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1、北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为 $(- 4, 2)$ ，表示“开阳”的点的坐标为 $(0, 3)$ ，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为．

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2、规定 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，如 $[3.1] = 3$ ， $[- 2.9] = - 3$ ，若 $[3 - 2 x] = - 4$ ，则 $x$ 的取值范围为．

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3、若一个正数的两个平方根分别是 $a + 3$ 和 $a - 5$ ，则 $a =$

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4、如图， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，点E ， F分别在 $B A$ 和 $B C$ 上， $E G$ 平分 $∠ A E F$ 交 $B D$ 于点 $G, E D ∥ B C$ ．给出下列结论：① $∠ E B D = ∠ D$ ；② $∠ C B D = ∠ D E G$ ；③ $∠ B F E = ∠ A B C + 2 ∠ D E G$ ；④ $∠ F E G = 2 ∠ D$ ．其中所有正确的序号是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、②④

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5、对于实数x ， y定义新运算： $x * y = a x + b y + 5$ ，其中a ， b为常数．已知 $1 * 2 = 9$ ， $(- 3) * 3 = 2$ ，则（）

A、 $a = 2$ ， $b = - 2$ B、 $a = 2$ ， $b = 1$ C、 $a = 1$ ， $b = 2$ D、 $a = 1$ ， $b = - 2$

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6、小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图， $C F$ ， $B G$ 交于点 $A$ ， $F G ∥ D E ∥ B C$ ， $∠ F A G = 40 °$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，若设 $∠ A D E = x °$ ， $∠ G = y °$ ，则 $x$ 和 $y$ 之间的关系是( )

A、 $x + 2 y = 180$ B、 $x - 2 y = 60$ C、 $x - y = 80$ D、 $x + y = 150$

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7、若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 5 \geq 1 \\ 2 x - a < 8 \end{array}$ 有且只有两个整数解，则a的取值范围是（）

A、 $- 2 ⩽ a ⩽ 0$ B、 $- 2 ⩽ a < 0$ C、 $- 2 < a ⩽ 0$ D、 $- 2 < a < 0$

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8、在平面直角坐标系中，点 $(m^{2} + 5, - 2)$ 一定在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9、若某不等式组的解集为 $1 < x \leq 4$ ，则其解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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10、在平面直角坐标系中，将点 $A (x, y)$ 向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后与点 $B (- 3, 2)$ 重合，则点A坐标为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(7, 4)$ D、 $(7, 0)$

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11、若 $a > b$ ，则下列不等式一定成立的是（　　）．

A、 $- 1 + a < - 1 + b$ B、 $\frac{a}{3}$ ＜ $\frac{b}{3}$ C、 $2 - a > 2 - b$ D、 $b - a < 0$

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12、下列说法不正确的是（　　）

A、 $- 8$ 的立方根是 $- 2$ B、 $\pm \sqrt{4} = \pm 2$ C、 $\sqrt{81}$ 的平方根是 $\pm 3$ D、0没有算术平方根

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13、【问题探究】
综合实践课上，老师给出这样一个问题要求同学们进行小组合作探究：
如图①，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °, A B = A C$ ，点 $D 、 E$ 在边 $B C$ 上， $∠ D A E = 45 °$ ．探究图中线段 $B D, D E, C E$ 之间的数量关系．
小红同学这一个学习小组探究此问题的方法是：
将 $△ A B D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A C F$ ，连接 $E F$ （如图②），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及 $∠ D A E = 45 °$ ，可证 $△ F A E ≌ △ D A E$ ，得 $F E = D E$ ．即可得出 $B D, D E, C E$ 之间的数量关系．

(1)、请你根据小红同学这一学习小组的探究方法，写出探究结论：
在图②中， $∠ F C E =$ 度， $B D, D E, C E$ 之间的数量关系是．

(2)、【问题延伸】
小明同学这一学习小组在上述探究的基础上，又进行了如下问题的探究：
如图③，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E 、 F$ 分别是边 $B C 、 C D$ 上的动点，连接 $A E 、 A F$ 交 $B D$ 于 $M 、 N$ ，若 $∠ E A F = 45 °$ ．请你帮小明同学这一学习小组完成如下猜想：
①线段 $B M 、 M N 、 D N$ 的数量关系是 ▲ ；
②线段 $B E 、 E F 、 D F$ 的数量关系是 ▲ ；
请任选一个你的猜想说明理由．

(3)、【问题解决】
请根据上述探究方法，解决如下问题：如图④，已知点 $A (- 6, 0)$ ，点 $B (0, - 3)$ ，点 $C$ 位于 $y$ 轴正半轴， $∠ B A C = 45 °$ ，试求出点 $C$ 的坐标．

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14、如图，四边形 $O A B C$ 为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是 $(4, 7)$ ．点D ， E分别在 $O C$ ， $C B$ 边上，且 $C E : E B = 5 : 3$ ，将矩形 $O A B C$ 沿直线 $D E$ 折叠，使点 $C$ 落在 $A B$ 边上点 $F$ 处．

(1)、F点的坐标为 ▲ ，并求出线段 $O D$ 的长；

(2)、若点P在第二象限，且四边形 $P E F D$ 是矩形，求P点的坐标；

(3)、若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M ， N ， D ， F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点N的坐标．

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15、某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划．

(1)、“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价；

(2)、“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本．不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元，销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，设A图书进货m本，请写出m的取值范围，并用含m的式子表示书店此时的利润W（元）；

(3)、在（2）的条件下，书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？

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16、如图，一次函数 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象交于点 $A (1, 2)$ 和 $B (- 2, a)$ ，与 $y$ 轴交于点 $M$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、直接写出 $y_{1} \geq y_{2}$ 时 $x$ 的取值范围；

(3)、在 $y$ 轴上取一点 $N$ ，当 $△ A M N$ 的面积为3时，求点 $N$ 的坐标．

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17、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，连接对角线 $B D$ ，点E和点F是直线 $B D$ 上的两点且 $D E = B F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形；

(2)、若 $A D ⊥ B D$ ， $A B = 5$ ， $B C = 3$ ， $F E = 8$ ，求点D到 $A F$ 的距离．

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18、已知一次函数的图象经过点 $(1, - 1)$ ， $(2, 1)$ ，与x轴交于点A ，与y轴交于点B ．

(1)、求一次函数的表达式及 $△ A O B$ 的面积；

(2)、将一次函数的图象向上平移 $m (m > 0)$ 个单位后恰好经过 $(- 2, - 3)$ ，则m的值为．

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19、解下列方程：

(1)、 ${(x + 3)}^{2} - 16 = 0$ ；

(2)、 ${(x - 5)}^{2} = 2 x - 10$ ．

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20、计算： $- 1^{2025} - \sqrt{45} + \frac{1}{2} \times \sqrt{80} - | \sqrt{5} - 3 | + {(\frac{1}{3})}^{- 2}$ ．

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