1.3正方形的性质与判定（第1课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷

试卷更新日期：2025-07-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列说法正确的是（）

A、菱形的四个内角都是直角 B、矩形的对角线互相垂直 C、正方形的每一条对角线平分一组对角 D、平行四边形是轴对称图形

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2. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1， $\sqrt{3}$ ），则点C的坐标为（　　）

A、（﹣1，﹣ $\sqrt{3}$ ） B、（ $\sqrt{3}$ ， ﹣1） C、（﹣1， $\sqrt{3}$ ） D、（﹣ $\sqrt{3}$ ， 1）

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3. 如图，三个边长相同的正方形叠放在一起，M，N是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是4，则正方形的边长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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4. 如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD的边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A、 $\sqrt{34}$ B、 $\sqrt{29}$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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5. 如图，点P是正方形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上一点， $P E ⊥ B C$ 于点 $E, P F ⊥ D C$ 于点F，连接 $E F$ ，给出下列四个结论：
① $A P = E F$ ；② $A P ⊥ E F$ ；③ $∠ P F E = ∠ B A P$ ；④ $P D = \sqrt{2} E C$ ，其中正确的是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 在x轴上，点B的坐标为 $(1, 0)$ ．点E在边 $C D$ 上．将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为 $(0, 3)$ ．则点E的坐标为．

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7. 以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是．

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8. 如图，在边长为2的正方形 $A B C D$ 中，E，F分别是 $B C ， C D$ 上的动点，M，N分别是 $E F ， A F$ 的中点，则 $M N$ 的最大值为．

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9. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上，且 $B E = 1$ ， $F$ 为对角线 $B D$ 上一动点，连接 $C F$ ， $E F$ ，则 $C F + E F$ 的最小值为．

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10. 如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若 $∠ M A N = 45 °$ ，则MN的最小值为．

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三、解答题

11. 如图，正方形ABCD中，点E， F 分别在AB， CD上，且BE=DF .

(1)、求证：四边形AECF 是平行四边形；

(2)、连接EF，若BC=12， BE=5，求EF的长.

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12. 在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用，如图，点E、F处是它的两个门，且DE=CF，要修建两条直路AF、BE，AF与BE相交于点O(两个门E、F的大小忽略不计).

(1)、请问这两条路是否等长?它们有什么位置关系，说明理由；

(2)、同学们测得AD=4米，AE=3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与点B处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由.

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13. 如图，E， F是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点， $B D = 10$ ， $D E = B F$ ，连接 AE，AF，CE，CF.

(1)、求证： $△ A D E ≅ △ C B F$ .

(2)、若四边形 AECF 的周长为 $4 \sqrt{34}$ ，求 EF 的长.

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14. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $G$ 是对角线 $B D$ 上的一点（与点 $B ， D$ 不重合）， $G E ⊥ C D ， G F ⊥ Β C ，$ $E ， F$ 分别为垂足.连结 $E F ， A G$ ，并延长 $A G$ 交 $E F$ 于点 $H$ .

(1)、求证： $∠ D A G = ∠ E G H$ .

(2)、判断 $A H$ 与 $E F$ 是否垂直，并说明理由.

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15. 【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 $A B C D$ 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点 $E$ 在对角线 $B D$ 上．
【数学理解】

(1)、该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出 $△ A B E ≅ △ C B E$ 的证明过程．

(2)、若裁剪过程中满足 $D E = D A$ ，求＂机翼角＂ $∠ B A E$ 的度数．

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