，∠E=∠D.

任务：

(1)、问题1 中的∠ACB=°，

问题2中的依据是.

(2)、补全问题2的证明过程；

(3)、如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD

（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）.

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23. 【问题解决】
如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，DE=AF，DE⊥AF 于点G.

(1)、求证：四边形ABCD 是正方形.

(2)、延长CB 到点 H，使得BH=AE，判断△AHF 的形状，并说明理由.

(3)、【类比迁移】
如图②，在菱形ABCD 中，点E，F 分别在边AB，BC上，DE 与AF 相交于点G，DE=AF，∠AED=60°，AE=6，BF=2，求 DE 的长.

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24. 在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC 与DEF 拼在一起，使点A 与点F 重合，点C与点D 重合(如图①)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动.
活动一：将图①中的纸片DEF 沿AC 方向平移，连接AE，BD(如图②)，当点 F 与点C 重合时停止平移.

(1)、【思考】图②中的四边形ABDE 是平行四边形吗?请说明理由.

(2)、【发现】当纸片DEF 平移到某一位置时，小兵发现四边形 ABDE 为矩形(如图③)，求AF 的长.活动二：在图③中，取AD 的中点O，再将纸片DEF 绕点O顺时针方向旋转α度(0≤α≤90)，连接OB，OE(如图④).

(3)、【探究】当 EF 平分∠AEO时，探究OF 与BD 的数量关系，并说明理由.

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