人教版八年级上同步分层训练18.5分式方程

试卷更新日期：2025-11-20 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）

A、 $\frac{75}{x} = \frac{90}{1.8 x} + \frac{1}{2}$ B、 $\frac{75}{x} = \frac{90}{1.8 x} - \frac{1}{2}$ C、 $\frac{75}{1.8 x} = \frac{90}{x} + \frac{1}{2}$ D、 $\frac{75}{1.8 x} = \frac{90}{x} - \frac{1}{2}$

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2. 若关于x的分式方程 $\frac{a x}{4 x - 8} =$ $\frac{3}{2 x - 4} + 1$ 无解，则a的值为（ )

A、4或3 B、- 4 C、4或-3 D、3

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3. 下列四个选项中，是分式方程的是（ )

A、 $\frac{2 x + 1}{5} - 1 = \frac{x}{6}$ B、 $\frac{1}{x} = \frac{1}{2 + x} + 1$ C、 $\frac{x}{2} = \frac{x + 2}{3}$ D、 $2 - \frac{x - 1}{3} = \frac{x}{4}$

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4. 对于分式方程 $\frac{x}{x - 3} = 2 + \frac{3}{x - 3}$ ，有以下几种说法：①最简公分母为 $(x - 3)^{2}$ ；②转化为整式方程为 $x = 2 + 3$ ；③原方程的解为 $x = 3$ ；④原方程无解.其中正确的说法有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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5. 一同学在解关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{7 (x - 3)} - \frac{1}{3 - x} = 2$ 的过程中产生了增根，则 $a$ 的值为．

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6. 解方程：

(1)、 $\frac{x}{x - 2} + 2 = \frac{1}{2 - x}$ ；

(2)、 $\frac{x + 1}{x - 1} - 1 = \frac{4}{x^{2} - 1}$ ．

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7. 韶关市某中学开展科技节活动，某社团为了调动同学们参加活动的积极性，准备用300元为通关的同学们购买奖品：套尺和笔记本．

(1)、已知购买套尺的金额比购买笔记本的金额的2倍少60元，求购买笔记本一共花了多少钱？

(2)、在第（1）问的条件下，已知商店套尺的单价是笔记本单价的2倍，且购买笔记本比套尺多6件，求笔记本与套尺的单价．

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二、能力提升

8. 若关于x的分式方程 $\frac{x + a}{x - 3} + \frac{2 a}{3 - x} = \frac{1}{3}$ 的解是正数，则a的取值范围为（）

A、 $a > 1$ B、 $a \geq 1$ C、 $a \geq 1$ 且 $a \neq 3$ D、 $a > 1$ 且 $a \neq 3$

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9. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．图书管理员用3600元购买若干套“四大名著”后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，因此又用2400元购买了第二批该套书，此时正赶上图书城八折优惠，于是第二批购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（）

A、 $\frac{3600}{0.8 x} - \frac{3600}{x} = 4$ B、 $\frac{3600}{x} - \frac{2400}{0.8 x} = 4$ C、 $\frac{2400}{0.8 x} - \frac{3600}{x} = 4$ D、 $\frac{2400}{0.8 x} - \frac{2400}{x} = 4$

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10. 若数m使关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 \leq - x + 4 \\ 7 x + 4 > - m \end{array}$ 有且仅有四个整数解，且使关于x的分式方程 $\frac{m}{2 - x} - 1 = \frac{x}{x - 2}$ 有非负数解，则所有满足条件的整数m的值之和是．

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11. 某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表.
单枪充电桩
双枪充电桩
花费：40000元
花费：30000元
单价：x元/个
单价：1.5x元/个

(1)、若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；

(2)、在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%、双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，如果此次加购政府预备支出不超过35 500元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量、

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三、拓展创新

12. 观察下列数： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $\dots$ ， $x_{m - 1}$ ， $x_{m}$ ， $($ 其中正整数 $m \geq 2)$ ，若设 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = x_{1} + 4$ ， $x_{3} = x_{2} + 6$ ， $x_{4} = x_{3} + 8$ ， $\dots$ ， $x_{m} = x_{m - 1} + 2 m$ ，若 $\frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} + \frac{1}{x_{4}} + \dots \frac{1}{x_{m}} = \frac{505}{1011}$ ，则 $m$ 的值为( )

A、 $2024$ B、 $2023$ C、 $2022$ D、 $2021$

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13. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号 $M i n {a ， b}$ 表示a，b中的较小的值，如 $M i n {2 ， 4} = 2$ ，按照这个规定，方程 $M i n {\frac{1}{x} ， - \frac{1}{x}} = \frac{3}{x} - 1$ （其中 $x \neq 0$ ）的解为.

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14. (项目式学习·探究水果购进方案)阅读下列素材，完成任务.

如何设计水果的购进方案
素材1	某水果店计划用9600元购进甲和乙两种葡萄进行销售，已知甲种葡萄的进价比乙种葡萄高4元/千克，用1800 元能购进的甲种葡萄和用1 200元能购进的乙种葡萄一样多
素材2	根据该水果店所定的售价，每千克甲种葡萄的利润是每千克乙种葡萄利润的 1.25倍，同样获得120元的利润，需要出售的乙种葡萄比需要出售的甲种葡萄多3千克
问题解决
任务1 确定进价	分别求出两种葡萄每千克的进价；
任务2 确定利润	分别求出两种葡萄每千克的利润；
任务3 确定购进方案	要使总利润不低于9000元，则最多能购进甲种葡萄多少千克?

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单枪充电桩	双枪充电桩
花费：40000元	花费：30000元
单价：x元/个	单价：1.5x元/个