一元二次方程同解问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题

试卷更新日期：2026-03-03 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 已知关于x的方程 $a (x - m)^{2} + k = 0$ （a，m，k均为常数，且 $a \neq 0$ ）的两个解是 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 4$ ，则方程 $a (x - m - 2)^{2} + k = 0$ 的解是（）.

A、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 2$ B、 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = 6$ C、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 4$ D、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 2$

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2. 已知关于 $x$ 的方程 $a (x - 1) (x - m) = 0$ 与 $a (x - n)^{2} = b$ 有相同的解，则 $m$ 与 $n$ 之间的等量关系为（）

A、 $m + n = 1$ B、 $m - n = 1$ C、 $m + 2 n = - 1$ D、 $m - 2 n = - 1$

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3. 若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x +$ 5=0有一个根为2025，则方程 $a {(x + 1)}^{2} + b （ x +$ 1）=-5必有一个根为（）

A、2024 B、2023 C、2022 D、2021

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4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + 2 a x + c = 0 (a \neq 0)$ 的一个根为 $m$ ，则方程 $a (x - 1)^{2} + 2 a (x - 1) + c = 0$ 的两根分别是（）

A、 $m + 1, - m - 1$ B、 $m + 1, - m + 1$ C、 $m + 1, m + 2$ D、 $m - 1, - m + 1$

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5. 已知方程 $a x^{2} + b x - 3 = 0$ 的解是 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 3$ ，则另一个方程 $a {(x + 3)}^{2} + b (x + 3) - 3 = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 6$ B、 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = - 6$ C、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 3$

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6. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的解为 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 4$ ，则关于y的一元二次方程 $(y - 1)^{2} + b (y - 1) + c = 0$ 的解为（）

A、 $y_{1} = 3$ ， $y_{2} = - 4$ B、 $y_{1} = 2$ ， $y_{2} = - 5$ C、 $y_{1} = 2$ ， $y_{2} = - 3$ ， D、 $y_{1} = 4$ ， $y_{2} = - 3$

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7. 一元二次方程 $a {(x + h)}^{2} + k = 0$ 的两根分别为 $- 5$ ， 1，则方程 $a {(2 x + h - 3)}^{2} + k = 0 (a \neq 0)$ 的两根分别为（）

A、 $x_{1} = - 6$ ， $x_{2} = - 2$ B、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 1$ C、 $x_{1} = - 9$ ， $x_{2} = - 1$ D、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 2$

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8. 已知关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的解是 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 2$ $(a, b, c$ 均为常数，且 $a \neq 0)$ ，那么方程 $a {(2 x + 3)}^{2} + b (2 x + 3) + c = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = - 2, x_{2} = \frac{1}{2}$ B、 $x_{1} = - \frac{1}{2}, x_{2} = - 2$ C、 $x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{3}{2}$ D、无法求解

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二、填空题

9. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + 6 x - 4 = 0$ 的解为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ ，则关于 $y$ 的一元二次方程 $a (y + 1)^{2} + 6 (y + 1) - 4 = 0$ 的解为．

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10.

(1)、若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} = b (a b > 0)$ 的两个根分别是 $m + 1$ 与 $2 m - 4$ ，则 $m =$ ．

(2)、若关于 $x$ 的方程 $a (x + m)^{2} + b = 0 (a ， b ， m$ 均为常数，且 $a \neq 0)$ 的两个根是 $x_{1} = 3$ 和 $x_{2} = 7$ ，则方程 $a (2 x + m - 1)^{2} + b = 0$ 的根是．

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11. 若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的其中一根为 $x = 2023$ ，则关于x的方程 $a {(x + 2)}^{2} + b x + 2 b + c = 0$ 的根为．

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12. 已知a ， b为常数，若方程（x﹣1）²＝a的两个根与方程（x﹣3）（x﹣b）＝0的两个根相同，则b＝．

