浙教版数学八年级上册第1章三角形培优卷

试卷更新日期：2026-09-05 类型：单元试卷

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一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知AB∥CD，∠1 ＝50°，∠2 ＝30°，则∠3的度数为（）

A、90° B、80° C、70° D、60°

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2. 如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，但他很快想办法在作业本画了一样的三角形，么这两个三角形完全一样的依据是（）

A、 $AAS$ B、 $ASA$ C、 $SSS$ D、 $SAS$

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3. 如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A=80°，∠B=60°，那么∠BDC=( )

A、80° B、90° C、100° D、110°

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4. 如图，在锐角 $△ A B C$ 中，边 $A B$ 的垂直平分线分别交边 $A B$ 、 $B C$ 于点 $D$ 、 $E$ ，边 $A C$ 的垂直平分线分别交边 $A C$ 、 $B C$ 于点 $F$ 、 $G$ ．若 $G E = 2$ ， $B C = 8$ ，则 $△ A E G$ 的周长为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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5. 如图，某桥梁的钢架结构中，△ABC和△DEF 的顶点B，C，E，F在同一直线上．已知AB∥DE，且AB=DE，同时点C是BE的中点，点E是CF的中点．则判定△ABC≌△DEF 的依据是 ( )

A、SAS B、ASA C、AAS D、SSS

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6. 如图，平面反光镜 $A C$ 斜放在地面 $A B$ 上，一束光线从地面上的 $P$ 点射出， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $D E$ 是反射光线．要使反射光线 $D E$ 与地面 $A B$ 平行， $∠ A P D$ 与 $∠ C A B$ 应满足的数量关系是（）

A、 $∠ A P D = 180 ° - 2 ∠ C A B$ B、 $∠ A P D$ = $180 ° - \frac{3}{2} ∠ C A B$ C、 $∠ A P D = 90 ° + ∠ C A B$ D、 $∠ A P D$ = $90 ° + \frac{1}{2} ∠ C A B$

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7. 如图， OC平分∠AOB，在OC上取一点P，作PF⊥OB，已知OF=8cm， △FOP的面积为12cm² ，点E是射线OA上一动点，则PE长度的最小值为( )

A、3cm B、4cm C、5cm D、6cm

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8. 如图，已知 $△ A B C$ ，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程：
①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $B A ， B C$ 于点E，F；
②以点E为圆心， $E F$ 长为半径画弧，两弧交于点M；
③作射线 $B M$ ，与 $C A$ 延长线父于点P，点D为 $C P$ 延长线上一点．
根据以上作法，下列结论不成立的是（）

A、 $∠ P B C = 2 ∠ A B C$ B、 $A F = A M$ C、 $C M ⊥ B P$ D、 $S_{△ A P B} : S_{△ A C B} = P B : C B$

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9. 如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、3 $\sqrt{2}$

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二、填空题（每小题3分，共18分）

10. 齐家文化是世界闻名，中国最早的青铜时代文化遗存，是人类灿烂古文化瑰宝．积石山县出土的齐家文化双耳素陶鬲的三个支点形成三角形，这样设计的数学依据是．

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11. 两直线平行，内错角相等是命题.（填“真”或“假”)

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12. 写出一个 $a$ 的值，使命题“ $| a - 1 | = a - 1$ ”是假命题，这个值可以是．

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13. 如图，在 Rt△ABC中， ∠ABC=90°， AB=BC，点 D为三角形右侧外一点，且∠BDC=45°，连接 AD. 若△ACD的面积为 $\frac{49}{32},$ 则线段 CD的长度为.

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14. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2.已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为．

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15. 如图， $Rt △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C$ 的角平分线 $B E$ 和 $∠ B A C$ 的邻补角的角平分线 $A D$ 相交于点 $P$ ，分别交 $A C$ 和 $B C$ 的延长线于 $E ， D$ ．过 $P$ 作 $P F ⊥ A D$ 交 $A C$ 的延长线于点 $H$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $A F$ 交 $D H$ 于点 $G$ ．下列结论：① $∠ A P B = 45^{\circ}$ ；② $P B$ 垂直平分 $A F$ ；③ $D G = P A + G H$ ；④ $B D - A H = A B$ ；其中正确结论的序号是．

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三、解答题（本大题有8小题，共72分）

16. 已知：如图，直线AB、CD、EF 被直线 BF 所截， ①∠B+∠1=180°， ②∠2=∠3、③AB//EF；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程.

