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1、图1是一座拱桥，拱桥的拱形呈抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度为 $O A = 12$ 米时，水面离桥洞最大距离为4米，如图2，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系．

(1)、求该拱桥抛物线的解析式；

(2)、当河水上涨，水面离桥洞的最大距离为2米时，求拱桥内水面的宽度．

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2、如图，已知 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别是 $A (3, 5)$ ， $B (1, 2)$ ， $C (4, 1)$ ．

(1)、根据要求画图：将 $△ A B C$ 绕原点O逆时针旋转 $90 °$ 后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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3、已知二次函数 $y = x^{2} - 6 x + 3$ ，当 $0 \leq x \leq 4$ 时，求y的最大值与最小值之差．

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4、解方程：

(1)、 $x^{2} + 2 x - 4 = 0$ ；

(2)、 $3 x (x - 2) = 2 (2 - x)$ ．

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5、将抛物线 $y = x^{2} - 3$ 先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的解析式为．

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6、已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - a + 1$ 的顶点在x轴上，则a的值是（）

A、 $- 2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、1

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7、小丽与小琳在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处， $O A$ 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距 $O A$ 水平距离 $0.9 m$ 的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度 $E M$ 为 $0.9 m$ ，已知 $∠ B O C = 90 °$ ， $B D ⊥ O A$ 于点D， $C E ⊥ O A$ 于点E．

(1)、求证： $△ C E O ≌ △ O D B$ ；

(2)、为了安全考虑规定户外秋千设置高度在 $2 m$ 以下，小丽所在公园的秋千高度设置是否合理？为什么？

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8、若关于x的分式方程 $\frac{x + 3}{1 - x} = \frac{m}{x - 1}$ 无解，则m的值为（）

A、4 B、 $- 4$ C、 $- 3$ D、3

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9、与数轴上的点一一对应的是（）

A、整数 B、有理数 C、无理数 D、实数

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10、如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $D$ ， $A C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $E$ ， $M$ ， $N$ 为垂足，若 $B D = \frac{3}{2}, D E = 2, E C = \frac{5}{2}$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$

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11、如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 12 cm$ ， $B C = 10 cm$ ，点D为 $A B$ 的中点．如果点P在线段 $B C$ 上以 $2 cm / s$ 的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段 $A C$ 上由点A向点C以 $4 cm / s$ 的速度运动．若P，Q两点分别从B，A两点同时出发，其中一点到达终点，另一点随之停止运动．回答下列问题：

(1)、经过 $t s$ 后，此时 $P B =$ __________ $cm$ ， $C Q =$ __________ $cm$ （用含t的代数式表示）；

(2)、当t为多少秒时， $△ C P Q$ 是以 $P Q$ 为底的等腰三角形？

(3)、当t为多少秒时，使得 $△ B D P$ 与 $△ C P Q$ 全等？

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12、对于正数x，规定： $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ ．
例如： $f (1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ ， $f (2) = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}$ ， $f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求值： $f (3) + f (\frac{1}{3}) =$ __________； $f (4) + f (\frac{1}{4}) =$ __________；

(2)、猜想： $f (x) + f (\frac{1}{x}) =$ __________，并证明你的结论；

(3)、求： $f (\frac{1}{2025}) + f (\frac{1}{2024}) + \dots + f (\frac{1}{2}) + f (1) + f (2) + \dots + f (2024) + f (2025)$ 的值．

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 6$ ， $B C = 10$ ．

(1)、尺规作图：作边 $A C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点D，连接 $A D$ （要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）；

(2)、在（1）作出的图形中，求 $△ A B D$ 的周长．

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14、如图，AB＝AE，∠1＝∠2，AC＝AD，求证：BC＝DE．

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15、先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4} \div (x - 2 - \frac{2 x - 4}{x + 2})$ ，其中 $x = 3$ ．

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16、计算： ${(- 1)}^{2025} + {(π - 2)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 2^{3}$ ．

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17、如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 中， $∠ A = 40 °$ ， $A B = A C = 2$ ， $∠ B D C = 140 °$ ， $B D = C D$ ，以点 $D$ 为顶点作 $∠ M D N = 70 °$ ，两边分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $M$ ， $N$ ，连接 $M N$ ，则 $△ A M N$ 的周长为．

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18、对于代数式m，n，定义运算“※”： $m ※ n = \frac{m + n - 6}{m n}$ ，例如： $4 ※ 2 = \frac{4 + 2 - 6}{4 \times 2}$ ，若 $(x - 1) ※ (x + 2) = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$ ，则 $2 A + B =$ ．

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19、如果等腰三角形的两边长是 $10 cm$ 和 $6 cm$ ，那么它的周长是．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 45 °$ ， F是高线 $A D$ 和 $B E$ 的交点．若 $C D = 4$ ，则线段 $D F$ 的长为（）．

A、2 B、4 C、3 D、6

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