2.2 一元二次方程的解法（2）直接开平方法——浙教版数学八（下）核心素养达标检测

试卷更新日期：2026-03-03 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共24分）

1. 用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（）

A、 $x^{2} - 1 = 0$
B、 $x^{2} = 0$
C、 $x^{2} + 4 = 0$
D、 $- x^{2} + 3 = 0$

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2. 一元二次方程 ${(x + 1)}^{2} = 0$ 的根为（）

A、 $x_{1} = x_{2} = - 1$ B、 $x_{1} = x_{2} = 1$ C、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 1$ D、 $x_{1} = x_{2} = 0$

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3. 对于方程 ${(a x + b)}^{2} = c$ ，下列叙述正确的是（）

A、不论c为何值，方程均有实数根 B、方程的根是 $x = \frac{c - b}{a}$ C、当 $c \geq 0$ 时，方程可化为 $a x + b = \sqrt{c}$ 或 $a x + b = - \sqrt{c}$ D、当 $c = 0$ 时， $x = \frac{b}{a}$

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4. 老师提出问题：解方程 $x^{2} - 8 = 0$ . 四位同学给出了以下答案；小琪： $x = 2 \sqrt{2}$ ；子航： $x_{1} = x_{2} =$ $2 \sqrt{2}$ ；一航： $x_{1} = x_{2} = - 2 \sqrt{2}$ ；萱萱 $： x_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $x_{z} = - 2 \sqrt{2}$ . 你认为答案正确的是（）

A、小琪 B、子航 C、一观 D、萱萱

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5. 一元二次方程（x+6）²=16可转化为两个一元一次方程，其中一个是x+6=4，则另一个是（）

A、x-6=-4 B、x-6=4 C、x+6=4 D、x+6=-4

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6. 形如 $(x + m)^{2} = n (n \geq 0)$ 的方程，它的根是（）

A、 $x = \pm \sqrt{n}$ B、 $x = \pm m + \sqrt{n}$ C、 $x = \pm \sqrt{n - m}$ D、 $x = - m \pm \sqrt{n}$

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7. 已知方程 ${(x - 2)}^{2} = 0$ 的解也是方程 $x^{2} - 2 m x + 1 = 0$ 的一个解，则m的值是（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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二、填空题（每题3分，共21分）

9. 关于x的一元二次方程x²=9的解为.

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10. 已知一元二次方程 $x^{2} - 25 = 0$ ，则它的根为．

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11. 当 $x =$ 时，代数式 $x + 1$ 与 $x - 1$ 的值互为倒数．

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12. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} = a$ 的两个根分别是 $2 m - 1$ 与 $m - 5$ ，则 $m =$ ．

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13.

(1)、若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} = b (a b > 0)$ 的两个根分别是 $m + 1$ 与 $2 m - 4$ ，则 $m =$ ．

(2)、若关于 $x$ 的方程 $a (x + m)^{2} + b = 0 (a ， b ， m$ 均为常数，且 $a \neq 0)$ 的两个根是 $x_{1} = 3$ 和 $x_{2} = 7$ ，则方程 $a (2 x + m - 1)^{2} + b = 0$ 的根是．

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14. 对于两个互不相等的有理数a ， b我们规定符号 $m a x {a, b}$ 表示a ， b两个数中最大的数．按照这个规定则方程 $m a x {x, 0} = x^{2} - 2$ 的解为．

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三、解答题（共4题，共35分）

15. 我们已经知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或二次方根．也就是说如果 $x^{2} = a$ ，那么x叫做a的平方根．根据教材中的定义，解答下列问题．

(1)、如果 $x^{2} = 2$ ，则 $x =$ ________；（直接写出答案）

(2)、如果x满足 $2 {(x - 1)}^{2} = 4$ ，试求x的值，请写出必要的解答过程．

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16. 用直接开平方法解下列方程．

(1)、 $\frac{1}{2}$ x²=8；

(2)、 $\frac{1}{3}$ (x-3)²=12．

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17. 小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的∶
解方程∶ $x^{2} - 6 x + 5 = 0$
$x^{2} - 5 x - x + 5 = 0$
$x^{2} - 5 x = x - 5$
$(x - 5) x = x - 5$
$∴ x - 5 = 0$
$∴ x = 5$

(1)、小明的解法从第步开始出现错误；

(2)、请用适当方法给出正确的解答．

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18. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 5) x + 5 m = 0$ .

(1)、求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；

(2)、设该一元二次方程的两根为a ， b ，且2，a ， b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值.

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