相关试卷

1、如图，在 $A ， B$ 两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向北偏东 $70 °$ ．若 $A ， B$ 两地同时开工，要使公路准确接通，则 $∠ α$ 的度数应为（）

A、 $100 °$ B、 $105 °$ C、 $110 °$ D、 $115 °$

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2、下列各数中，最小的数是（）

A、 $0$ B、 $- \frac{7}{3}$ C、 $- 2$ D、 $|- 1|$

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3、项目式学习
项目主题：无人机喷洒农药研究．
项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性．
驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济．
建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点 $O$ 为无人机的摄像头， $A ， B$ 是喷药口， $A$ ， $B ， O$ 在同一条水平直线上， $A B = 60 cm$ ．如图2，以无人机摄像头所在位置 $O$ 为坐标原点，竖直方向为 $y$ 轴，以 $A B$ 所在直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系．喷药口点 $A$ 和点 $B$ 到点 $O$ 的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与 $y$ 轴的交点为 $C ， O C = 300 cm$ ．
（1）试确定点A所在抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为 $300 cm$ ，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为 $E F$ 的区域，且 $E F = 30 cm$ ，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度．
（3）如图4，在直线 $A B$ 上再增加2个喷药口 $M$ 和 $N$ ， $M$ 在 $A$ 左侧， $N$ 在 $B$ 右侧，且 $M A =$ $A B = B N$ ，当无人机上升到距地面的高度为 $480 cm$ 时，直接写出此时喷洒农药覆盖区域宽度 $P Q$ 的长．

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4、波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线 $M N$ 轴对称，线段 $P E$ 和 $P F$ 是可伸缩连接杆，点 $E, F$ 的位置固定不变，在海浪波的带动下点 $P$ 处齿轮组可以在 $M N$ 上来回滑动生成动力．已知 $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 m$ ， $C D = 5 m$ ， $M N = 10 m$ ， $∠ E A B = 127 °, ∠ E C D = 135 °$ ，求连杆 $P E + P F$ 的最小值．（结果精确到 $0.1 m$ ）
（参考数据： $\sin 53 ° = \frac{4}{5}, \cos 53 ° = \frac{3}{5}, \tan 53 ° = \frac{4}{3}$ ）

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5、某校为了了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重（均取整数，单位：kg），并将他们的体重进行整理，绘制了如下统计表与统计图：
已知 $C$ 组的具体体重为（单位： $k g$ ）： $54$ ， $54$ ， $55$ ， $55$ ， $56$ ， $57$ ， $59$ ， $60$
组别
体重（ $k g$ ）
频数（人）
$A$
$39.5 ~ 46.5$
$2$
$B$
$46.5 ~ 53.5$
$a$
$C$
$53.5 ~ 60.5$
$8$
$D$
$60.5 ~ 67.5$
$5$
$E$
$67.5 ~ 74.5$
$4$
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ，所抽取学生体重的中位数是 $k g$ ；

(2)、所抽取学生平均体重为 $58.8 k g$ ，小敏的体重是 $57 k g$ ，小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处于中下游水平，请问小敏的推测正确吗？请简单说明理由．

(3)、学校决定选出优秀运动达人带动同学们参加体育运动，若从3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

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6、如图，已知矩形 $A B C D$ ，

(1)、尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作 $∠ B A D$ 的平分线 $A M$ ，交边 $B C$ 于点 $E$ ．
②过 $E$ 作 $E F ⊥ A D$ ，垂足为 $F$ ；

(2)、求证：四边形 $A B E F$ 是正方形．

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7、（1）计算： ${(- 1)}^{2025} + \sqrt{9} + |- 2| - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$
（2）解分式方程： $\frac{2 - x}{x - 3} = 1 - \frac{1}{3 - x}$

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8、如图，在菱形ABCD中，连接BD，点E在AB上，连接CE交BD于点F，作FG⊥BC于点G，∠BEC＝3∠BCE，BF＝ $\frac{5}{11}$ DF，若FG＝ $\frac{3}{4}$ ，则AB的长为．

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9、如图，在扇形 $A O B$ 中， $O A = 2, ∠ A O B = 90 °$ ，点 $C$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 的三等分点，连接 $O C$ ，过点 $B$ 作 $B D ⊥ O C$ 交 $O A$ 于点 $D$ ．连接 $C D$ ．则阴影部分的面积为．

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10、把多项式 $4 x^{2} - y^{2}$ 分解因式的结果是．

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11、我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为 $x$ 人，货物总价为 $y$ 钱，可列方程组为（）

A、 $\{\begin{array}{l} y = 7 x + 2 \\ y = 6 x + 3 \end{array}$ B、 $\{\begin{cases} y = 7 x - 2 \\ y = 6 x + 3 \end{cases}$ C、 $\{\begin{cases} y = 7 x - 2 \\ y = 6 x - 3 \end{cases}$ D、 $\{\begin{array}{l} y = 7 x + 2 \\ y = 6 x - 3 \end{array}$

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12、已知反比例函数 $y = \frac{6}{x} (x \neq 0)$ ，则下列描述不正确的是（）

A、图象位于第一，第三象限 B、图象必经过点 $(8, \frac{3}{4})$ C、图象不可能与坐标轴相交 D、 $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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13、已知 $a < 0 < b$ ，则在平面直角坐标系中， $(a, b)$ 所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其数学道理是（）

A、两点确定一条直线 B、两点之间，线段最短 C、垂线段最短 D、平行于同一条直线的两条直线平行

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15、将两本相同的课本按如图进行叠放，得到一个几何体，则它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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16、电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录．将数据157亿用科学记数法表示为（）

A、1.57 $\times$ 10⁹ B、1.57 $\times$ 10¹⁰ C、1.57 $\times$ 10¹¹ D、0.157 $\times$ 10¹¹

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， D 是边AB上一点(不与点A， B 重合)， ⊙O经过点A， C， D.

(1)、如图1，连结OC， OD， CD，若 $∠ D O C = 15 0^{\circ}, C D = C A,$
① 求 $∠ A D O$ 的度数；
② 若又满足tanB=1，OD=2，求AB的长.

(2)、如图2，过点 D 作 $D E ‖ B C,$ 交⊙O于点E，连结OE，若 $∠ A C B = 2 ∠ A E O,$ 求证：DE=AC.

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18、为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验.
【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转.上臂AB，下臂BC长均为25cm.双臂对称张开时，AC始终保持水平，即AC∥MN.
【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径 r与转动速度ν的乘积为定值，即k=vr，k为常数.(图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，ν为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计)
【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度ν部分数据如下表：
旋转半径r(cm)
30
40
50
动速度v(cm/s)
200
150
120

(1)、请根据以上信息，求k的值(单位：( $c m^{2} / s)$

(2)、为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过300cm/s，则旋转半径r至少为多少 cm?

(3)、某动作设计需要机械双臂的转动速度ν为160cm/s，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r.求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角∠BAD的正弦值.

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19、定义：对于y关于x的函数，在a≤x≤b (a<b)范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m.

(1)、对于一次函数y=2x+1，在0≤x≤3的范围内，分别求出M和m的值.

(2)、对于二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3,$ 甲、乙两位同学有以下说法：
甲同学说： “在0≤x≤3的范围内， M=0， m=-3.”
乙同学说：“在0≤x≤t的范围内，若M-m=4，则M=0， m=-4.”
甲、乙两位同学的说法正确吗?请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由.

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20、如图，菱形ABCD的对角线AC， BD相交于点 O，延长AB至点 E，使BE=AB，连结CE.

(1)、求证： ∠ACE=90°

(2)、若BE=3， CE=2，求菱形ABCD的面积.

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