根的判别式及应用—浙教版数学八（下）核心素养培优专题

试卷更新日期：2026-03-03 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} - 2 k x + k - 3 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $k \geq \frac{3}{4}$ B、 $k \geq \frac{3}{4}$ 且 $k \neq 1$ C、 $k \geq 0$ D、 $k \geq 0$ 且 $k \neq 1$

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2. 关于x的一元二次方程x²+kx+k-1=0的根的情况，下列说法中正确的是（）

A、有两个实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有两个相等的实数根 D、无实数根

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3. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 k x - 2 = 0$ 解的情况分析正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、不能确定

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4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m + 1) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < 0$ 且 $m \neq - 1$ B、 $m \geq 0$ C、 $m \leq 0$ 且 $m \neq - 1$ D、 $m < 0$

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5. 已知a，b，c为常数，且满足 $(a - c)^{2} > a^{2} + c^{2}$ ，则关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根的情况是（）.

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、无实数根 D、有一根为0

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6. 关于x的一元二次方程 $a x^{2} - a x + c = 0 (a \neq 0)$ 没有实数根，则系数a， c 可能满足（）

A、 $a < 0$ ， $a - 4 c < 0$ B、 $a < 0$ ， $a + 4 c < 0$ C、 $a > 0$ ， $a + 4 c < 0$ D、 $a > 0$ ， $a - 4 c < 0$

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7. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：①若 $a + b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；③若 $c$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；④若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$ ，其中正确的（）

A、只有①② B、只有①②④ C、①②③④ D、只有①②③

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8. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
①若 $a + b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；③若c是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；④若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$ ．
其中正确的是（）

A、①②④ B、①②③ C、①③④ D、②③④

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二、填空题

9. 若关于x的一元二次方程x²+2x+c=0无实数根，则c的取值范围是.

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10. 已知关于x的方程 $(k - 2) x^{2} - x + 1 = 0$ （k为常数）有两个实数根，则k取值范围为．

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11. 定义：对于任意实数 $a ， b ， c ， d$ ，有 $[a ， b] * [c ， d] = a c - b d$ ，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如： $[3 ， 2] * [5 ， 1] = 3 \times 5 - 2 \times 1 = 1$ 对已知类于 $x$ 的方程 $[x ， m] * [x + 5 ， 5] = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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12. 定义新运算： $a * b = a^{2} + 4 a b + 1$ ，例如： $2 * 3 = 2^{2} + 4 \times 2 \times 3 + 1 = 29$ ．若方程 $x * 1 = m$ 有两个相等的实数根，则 $m$ 的值为．

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13. 已知等腰三角形的一边长为2，它的其他两条边长恰好是关于x的一元二次方程x²-6x+m=0 的两个实数根，则m的值为.

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14. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
$①$ 若方程有一根 $x = - 1$ ，则 $b - a - c = 0$ ； $②$ 若 $a + b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ； $③$ 若方程 $a (x - 1)^{2} + b (x - 1) + c = 0$ 的两个根是 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 5$ ，那么方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 4$ ； $④$ 若 $c$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立．其中正确的有个．（填个数）

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三、解答题

15. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m + 3) x + m + 2 = 0$ ．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若方程两个根的绝对值相等，求此时 $m$ 的值．

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16. 已知一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ．

(1)、若方程的一个根为2，求 $\frac{2 b + c}{a}$ 的值．

(2)、当 $b - a c = 1$ 时，求证：方程有两个实数根．

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17. 定义：若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 （ a \neq 0)$ 的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，分别以 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为横坐标和纵坐标得到点 $M (x_{1}, x_{2})$ ，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为 $x^{2} - 2 （ m - 1) x + m^{2} - 2 m = 0$ ．

(1)、求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

(2)、求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）；

(3)、若无论 $k (k \neq 0)$ 为何值，关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的“友好点”M始终在直线 $y = k x - 2 (k - 2)$ 的图象上，求b ， c满足的关系．

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18. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m = 0$ ．

(1)、求证：无论 $m$ 取何值，此方程总有两个不相等的实数根．

(2)、当方程的一个根是1时，求 $m$ 的值．

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