人教版数学八年级上学期期末仿真模拟试卷一

试卷更新日期：2025-11-19 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列四个图标中，属于轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 点 $A (m, 5)$ 与点 $B (- m, 5)$ 关于（）对称

A、x轴 B、y轴 C、原点 D、直线x=5

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3. 若 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，则 $\frac{a b - b}{a}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 6$ ， $A B = 8$ ， $△ A B C$ 的面积为 $20$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，点 $F$ ， $E$ 分别为 $A C$ ， $A D$ 上动点，连结 $C E$ ， $E F$ ，则 $C E + E F$ 的最小值为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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5. 四张全等的梯形硬纸板可拼成平行四边形（如图1），也可拼成正方形（如图2），根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于 $x, y$ 的等式为（）

A、 $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ B、 $x^{2} + 2 x y + y^{2} = {(x + y)}^{2}$ C、 ${(x - y)}^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ D、 $x^{2} - x y = x (x - y)$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，作 $D E ⊥ A C$ ，垂足为 $E$ ，连接 $A D$ ，若 $∠ B A D = 90 °$ ， $A D = 4$ ， $A C = 7$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、 $1$ B、 $1.5$ C、 $2$ D、 $2.5$

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7. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（）

A、 $\frac{8}{x} + 15 = \frac{8}{2.5 x}$ B、 $\frac{8}{x} = \frac{8}{2.5 x} + 15$ C、 $\frac{8}{x} + \frac{1}{4} = \frac{8}{2.5 x}$ D、 $\frac{8}{x} = \frac{8}{2.5 x} + \frac{1}{4}$

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8. 如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S_四边形ABDE＝ $\frac{3}{2}$ S_△ABP，其中正确的是（）

A、①③ B、①②④ C、①②③ D、②③

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

9. 已知 $a^{2} + 8 a = 1$ ，求 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ 的值为．

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10. 如图，已知 $△ A B C$ 是等边三角形，且 $A C = C E = G D$ ，点G、D、F分别为 $A C 、 C E$ 、 $G D$ 的中点，则 $∠ E =$ 度．

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11. 如果分式 $\frac{x^{2} - 9}{x + 3}$ 的值为零，那么x＝．

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12. 如图，直线m是线段 $A B$ 的垂直平分线，点C是直线m上位于 $A B$ 上方的一动点，连接 $C A$ 和 $C B$ ，以 $C A$ 为直角边，点C为直角顶点，在直线m的左侧作等腰直角三角形 $C A D$ ，过点D作 $D E ⊥ A B$ ，交直线 $A B$ 于点E，交直线 $A C$ 于点F，连接 $D B$ ，与直线m交于点G，连接 $C E$ ．则在点C运动的过程中，以下结论：① $D C = B C$ ， ② $A C = D F$ ， ③直线 $C E$ 垂直平分线段 $D B$ ， ④ $△ D A F ≌ △ B G C$ ， ⑤ $∠ A C E = ∠ C D G$ 中，正确的是（请填入正确的序号）．

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三、解答题：本大题共8小题，共75分.

13. 计算或因式分解

(1)、计算 $2024^{2} - 2023 \times 2025$ ；

(2)、计算 $(3 x + 2 y) (3 x - 2 y) - 5 x (x - y) - {(2 x - y)}^{2}$ ；

(3)、因式分解 $a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2}$ ；

(4)、因式分解 $a b + a + b + 1$ ．

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14. 按要求解答下列各题．

(1)、分解因式：x³﹣4x²y+4xy² ．

(2)、计算：（2y﹣x）（x﹣y）+（2x³y+4xy³）÷2xy．

(3)、解分式方程：
① $\frac{x + 3}{2 x - 6} = \frac{x}{x - 3} + 2$ ；
② $\frac{2}{x^{2} - 4} - \frac{x}{2 - x} = 1$ ．

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15. 先化简 $\frac{a + 1}{a^{2} - 2 a + 1} \div (2 + \frac{3 - a}{a - 1}),$ 然后从-1，0，11中选择一个合适的数代入求值.

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16. 根据规律答题．
小明同学在一次教学活动中发现：方程 $x + \frac{1}{x} = 2 + \frac{1}{2}$ 的解为 $x_{1} = 2, x_{2} = \frac{1}{2}$ 方程 $x + \frac{1}{x} = 3 + \frac{1}{3}$ 的解为 $x_{1} = 3, x_{2} = \frac{1}{3}$ 方程 $x + \frac{1}{x} = 4 + \frac{1}{4}$ 的解为 $x_{1} = 4, x_{2} = \frac{1}{4} \dots \dots$
以此类推：

(1)、请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 $x + \frac{1}{x} = 8 + \frac{1}{8}$ 的解是______；

(2)、根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 $x + 1 + \frac{1}{x + 1} = a + \frac{1}{a} (a \neq 0)$ 得到 $x + 1 =$ ________；

(3)、拓展延伸：由（2）可知，在解方程 $x + \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{82}{9}$ 时，可变形转化为 $x + \frac{1}{x} = a + \frac{1}{a}$ 的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．

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17. 重庆——山水之城，美食之都．今年国庆期间，吸引了众多游客到重庆游玩，某打卡点的面馆的生意也异常火爆．

(1)、十月一日该面馆的“小面”销售额是800元，“豌杂面”销售额是1500元，且两种面的销量相同．已知“小面”的单价比“豌杂面”的单价少7元．求“小面”和“豌杂面”的单价各是多少元？

(2)、十月三日，游客量达到顶峰，该面馆当天“小面”比“豌杂面”的多卖出60份，两种面的总销售额为2895元．求该面馆十月三日当天“小面”的销量是多少份？

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18. 【概念呈现】
有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 中，若 $∠ B + ∠ E = 180 °$ ， $∠ A = ∠ D$ ， $B C = E F$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是“和合”三角形．

【性质探究】
（1）如图2，线段 $A B, C D$ 交于点 $O$ ， $A C = B D$ ， $∠ C A O + ∠ D B O = 180 °$ ，容易知道 $△ A O C$ 与 $△ B O D$ 是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点 $D$ 作 $DE ∥ AC$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ．
请证明 $△ A O C ≌ △ E O D$ ；
【拓展应用】
（2）如图3， $D$ 是等边三角形 $A B C$ 的边 $A C$ 上的一动点， $E$ 在 $A B$ 的延长线上， $C D = B E$ ，连接 $D E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ ．
①若 $F C = 2 F B$ ，求 $∠ F D C$ 的度数；
②当 $\frac{B F}{F C}$ 的值为多少时， $△ A E D$ 与 $△ A E C$ 是“和合”三角形．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (- 6 ， 0)$ ，点B在y轴正半轴上， $A B = B C$ ， $∠ C B A = 90 °$ ．

(1)、如图1，当 $B (0 ， 1)$ 时，连接 $A C$ 交y轴于点D，写出点C的坐标；

(2)、如图2， $D B ⊥ y$ 轴于B且 $B D = B O$ ，连接 $C D$ 交y轴于一点E，在B点运动的过程中， $B E$ 的长度是否会发生变化？若不变，求出 $B E$ 的长度；若变化，请说明理由；

(3)、如图3，N在 $A C$ 延长线上，过 $N (t ， - 6)$ 作 $N Q ⊥ x$ 轴于Q，探究线段 $B N$ 、 $A Q$ 、 $B O$ 之间的数量关系，并证明你的结论．

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