第一章《特殊平行四边形》A卷—北师大版数学九年级上册单元检测

试卷更新日期：2025-07-28 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列命题中，假命题是（）

A、矩形的对角线相等 B、菱形的对角线互相垂直 C、正方形的对角线相等且互相垂直 D、平行四边形的对角线相等

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2. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，正方形 $A B C D$ 的边长为5， $A B$ 边在 $y$ 轴上． $B (0 ， - 2)$ ．若将正方形 $A B C D$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $9 0^{∘}$ ．得到正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ．则点 $D^{'}$ 的坐标为（　　）

A、（-3，5） B、（5，-3） C、（-2，5） D、（5，-2）

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3. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $A D$ 上， $B E = B C$ ，连接 $C E$ ，若 $A B = 3$ ， $A E = 4$ ，则 $C E$ 的长为（　　）

A、1 B、5 C、2 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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4. 一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°.则这个矩形的面积是（）

A、25 B、25 $\sqrt{3}$ C、25 $\sqrt{5}$ D、50 $\sqrt{3}$

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5. 如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则 $\frac{E F}{C G}$ 的值为( )

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（　　）

A、6 B、9 C、12 D、18

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7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD=1，则GE= （）

A、3 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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8. 小美同学按如下步骤作四边形 $A B C D$ ：（1）画 $∠ M A N$ ；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交 $A M$ ， $A N$ 于点B ， D；（3）分别以点B ， D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接 $B C$ ， $C D$ ， $B D$ ．若 $∠ A = 44 °$ ，则 $∠ C B D$ 的大小是（）

A、 $64 °$ B、 $66 °$ C、 $68 °$ D、 $70 °$

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9. 如图，菱形ABCD的对角线AC ， BD相交于点O ， E是AB的中点，连接OE ．若OE＝3，则菱形的边长为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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10. 如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于 $\frac{1}{2}$ AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F ，作直线EF ，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K ．若BK＝2，则正方形ABCD的边长为（）

A、 $\sqrt{2} + 1$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC ， BD相交于点O ，请添加一个条件，使平行四边形ABCD为菱形。

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12. 一个矩形相邻两边的长分别为2，m ，则这个矩形的面积是．

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13. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC ， BD相交于点O ，请添加一个条件，使得菱形ABCD为正方形．

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14. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4 \sqrt{5}$ ，对角线 $B D$ 的长为 $16$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点， $F$ 是 $B D$ 上一点，连接 $E F$ ．若 $B F = 3$ ，则 $E F$ 的长为．

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15. 如图，将矩形纸片 $A B C D$ 沿边 $E F$ 折叠，使点 $D$ 在边 $B C$ 中点 $M$ 处．若 $A B = 4 ， B C = 6$ ，则 $C F =$ ．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = B C = 6$ ． P为边 $A B$ 上一动点，作 $P D ⊥ B C$ 于点D， $P E ⊥ A C$ 于点E，则 $D E$ 的最小值为．

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 为对角线 $A C$ 上的中点，连接 $B E$ ，且 $B E ⊥ A C$ ，垂足为 $E$ ．延长 $B C$ 至 $F$ ，使 $C F = C E$ ，连接 $E F$ ， $F D$ ，且 $E F$ 交 $C D$ 于点 $G$ ．

(1)、求证： $▱ A B C D$ 是菱形；

(2)、若 $B E = E F, E C = 4$ ，求 $△ D C F$ 的面积．

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18. 如图， $A C$ 为菱形 $A B C D$ 的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）

(1)、如图，过点 $B$ 作 $A C$ 的垂线；

(2)、如图 $2$ ，点 $E$ 为线段 $A B$ 的中点，过点 $B$ 作 $A C$ 的平行线．

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19. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O， $D E ∥ A C ， C E ∥ B D$ ．

(1)、求证：四边形 $O C E D$ 是菱形；

(2)、若 $B C = 3 ， D C = 2$ ，求四边形 $O C E D$ 的面积．

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20. 已知：如图，四边形 $A B C D$ 为正方形，点E在 $B D$ 的延长线上，连接 $E A 、 E C$ ．

(1)、求证： $△ E A B ≌ △ E C B$ ；

(2)、若 $∠ A E C = 45 °$ ，求证： $D C = D E$ ．

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21. 如图， $△ A B C$ 的中线BD，CE交于点 $O$ ，点F，G分别是OB，OC的中点.

(1)、求证：四边形DEFG是平行四边形；

(2)、当BD=CE时，求证： $□ D E F G$ 是矩形.

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22. 已知点 $A^{^{'}}$ 在正方形 ABCD 内，点 E 在边 AD 上，BE 是线段 $A A^{^{'}}$ 的垂直平分线，连接 $A^{^{'}} E ， A^{^{'}} B$ .

(1)、如图 1，若 $B A^{^{'}}$ 的延长线经过点 D， $A E = 1$ ，求 AB 的长；

(2)、如图 2，点 F 是 $A A^{^{'}}$ 的延长线与 CD 的交点，连接 $C A^{^{'}}$ .
(a) 求证： $∠ C A^{^{'}} F = 4 5^{°}$ ；
(b) 如图 3，设 AF， BE 相交于点 G，连接 $C G, D G, D A^{^{'}}$ ，若 $C G = C B$ ，判断 $△ A^{^{'}} D G$ 的形状，并说明理由.

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23.

(1)、（阅读理解）如图1， $l_{1} // l_{2}$ ， $△ A B C$ 的面积与 $△ D B C$ 的面积相等吗？为什么？

(2)、（类比探究）问题①，如图2，在正方形 $A B C D$ 的右侧作等腰 $△ C D E$ ， $C E = D E$ ， $A D = 4$ ，连接 $A E$ ，求 $△ A D E$ 的面积.

解：过点 $E$ 作 $E F ⊥ C D$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ .

请将余下的求解步骤补充完整.

(3)、（拓展应用）问题②，如图3，在正方形 $A B C D$ 的右侧作正方形 $C E F G$ ，点 $B$ ， $C$ ， $E$ 在同一直线上， $A D = 4$ ，连接 $B D$ ， $B F$ ， $D F$ ，直接写出 $△ B D F$ 的面积.

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24. 【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：

(1)、【探究发现】如图①，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD ， E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DE ，连接EF ，将△DEF沿EF翻折得到△GEF ，点D的对称点为点G ．小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．

(2)、【探究证明】取图①中的边BC的中点M ，点N在边AB上，且BN＝BM ，连接MN ，将△BMN沿MN翻折得到△HMN ，点B的对称点为点H ，连接FH ， GN ，如图②，求证：四边形GFHN是平行四边形．

(3)、【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出 $\frac{A D}{A B}$ 的值；如果不能，说明理由．

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