相关试卷

1、我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何?”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗?设清酒有x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ )

A、 ${\begin{matrix} x + y = 30 \\ 3 x + 10 y = 5 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} x + y = 30 \\ 10 x + 3 y = 5 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} x + y = 5 \\ 3 x + 10 y = 30 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} x + y = 5 \\ 10 x + 3 y = 30 \end{matrix}$

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2、下列计算正确的是（ )

A、2a+3b=5ab B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(- 2 x)}^{3} = - 8 x^{3}$ D、（m+4n)（m-4n)=m²-4n²

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3、光线在不同介质中传播速度不同，从空气射入水中时会发生折射。由于折射率相同，空气中平行的光线，在水中也保持平行。如图，水面与杯底互相平行，∠1+∠2=130°，∠3=100°，则∠1的度数为（ )

A、 55° B、 50° C、 45° D、 40°

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4、如图，2026年春晚《武BOT》节目中，宇树人形机器人与河南塔沟武校学员同台演绎时，需在定制斜坡舞台完成腾跃动作。若该斜坡的坡度为3：4，机器人腾跃点B的水平宽度AC=80厘米，则腾跃点的垂直高度BC为（ )

A、30厘米 B、60厘米 C、80厘米 D、120厘米

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5、下列四个数中，最小的是（ )

A、 0 B、 -（-1) C、 - 2 D、 |-3|

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6、阅读与思考

下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务．

关于“分母有理化”的研究报告

博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值

研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值．

研究方法：利用概念——法则的方式进行研究

研究内容：【两个概念】

（1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如 $\sqrt{2} - 1$ 的有理化因式为 $\sqrt{2} + 1$ ， $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ 的有理化因式是 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

（2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = (\sqrt{2} - 1)$

【概念理解】

① $\sqrt{6} + \sqrt{5}$ 的有理化因式是________．

② $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ 分母有理化的结果为________．

(1)、直接写出研究报告中“________”处空缺的部分分别是①________、②________．

(2)、利用分母有理化比较

\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}

与

\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}

的大小．

(3)、计算：

\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{8}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{99} + 10}

．

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7、利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是．

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8、一次函数 $y = a x + b$ 与正比例函数 $y = a b x (a, b$ 为常数且 $a b \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9、若 $\sqrt{a - 1} + {(b - 2)}^{2} = 0$ ，但 $a + b$ 的值是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10、如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在 $A B$ 外选一点C，连接 $A C$ ， $B C$ ，并分别找出它们的中点D，E，连接 $D E$ ．现测得 $D E = 24 m$ ，则 $A B =$ （）

A、 $50 m$ B、 $48m$ C、 $45m$ D、 $35m$

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11、在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A + ∠ C = 120 °$ ，则 $∠ C$ 的度数（）

A、 $60 °$ B、 $70 °$ C、 $80 °$ D、 $110 °$

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12、满足下列条件的 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、2，3，4 B、3，4，5 C、5，12，14 D、8，10，7

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13、（1）如图1，在正方形 $A B C D$ 中，E是 $A B$ 上一点，F是 $A D$ 延长线上一点，且 $D F = B E$ ．请直接写出 $C E$ 、 $C F$ 的数量关系；
（2）如图2，在正方形 $A B C D$ 中，E是 $A B$ 上一点，G是 $A D$ 上一点，如果 $∠ G C E = 45 °$ ，请你利用（1）的结论证明： $G E = B E ＋ G D$ ．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四边形 $A B C G$ 中， $A G ∥ B C (B C > A G), ∠ B = 90 °$ ， $A B = B C$ ， E是 $A B$ 上一点，且 $∠ G C E = 45 °$ ， $B E = 4$ ， $A G = 6$ ，求四边形 $A B C G$ 的面积．

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14、如图，在矩形 $A B C O$ 中，延长 $A O$ 到D，使 $D O = A O$ ，延长 $C O$ 到E，使 $E O = C O$ ，连接 $A E 、 E D 、 D C 、 A C$ ．

(1)、求证：四边形 $A E D C$ 是菱形；

(2)、若 $A E = 4 ， ∠ A E D = 60 °$ ，求 $A E D C$ 的面积．

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15、先化简，再求值， $(\frac{x + 1}{x} - 1) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x}$ ，其中 $x = \sqrt{5} - 1$

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16、已知， $y = \sqrt{x - \frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2} - x} + 3$

(1)、求x和y值

(2)、求 $x^{y}$

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17、计算：

(1)、 $\sqrt{12} - \sqrt{3} + \sqrt{27}$

(2)、 $(3 - \sqrt{2}) (3 + \sqrt{2})$

(3)、 $(\sqrt{20} - \sqrt{\frac{1}{5}}) \div \sqrt{5} - \sqrt{24} \times \sqrt{\frac{1}{6}}$

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18、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，如果将该矩形沿对角线 $B D$ 折叠， $A E$ 是( )

A、 $4 c m$ B、 $3 c m$ C、 $5 c m$ D、 $8 c m$

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $∠ B A D = ∠ C A D$ ， $D E$ 是 $△ A C D$ 的中线，若 $B C = 12$ ， $A D = 8$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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20、 $\sqrt{12}$ 与最简二次根式 $\sqrt{m + 1}$ 能合并，则m的值为（　　）

A、0 B、1 C、2 D、3

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