相关试卷

1、以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（）

A、 $1 ， 1 ， 2$ B、 $2 ， 3 ， 4$ C、 $3 ， 4 ， 5$ D、 $4 ， 5 ， 7$

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2、如图，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 与x轴相交的于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

(1)、直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴；

(2)、连接 $B C$ ，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段 $B C$ 上的一个动点（P不与C，B两点重合），过点P作 $P F ∥ D E$ 交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段 $P F$ 的长．
②设 $△ B C F$ 的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值．

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3、中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：

原文

释义

甲乙丙为定直角．

以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；

以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；

再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；

乙与己及庚相连作线．

如图2， $∠ A B C$ 为直角．

以点 $B$ 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线 $B A$ ， $B C$ 分别于点 $D$ ， $E$ ；

以点 $D$ 为圆心，以 $B D$ 长为半径画弧与 $\overset{⌢}{D E}$ 交于点 $F$ ；

再以点 $E$ 为圆心，仍以 $B D$ 长为半径画弧与 $\overset{⌢}{D E}$ 交于点 $G$ ；

作射线 $B F$ ， $B G$ ．

(1)、根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、根据（1）完成的图，直接写出

∠ D B G

，

∠ G B F

，

∠ F B E

的大小关系．

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4、解不等式组： $\{\begin{cases} 2 x - 2 \leq - x + 4 \\ x - 1 \leq \frac{3 x - 1}{2} \end{cases}$ ．

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5、阿基米德说： “给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理．如图 $①$ ，春白——谷物种子脱壳的传统工具，就是利用了杠杆原理工作，图 $②$ 是该舂臼的侧面简易示意图，点 $O$ 是支点，点 $O$ 距地面 $15 cm$ ，且 $A O : B O = 4 : 1$ ，在舂臼使用过程中，若 $B$ 端上升至距地面 $10 cm$ 处，则 $A$ 端此时距地面 $cm$ ．

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6、如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想．下列是该玉琮俯视图的是（）

A、 B、 C、 D、

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7、下列实数是无理数的是（　　）

A、 $\sqrt{11}$ B、 $\sqrt{9}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $- 2$

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8、综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的 $D$ 处，测得操控者 $A$ 的俯角为 $30 °$ ，测得楼 $B C$ 楼顶 $C$ 处的俯角为 $45 °$ ，又经过人工测量得到操控者 $A$ 和大楼 $B C$ 之间的水平距离是80米，则楼 $B C$ 的高度是多少米？（点 $A ， B ， C ， D$ 都在同一平面内，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

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9、先化简，再求值： $(\frac{4}{x + 2} + x - 2) \div \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4} + 3$ ，其中 $x = - \frac{7}{2}$ ．

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10、计算： $- {(- \frac{1}{2})}^{- 3} + tan 60 ° + |\sqrt{3} - 2| + {(π - 2024)}^{0}$ ．

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11、为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、 $\overset{⌢}{A B}$ 与 $\overset{⌢}{C D}$ 是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是 $72 °$ ，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽 $A C$ 的长是米．（ $π$ 取3.14，计算结果精确到0.1）

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12、如图，点 $A (0, - 2)$ ， $B (1, 0)$ ，将线段 $A B$ 平移得到线段 $D C$ ，若 $∠ A B C = 90 °$ ， $B C = 2 A B$ ，则点 $D$ 的坐标是．

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13、如图， $A D ∥ B C, A B ⊥ A C$ ，若 $∠ 1 = {35.8}^{\circ}$ ，则 $∠ B$ 的度数是（）

A、 $35 ° 4 8^{'}$ B、 $55 ° 1 2^{'}$ C、 $54 ° 1 2^{'}$ D、 $54 ° 5 2^{'}$

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14、下列说法正确的是（）

A、任意画一个三角形，其内角和是 $360 °$ 是必然事件 B、调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查． C、一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4 D、在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为 $S_{甲}^{2} = 1.5, S_{乙}^{2} = 2.5$ ，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐

