广东省广州市2025年中考数学真题

试卷更新日期：2025-08-01 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列四个选项中，负无理数的是（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $- 1$ C、0 D、3

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2. 如图，将 $R t △ A B C$ 绕直角边 $A C$ 所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{15}$ B、 $(- 2 a b)^{3} = 8 a^{3} b^{3}$ C、 $\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{a - b} (a \geq b \geq 0)$ D、 $2 \sqrt{a} + 5 \sqrt{a} = 7 \sqrt{a} (a \geq 0)$

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4. 关于x的方程 $x^{2} - x + k^{2} + 2 = 0$ 根的情况为（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、无实数根 D、只有一个实数根

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5. 某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（）
星期
一
二
三
四
五
六
日
最高气温/℃
25
25
28
30
33
30
29

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (- 3, 1)$ ，点 $B (- 1, 1)$ ，若将直线 $y = x$ 向上平移d个单位长度后与线段 $A B$ 有交点，则d的取值范围是（）

A、 $- 3 \leq d \leq - 1$ B、 $1 \leq d \leq 3$ C、 $- 4 \leq d \leq - 2$ D、 $2 \leq d \leq 4$

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7. 若 $| k | = - k (k \neq 0)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在（）

A、第一、二象限 B、第一、三象限 C、第二、四象限 D、第三、四象限

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8. 如图，菱形 $A B C D$ 的面积为10，点E ， F ， G ， H分别为 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 的中点，则四边形 $E F G H$ 的面积为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、5 C、4 D、8

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9. 如图， $⊙ O$ 的直径 $A B = 4$ ， C为 $\overset{⌢}{A B}$ 中点，点D在弧 $B C$ 上， $\overset{⌢}{B D} = \frac{1}{3} \overset{⌢}{B C}$ ，点P是 $A B$ 上的一个动点，则 $△ P C D$ 周长的最小值是（）

A、 $2 + \sqrt{7}$ B、 $2 + 2 \sqrt{3}$ C、 $3 + \sqrt{7}$ D、 $4 + 4 \sqrt{3}$

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10. 在平面直角坐标系中，两点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 在抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x (a > 0)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、当 $x_{1} < 0$ 且 $y_{1} \cdot y_{2} < 0$ 时，则 $0 < x_{2} < 2$ B、当 $x_{1} < x_{2} < 1$ 时，则 $y_{1} < y_{2}$ C、当 $x_{1} < 0$ 且 $y_{1} \cdot y_{2} > 0$ 时，则 $0 < x_{2} < 2$ D、当 $x_{1} > x_{2} > 1$ 时，则 $y_{1} < y_{2}$

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二、填空题

11. 如图，直线 $A B$ ， $C D$ 相交于点O ．若 $∠ 1 = 36 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为 $°$ ．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 上， $D E ∥ B C$ ，若 $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}} =$ ．

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13. 要使代数式 $\frac{\sqrt{x + 1}}{x - 3}$ 有意义，则x的取值范围是．

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ C A B$ ，已知 $c o s ∠ C A D = \frac{12}{13}$ ， $A B = 26$ ，则点B到 $A D$ 的距离为．

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15. 若抛物线 $y = x^{2} - 6 m x + 6 m^{2} + 5 m + 3$ 的顶点在直线 $y = x + 2$ 上，则m的值为．

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16. 已知 $⊙ O$ 的半径为 $6$ ， $⊙ O$ 所在平面内有一动点 $P$ ，过点 $P$ 可以引 $⊙ O$ 的两条切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别为 $A$ ， $B$ ．点 $P$ 与圆心 $O$ 的距离为 $d$ ，则 $d$ 的取值范围是；若过点 $O$ 作 $O C ∥ P A$ 交直线 $P B$ 于点 $C$ （点 $C$ 不与点 $B$ 重合），线段 $O C$ 与 $⊙ O$ 交于点 $D$ ．设 $P A = x$ ， $C D = y$ ，则 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为．

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三、解答题

17. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x \geq 1 \\ 4 x - 3 < x + 9 \end{array}$ ，并在数轴上表示解集．

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18. 如图， $B A = B E$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $B C = B D$ ．求证： $△ A B C ≌ △ E B D$ ．

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19. 求代数式 $\frac{2 m^{2} + 4 m}{m - 2} \cdot \frac{m^{2} - 4 m + 4}{m}$ 的值，其中 $m = \sqrt{3} - 1$ ．

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20. 为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示：
选手
内容
能力
效果
甲
$98$
$84$
$88$
乙
$88$
$85$
$97$

(1)、分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？

(2)、如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照 $4 : 3 : 3$ 的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次；

(3)、如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由．

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21. 如图，曲线 $G : y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 过点 $P (4, t)$ ．

(1)、求t的值；

(2)、直线 $l : y = - x + b$ 也经过点P ，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；

(3)、在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．

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22. 智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．

(1)、若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低 $30 %$ ．求用智能机器人采换的成本是多少元；（用含a的代数式表示）

(2)、若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．

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23. 宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （约为 $0.618$ ）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片 $A B C D$ ，长 $A D = \sqrt{5} + 1$ ．如图1，折叠纸片 $A B C D$ ，点B落在 $A D$ 上的点E处，折痕为 $A F$ ，连接 $E F$ ，然后将纸片展开．

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、求证：四边形 $C D E F$ 是黄金矩形；

(3)、如图2，点G为 $A E$ 的中点，连接 $F G$ ，折叠纸片 $A B C D$ ，点B落在 $F G$ 上的点H处，折痕为 $F P$ ，过点P作 $P Q ⊥ E F$ 于点Q ．四边形 $B F Q P$ 是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．

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24. 某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．

发现问题确定目标	涉水线设置	限高架设置
数学抽象绘制图形	隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示．	图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分 $A C B$ 和矩形 $A D E B$ 的三边构成．
信息收集资料整理	当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．	车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部 $A C B$ 在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集	斜坡的坡角 $α$ 为 $10 °$ ，并查得： $s i n 10 ° \approx 0.174$ ， $c o s 10 ° \approx 0.985$ ， $t a n 10 ° \approx 0.176$ ．	隧道的最高点C到地面 $D E$ 距离为5.4米，两侧墙面高 $A D = B E = 3$ 米，地面跨度 $D E = 10$ 米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．

问题解决：

(1)、如图2，求涉水线离坡底的距离

M N

（精确到0.01米）；

(2)、在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线

A C B

的解析式；

(3)、限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到

0.1

米）．

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25. 如图1， $A C = 4$ ， $O$ 为 $A C$ 中点，点 $B$ 在 $A C$ 上方，连接 $A B$ ， $B C$ ．

(1)、尺规作图：作点 $B$ 关于点 $O$ 的对称点 $D$ （保留作图痕迹，不写作法），连接 $A D$ ， $D C$ ，并证明：四边形 $A B C D$ 为平行四边形；

(2)、如图2，延长 $A C$ 至点 $F$ ，使得 $C F = A C$ ，当点 $B$ 在直线 $A C$ 的上方运动，直线 $A C$ 的上方有异于点 $B$ 的动点 $E$ ，连接 $E A$ ， $E B$ ， $E C$ ， $E F$ ，若 $∠ A E C = 45 °$ ，且 $△ A B C ∽ △ F C E$ ．
①求证： $△ A B C ∽ △ C B E$ ；
② $C B$ 的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

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星期	一	二	三	四	五	六	日
最高气温/℃	25	25	28	30	33	30	29

选手	内容	能力	效果
甲	$98$	$84$	$88$
乙	$88$	$85$	$97$