1.3正方形的性质与判定（第2课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷

试卷更新日期：2025-07-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列说法中，正确的是（）

A、对角线互相垂直的四边形是菱形 B、一组邻边相等的平行四边形是正方形 C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D、对角线相等的四边形是矩形

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2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）

A、当 $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $▱ A B C D$ 是矩形 B、当 $A C = B D$ ， $▱ A B C D$ 是矩形 C、当 $A B = B C$ ， $▱ A B C D$ 是菱形 D、当 $A C ⊥ B D$ ， $▱ A B C D$ 是正方形

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3. 如图，点E、F、G、H分别是四边形 $A B C D$ 边 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 的中点．则正确的是（）

A、若 $A C = B D$ ，则四边形 $E F G H$ 为矩形 B、若 $A C ⊥ B D$ ，则四边形 $E F G H$ 为菱形 C、若 $E F G H$ 是平行四边形，则 $A C$ 与 $B D$ 互相平分 D、若 $E F G H$ 是正方形，则 $A C$ 与 $B D$ 互相垂直且相等

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4. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（）

A、若 $A B ⊥ B C$ ，则 $▱ A B C D$ 是菱形 B、若 $A C = B D$ ，则 $▱ A B C D$ 是矩形 C、若 $A C ⊥ B D$ ，则 $▱ A B C D$ 是正方形 D、若 $A B = A D$ ，则 $▱ A B C D$ 是正方形

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5. 如图，已知四边形 $A B C D$ 为正方形， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $E$ 为对角线 $A C$ 上一点，连接 $D E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ D E$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，以 $D E$ ， $E F$ 为邻边作矩形 $D E F G$ ，连接 $C G$ ．以下结论：①矩形 $D E F G$ 是正方形；② $2 C E + C G = \sqrt{2} A D$ ；③ $C G$ 平分 $∠ D C F$ ；④ $C G = A E$ ．其中结论正确的序号有（）．

A、①③④ B、①②④ C、①②③ D、①②③④

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二、填空题

6. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形，点E是 $B C$ 的中点，将正方形 $A B C D$ 沿 $A E$ 折叠，得到点B的对应点为点F，延长 $E F$ 交线段 $D C$ 于点P，若 $A B = 6$ ，则 $D P$ 的长度为．

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7. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点 $B'$ 处，当 $△ C E B^{'}$ 为直角三角形时，BE的长为

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8. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为．

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9. 正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $M ， N$ 在对角线 $A C$ 上（可与点 $A ， C$ 重合）， $M N = 2$ ，点 $P ， Q$ 在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形 $P M Q N$ 是平行四边形；

②存在无数个四边形 $P M Q N$ 是菱形；

③存在无数个四边形 $P M Q N$ 是矩形；

④至少存在一个四边形 $P M Q N$ 是正方形．

所有正确结论的序号是．

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10. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是．

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三、解答题

11. 如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE ， AB平分∠CAE ， AB∥DF ．

(1)、求证：四边形ABDF是平行四边形；

(2)、过点B作BG⊥AE于点G ，若CB＝AF ，请直接写出四边形BGED的形状．

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12. 如图，点E为正方形 $A B C D$ 外一点， $∠ A E B = 90 °$ ，将 $R t △ A B E$ 绕A点逆时针方向旋转 $90 °$ 得到 $△ A D F, D F$ 的延长线交 $B E$ 于H点．
（1）试判定四边形 $A F H E$ 的形状，并说明理由；
（2）已知 $B H = 7, B C = 13$ ，求 $D H$ 的长．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 的角平分线交 $B C$ 于点D， $D E / / A B ， D F / / A C$ .

(1)、试判断四边形 $A F D E$ 的形状，并说明理由；

(2)、若 $∠ B A C = 90 °$ ，且 $A D = 2 \sqrt{2}$ ，求四边形 $A F D E$ 的面积.

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14. 如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．

(1)、如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；

(2)、如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．

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15. 综合实践
如图1，点E为正方形 $A B C D$ 内一点， $∠ A E B = 90 °$ ，点 $E^{'}$ 为正方形 $A B C D$ 外一点，且 $B E^{'} ⊥ C E^{'}$ ， $B E = B E^{'}$ ，延长 $A E$ 交 $C E^{'}$ 于点F，连接 $D E$ ．

(1)、试判断四边形 $B E^{'} F E$ 的形状，并说明理由；

(2)、如图2，若 $D A = D E$ ，请猜想线段 $C F$ 与 $E^{'} F$ 的数量关系，并加以证明；

(3)、如图1，若 $A B = 15$ ， $B E = 9$ ，请求出 $D E$ 的长．

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