(1)、条件：，结论：；（填序号)

(2)、证明：

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17. 如图，AD 是△ABC 的高，AE，BF 是△ABC 的角平分线，且 $∠ C B F = 3 0^{\circ} .$

(1)、求∠BAD 的度数；

(2)、若∠AFB=70°，求∠DAE 的度数.

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18. 如图， AB=AC， CD∥AB，点 E是 AC上一点，且∠ABE=∠CAD，延长 BE交 AD于点 F.

(1)、求证： △ABE≌△CAD；

(2)、若点 E是 AC的中点， CD=3， △ABE的周长比△BCE的周长大 2，求△ABC的周长.

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19. 将两数和(差)的完全平方公式     ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2},$    通过适当的变形，可以解决很多数学问题.
例：若 a-b=4， ab=1，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值.
解：  ∵a-b=4，  ab=1，
$∴ a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b = 4^{2} + 2 \times 1 = 18 .$
根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：

(1)、已知 a+b=14， ab=48，则     $a^{2} + b^{2} =$ .

(2)、两块完全相同的直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如图所示放置，其中 A，O，D在一条直线上，连接 AC， BD. 若 $A D = 14, S_{△ A O C} + S_{△ B O D} = 64,$ 求一块三角板的面积；

(3)、若 x满足     ${(x - 2023)}^{2} + {(x - 2027)}^{2} = 36,$    求(x-2023)  (x-2027)的值.

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20. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端 $A$ ， $B$ 的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：
【甲】如图1，先在平地取一个可直接到达 $A$ ， $B$ 的点 $C$ ，再连接 $A C$ ， $B C$ 并分别延长 $A C$ 至 $D$ ， $B C$ 至 $E$ ，使 $D C = A C$ ， $E C = B C$ ，最后测出 $D E$ 的长即为 $A$ ， $B$ 的距离．
【乙】如图2，过点 $B$ 作 $B D ⊥ A B$ ，再由点 $D$ 观测，在 $A B$ 的延长线上取一点 $C$ ，使 $∠ C D B = ∠ A D B$ ，这时只要测出 $B C$ 的长即为 $A$ ， $B$ 的距离．

(1)、以上两位同学所设计的方案，你认为两位同学的设计方案是否可行；

(2)、请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由．

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21. 如图，已知，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E的线段AD(除去端点A、D)上一动点，EF⊥BC于点F.
(1)若∠B＝40°，∠DEF＝10°，求∠C的度数．
(2)当E在AD上移动时，∠B、∠C、∠DEF之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．

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22. 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形.

(1)、初步尝试：如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请用直尺和圆规将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形，请保留作图痕迹.

(2)、理解运用：请在图2的方格纸中，画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形.

(3)、综合应用：如图3，已知△ACD为直角三角形， $∠ A D C = 9 0^{\circ},$ 以AC，AD为腰向外作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE， $∠ C A B = ∠ D A E = 9 0^{\circ},$ 连结BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形.

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23. 【探究与发现】
数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知 $E$ 是 $B C$ 的中点，点 $A$ 在 $D E$ 上，且 $∠ B A E = ∠ C D E$ ．求证： $A B = C D$ ．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长 $A E$ 至点 $F$ ，使得 $E F = A E$ ，连结 $C F$ ．易证 $△ A B E ≌ △ F C E$ ，故对应角 $∠ B A E = ∠ C F E$ ，所以 $∠ C F E = ∠ C D E$ ，因此可得 $A B = C D$ ．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题：

(1)、【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到 $△ A B E ≌ △ F C E$ ，依据是（）

A、 $S S S$ B、 $S A S$ C、 $A A S$ D、 $H L$

(2)、【灵活运用】如图2， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，若 $A B = 5$ ， $A C = 9$ ，设 $A D = x$ ，则 $x$ 的取值范围是；

(3)、【拓展延伸】如图3，在 $△ B G C$ 中， $G F$ 平分 $∠ B G C$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，过点 $E$ 作 $E D ∥ G F$ ， $E D$ 交 $C G$ 的延长线于点 $D$ ，交 $B G$ 于点 $A$ ．求证： $A B = C D$ ．

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浙教版数学八年级上册 第1章 三角形 培优卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

二、填空题（每小题3分，共18分）

三、解答题（本大题有8小题，共72分）

浙教版数学八年级上册第1章三角形培优卷