华东师大九年级上册第二十三章解直角三角形单元测试培优卷

试卷更新日期：2026-09-05 类型：单元试卷

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一、单项选择题（每小题4分，满分40分）

1. 如图，在△ABC中，D是边AB的中点，E是边BC上一点，且AE=BE，若. $A B = 2 \sqrt{5},$ BE=3，则DE的长为 ( )

A、3 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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2. $△ A B C$ 中， $∠ A$ 、 $∠ B$ 都是锐角，且 $s i n A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $c o s B = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）．

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定

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3. 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，将 $△ B C D$ 沿着 $B D$ 折叠到 $△ B D E$ ，若 $A B = 4$ ， $B C = 8$ ，则 $∠ A B E$ 的正切值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{5}$

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4. 如图，在5×5正方形网格图中，AB与CD相交于点M ，则sin∠AMD=（　　）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$

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5. 第七届国际数学教育大会（ICME)的会徽如图1所示，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC.若 $O A = \sqrt{3}, A B = B C = 1,$ 则sin∠BOC 的值为（ )

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 120 °$ ，线段 $D E$ 垂直平分 $A C$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，若 $C D = 4$ cm，则 $A B$ 的长为（）

A、 $8$ cm B、 $4 \sqrt{2}$ cm C、 $4 \sqrt{3}$ cm D、 $2 \sqrt{3}$ cm

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二、填空题（每小题5分，满分20分）

7. 如图， $∠ M O N = 60 °$ ，以O为圆心，2为半径画弧，分别交 $O M ， O N$ 于 $A ， B$ 两点，再分别以 $A ， B$ 为圆心， $\sqrt{6}$ 为半径画弧，两弧在 $∠ M O N$ 内部相交于点C，作射线 $O C$ ，连接 $A C ， B C$ ，则 $t a n ∠ B C O =$ ．（结果保留根号）

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8. 如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，将 $△ C D E$ 沿DE折叠，得到 $△ F D E,$ ，连接BF，CF，∠BFC=90°，若 $E F ∥ A B, A B = 4 \sqrt{3}, E F = 10,$ ，则AE的长为 .

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9. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $A B$ ， $B C$ 上的动点，且满足 $B F = 2 A E$ ．当 $A E =$ 时， $△ E B F$ 为等边三角形；已知点 $P$ 为 $E F$ 的中点，连接 $A P$ ， $D P$ ，则 $A P + P D$ 的最小值为．

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三、解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）

10. 先化简，再求值代数式 $\frac{3 - a}{a - 1} + \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} - 1} \cdot \frac{a + 1}{a - 2}$ 的值，其中 $a = \tan 45 ° + 2 \cos 30 °$ ．

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11. 如图，将 $∠ A C B = 90 °$ 的 $Rt △ A B C$ 绕其锐角顶点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $Rt △ A E D$ ，连接 $B E$ ，延长 $D E 、 B C$ 相交于点 $F$ ，则有 $∠ B F E = 90 °$ ，且四边形 $A C F D$ 是一个正方形．

(1)、求证： $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ；

(2)、若 $B C = \sqrt{3} ， A C = 2$ ，求 $B E$ 的长．

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12. 通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)，如图①，在△ABC中，AB＝AC ，底角∠B的邻对记作can B ，这时can B＝ $\frac{底边}{腰}$ ＝ $\frac{B C}{A C}$ .容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解答下列各题：

(1)、can 30°＝；

(2)、如图②，已知在△ABC中，AB＝AC ， can B＝ $\frac{8}{5}$ ， S_△_ABC＝24，求△ABC的周长．

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13. 重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩．如图，大门 $A$ ，猴山 $B$ ，古塔 $C$ ，游乐场 $D$ 为景区内在同一平面内的四个景点． $D$ 位于 $A$ 的正东方向 $3$ 千米处， $B$ 位于 $A$ 的正南方向且位于 $D$ 的南偏西 $30 °$ 方向， $C$ 位于 $B$ 的南偏东 $75 °$ 方向且位于 $D$ 的南偏东 $30 °$ 方向．

(1)、求 $B C$ 的长度（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24$ ， $\sqrt{6} \approx 2.45$ ，结果保留小数点后一位）；

(2)、现甲从 $B$ 出发沿 $B D$ 方向前往 $D$ ，乙从 $D$ 出发沿 $D C$ 方向前往 $C$ ，两人同时出发，乙的速度是甲的速度的 $2$ 倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为 $4$ 千米，求此时甲离 $D$ 处多少千米？

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14. 图1是一款可以调整铅笔位置的圆规，图2是该圆规的简易结构图，已知(OA=10cm，DE=2cm，∠EDO=114°。在调整铅笔位置时BC始终垂直平分 DE， BC和DE交于点F。如图3，当圆规的两个脚OA和OD 闭合，即O，D，A三点在同一直线上时，调整铅笔的位置，定位针针尖A 点与笔尖B 点恰好能重合。(计算结果均精确到0.1，参考数据： $s i n 2 4^{\circ} \approx 0.40; c o s 2 4^{\circ} \approx 0.91; t a n 2 4^{\circ} \approx 0.44 。)$

(1)、求OD 的长。

(2)、如图4，调节圆规的两个脚OA和OD，使得( $O A ‖ B C 。$ 调整铅笔BC的位置，圆规可以画出半径最小的圆，求该最小圆半径AB 的长。(注：假设BC足够长。)

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15. 【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
例：如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ．求证： $B C = \frac{1}{2} A B$ ．
证明：作斜边AB上的中线CD，则
……
请你结合图①，将证明过程补充完整．
【结论应用】如图②，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， D是 $A B$ 的中点．过点D作 $D E ∥ B C$ 交AC于点E．则线段 $A B$ 与 $D E$ 有怎样的数量关系，请说明理由．
【拓展提升】一副三角板按图③所示摆放，得到 $△ A B D$ 和 $△ B C D$ ．其中 $∠ A D B = ∠ B C D = 90 °$ ， $∠ A B D = 30 °$ ． $∠ C B D = 45 °$ ．点E为 $A B$ 的中点，过点E作 $E F ⊥ C D$ 于点F．若 $A B = 4$ $c m$ ．则 $E F$ 的长为 ▲ $c m$ （直接写出结果）

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华东师大九年级上册 第二十三章 解直角三角形 单元测试培优卷

一、单项选择题（每小题4分，满分40分）

二、填空题（每小题5分，满分20分）

三、解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）

华东师大九年级上册第二十三章解直角三角形单元测试培优卷