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13. 新定义：若关于x的一元二次方程： $m {(x - a)}^{2} + b = 0$ 与 $n {(x - a)}^{2} + b = 0$ ，称为“同类方程”．
如 $2 {(x - 1)}^{2} + 3 = 0$ 与 $6 {(x - 1)}^{2} + 3 = 0$ 是“同类方程”．
（1）若 $2 x^{2} - 4 x + b = 0$ 与 $a {(x - 1)}^{2} + 3 = 0$ 是“同类方程”，则 $b =$ ．
（2）现有关于x的一元二次方程： $2 {(x - 1)}^{2} + 1 = 0$ 与 $(a + 6) x^{2} - (b + 8) x + 6 = 0$ 是“同类方程”．那么代数式 $a x^{2} + b x + 2025$ 能取的最大值是．

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14. 对于实数m，n，先定义一种运算“ $\otimes$ ”如下： $m \otimes n = {\begin{array}{l} m^{2} + m + n, & 当 m \geq n 时 \\ n^{2} + m + n, & 当 m ＜ n 时 \end{array}$ ，若 $x \otimes (- 2) = 10$ ，则实数x的值为.

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三、解答题

15. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 有实数根．
（1）求 $k$ 的取值范围；
（2）如果 $k$ 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + x + m - 3 = 0$ 与方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 有一个相同的根，求此时 $m$ 的值．

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16. 请阅读下列材料：
问题：已知方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为 $y$ ，则 $y = 2 x$ ，所以 $x = \frac{y}{2}$ ．
把 $x = \frac{y}{2}$ 代入已知方程，得 $(\frac{y}{2})^{2} + \frac{y}{2} - 1 = 0$ ．化简，得 $y^{2} + 2 y - 4 = 0$
故所求方程为 $y^{2} + 2 y - 4 = 0$ ．这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．

(1)、已知方程 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：．

(2)、已知方程 $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．

(3)、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根分别为2， $- 1$ ，求一元二次方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 的两根．

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17. 阅读下列材料：
已知实数 $m$ 、 $n$ 满足 $(2 m^{2} + n^{2} + 1) (2 m^{2} + n^{2} - 1) = 80$ ，试求 $2 m^{2} + n^{2}$ 的值．
解：设 $2 m^{2} + n^{2} = y$ ，则原方程可化为 $(y + 1) (y - 1) = 80$ ，即 $y^{2} = 81$ ；
解得 $y = \pm 9$ ．
$∵ 2 m^{2} + n^{2} \geq 0$ ，
$∴ 2 m^{2} + n^{2} = 9$ ．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：

(1)、若四个连续正整数的积为 $360$ ，直接写出这四个连续的正整数为．

(2)、已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 $(2 x^{2} + 2 y^{2} + 3) (2 x^{2} + 2 y^{2} - 3) = 27$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的值．

(3)、解方程 $x^{2} - 3 | x | + 2 = 0$ ．

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18. 阅读下列材料：
解方程： $x^{4} - 6 x^{2} + 5 = 0$ ．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 $x^{2} = y$ ，那么 $x^{4} = y^{2}$ ，于是原方程可变为 $y^{2} - 6 y + 5 = 0$ ①，
解这个方程得： $y_{1} = 1$ ， $y_{2} = 5$ ．
当 $y = 1$ 时， $x^{2} = 1$ ， $∴ x = \pm 1$ ；
当 $y = 5$ 时， $x^{2} = 5$ ， $∴ x = \pm \sqrt{5}$ ，
所以原方程有四个根： $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 1$ ， $x_{3} = \sqrt{5}$ ， $x_{4} = - \sqrt{5}$ ．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．

(1)、解方程 ${(x^{2} - x)}^{2} - (x^{2} - x) - 6 = 0$ 时，若设 $y = x^{2} - x$ ，则原方程可转化为______；

(2)、若 $(a^{2} + b^{2}) (a^{2} + b^{2} - 1) = 12$ ，求 $a^{2} + b^{2} =$ ______；

(3)、参照上面解题的思想方法解方程： ${(\frac{x}{x^{2} - 1})}^{2} - \frac{4 x}{x^{2} - 1} = - 4$ ．

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