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15、下列计算正确的是（）

A、 ${(- 2 a^{4})}^{3} = - 6 a^{12}$ B、 $a^{- 2} \div a^{5} = a^{3}$ C、 $\frac{a + 1}{a} - \frac{1}{a} = \frac{1}{a}$ D、 $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在 $P O$ 的延长线上，使得 $\frac{P O}{Q O} = \frac{1}{2}$ ，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1， $A (2, 4), B (2, 2), P (- 1, - \frac{3}{2})$ 是线段 $A B$ 外一点， $Q (2, 3)$ 在 $P O$ 的延长线上，且 $\frac{P O}{Q O} = \frac{1}{2}$ ，因为点Q在线段 $A B$ 上，所以点P是线段 $A B$ 的“延长2分点”．

(1)、如图1，已知图形 $W_{1}$ ：线段 $A B$ ， $A (2, 4)$ ， $B (2, 2)$ ，在 $P_{1} (- \frac{5}{2}, - 1), P_{2} (- 1, - 1), P_{3} (- 1, - 2)$ 中，______是图形 $W_{1}$ 的“延长2分点”；

(2)、如图2，已知图形 $W_{2}$ ：线段 $B C$ ， $B (2, 2)$ ， $C (5, 2)$ ，若直线 $M N : y = - x + b$ 上存在点P是图形 $W_{2}$ 的“延长2分点”，求b的最小值：

(3)、如图3，已知图形 $W_{3}$ ：以 $T (t, 1)$ 为圆心，半径为1的 $⊙ T$ ，若以 $D (- 1, - 2)$ ， $E (- 1, 1)$ ， $F (2, 1)$ 为顶点的等腰直角三角形 $D E F$ 上存在点P，使得点P是图形 $W_{3}$ 的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．

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17、综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在 $△ A B C$ 中，点M，N分别为 $A B$ ， $A C$ 上的动点（不含端点），且 $A N = B M$ ．
【初步尝试】（1）如图1，当 $△ A B C$ 为等边三角形时，小颜发现：将 $M A$ 绕点M逆时针旋转 $120 °$ 得到 $M D$ ，连接 $B D$ ，则 $M N = D B$ ，请思考并证明：
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A E ⊥ M N$ 于点E，交 $B C$ 于点F，将 $M A$ 绕点M逆时针旋转 $90 °$ 得到 $M D$ ，连接 $D A$ ， $D B$ ．试猜想四边形 $A F B D$ 的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，连接 $B N$ ， $C M$ ，请直接写出 $B N + C M$ 的最小值．

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18、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点D为 $⊙ O$ 上一点， $B C = B D$ ，延长 $B A$ 至E，使得 $∠ A D E = ∠ C B A$ ．

(1)、求证： $E D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B O = 4, \tan ∠ C B A = \frac{1}{2}$ ，求 $E D$ 的长．

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19、观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”，如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：
①本条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接 $A B$ ；
②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，C不在同一条直线上）；
③连接 $C B$ 并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在 $C B$ 延长线上的落点记为点D；
④用另一根足够长的木条画线，连接 $A D$ ， $A C$ ，则画出的 $∠ D A C$ 是直角．
操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图2， $B A = B C$ ，请画出以点A为顶点的直角，记作 $∠ D A C$ ；
推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：
证明： $∵ A B = B C = B D$ ，
$∴ △ A B C$ 与 $△ A B D$ 是等腰三角形．
$∴ ∠ B C A = ∠ B A C, ∠ B D A = ∠ B A D$ ．（依据1______）
$∴ ∠ B C A + ∠ B D A = ∠ B A C + ∠ B A D = ∠ D A C$ ．
$∴ ∠ D A C + ∠ B C A + ∠ B D A = 180 °$ ，（依据2______）
$∴ 2 ∠ D A C = 180 °$ ，
$∴ ∠ D A C = 90 °$ ．
依据1：______；依据2：______；
拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作 $∠ P O Q$ ，使得直角边 $O P$ （或 $O Q$ ）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）

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20、先化简，再求值： $(1 + \frac{a + 7}{a + 1}) \div \frac{a + 4}{a}$ ，其中 $a = 4$ ．

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