人教版八年级上同步分层训练18.3分式的加法及减法

试卷更新日期：2025-11-20 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 如图是嘉琪同学在作业中计算 $a - \frac{4}{2 - a} - 2$ 的过程，作业是从第几步开始出现错误（）
嘉琪的作业
$a - \frac{4}{2 - a} - 2$
$= a - 2 - \frac{4}{2 - a}$ ……第一步
$= (a - 2) (2 - a) - 4$ ……第二步
$= 4 - a^{2} - 4$ ……第三步
$= - a^{2}$ ……第四步

A、第一步 B、第二步 C、第三步 D、第四步

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2. 小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（）

A、 $\frac{1}{a - 4}$ B、 $\frac{4}{a + 1}$ C、 $\frac{1}{4 - a}$ D、 $- \frac{1}{a + 1}$

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3. 化简： $\frac{a - b}{a} + \frac{a + b}{a}$ 的结果是（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、0

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4. 计算：

(1)、 $\frac{2 x^{2}}{x - y} - \frac{2 y^{2}}{x - y}$ ；

(2)、 $\frac{1}{a + 2} + \frac{4}{a^{2} - 4}$ ；

(3)、 ${(\frac{2 x}{3 y})}^{2} \div (\frac{1}{4} x y)$ ；

(4)、 $(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2}) \div \frac{2 x^{2} - 4 x}{x^{2} - 4 x + 4}$ ．

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5. 化简求值．先化简 $(\frac{4}{x - 2} - x + 2) + \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值．

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二、能力提升

6. 计算 $x + 1 - \frac{x^{2}}{x - 1}$ 的结果为（）

A、 $\frac{1}{x - 1}$ B、 $\frac{1}{x + 1}$ C、 $\frac{1}{1 - x}$ D、 $- \frac{1}{x + 1}$

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7. 如图，若x为正整数，则表示 $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ 的值的点落在（）

A、段① B、段② C、段③ D、段④

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8. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式 $\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} (v \neq f)$ 表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（）

A、 $\frac{f v}{f - v}$ B、 $\frac{f - v}{f v}$ C、 $\frac{f v}{v - f}$ D、 $\frac{v - f}{f v}$

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9. 若关于x，y的方程组 $\{\begin{cases} 2 x + y = 5 a \\ x - 2 y = a \end{cases}$ 的解为 $\{\begin{array}{l} x = m \\ y = n \end{array}$ ，则 $\frac{m + 3 n}{3 m - n}$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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10. 已知， $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7}$ ，且 $3 x - 2 y + z \neq 0$ ．则 $\frac{3 x + 2 y - z}{3 x - 2 y + z} =$ ．

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11. 已知分式 $A = (a + 1 - \frac{3}{a - 1}) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a - 1}$ ．

(1)、化简这个分式；

(2)、当 $a > 2$ 时，把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，问：分式B的值较原来分式A的值是变大了还是变小了？试说明理由．

(3)、若A的值是整数，且a也为整数，求出符合条件的所有a值的和．

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12. 计算：

(1)、 ${(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}^{2} \div (\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}});$

(2)、 ${(\frac{3 x^{2}}{4 y})}^{2} \cdot \frac{2 y}{3 x} + \frac{x^{2}}{2 y^{2}} \div \frac{2 y^{2}}{x};$

(3)、 $(\frac{x}{x + y} + \frac{2 y}{x + y}) \cdot \frac{x y}{x + 2 y} \div (\frac{1}{x} + \frac{1}{y});$

(4)、 ${(\frac{a + b}{a - b})}^{2} \cdot \frac{2 a - 2 b}{3 a + 3 b} - \frac{a^{2}}{a^{2} - b^{2}} \div \frac{a}{b}$

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三、拓展创新

13. 设实数a，b，c 满足 $a + b + c = 3 ， a^{2} + b^{2} + c^{2} = 4 ，$ 则 $\frac{a^{2} + b^{2}}{2 - c} + \frac{b^{2} + c^{2}}{2 - a} + \frac{c^{2} + a^{2}}{2 - b} =$ ( ).

A、9 B、6 C、3 D、0

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14. 设有理数a，b，c都不为零，且a+b+c=0，则 $\frac{1}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} + \frac{1}{c^{2} + a^{2} - b^{2}} + \frac{1}{a^{2} + b^{2} - c^{2}}$ 的值是( ).

A、正数 B、负数 C、零 D、不能确定

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15. 若 $\frac{7 n + 15}{n - 3}$ 为整数，则整数n 可能取的值有个.

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16. 计算：

(1)、 $\frac{2 m}{3 n} \cdot {(\frac{3 n}{p})}^{2} \div \frac{m n}{p^{2}};$

(2)、 $a^{2} b^{3} \cdot {(a b^{2})}^{- 2};$

(3)、 $\frac{x^{2} - 16}{x^{2} + 8 x + 16} + \frac{x}{x - 4};$

(4)、 ${(\frac{p q}{2 r})}^{3} \div \frac{2 p}{r^{2}} + \frac{1}{2 q};$

(5)、 $1 \div (2 x + \frac{1 - x^{2}}{x});$

(6)、 $\frac{a - b}{a} \div (a - \frac{2 a b - b^{2}}{a});$

(7)、 $1 - \frac{a - b}{a + 2 b} \div \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + 4 a b + 4 b^{2}}; .$

(8)、 $(x - y + \frac{4 x y}{x - y}) (x + y - \frac{4 x y}{x + y})$

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17. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} =$ $1 + \frac{2}{x - 1}$ ， $\frac{2 x - 3}{x + 1} = \frac{2 x + 2 - 5}{x + 1} = \frac{2 x + 2}{x + 1} + \frac{- 5}{x + 1} =$ $2 + \frac{- 5}{x + 1}$ ，则 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 和 $\frac{2 x - 3}{x + 1}$ 都是“和谐分式”．

(1)、下列式子中，属于“和谐分式”的是（填序号）；
① $\frac{x + 1}{x}$ ；② $\frac{2 + x}{2}$ ；③ $\frac{x + 2}{x + 1}$ ；④ $\frac{y^{2} + 1}{y^{2}}$

(2)、将“和谐分式” $\frac{a^{2} - 2 a + 3}{a - 1}$ 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： $\frac{a^{2} - 2 a + 3}{a - 1} =$ +；

(3)、应用：先化简 $\frac{3 x + 6}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x}$ ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．

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