2.2 一元二次方程的解法（3）配方法—浙教版数学八（下）核心素养达标检测

试卷更新日期：2026-03-03 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共24分）

1. 把方程 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的左边配方后可得方程（）

A、 $(x + \frac{3}{2})^{2} = \frac{13}{4}$ B、 $(x + \frac{3}{2})^{2} = \frac{5}{4}$ C、 $(x - \frac{3}{2})^{2} = \frac{13}{4}$ D、 $(x - \frac{3}{2})^{2} = \frac{5}{4}$

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2. 用配方法解方程x²+4x-10=0时，下列配方结果正确的是（）

A、（x-2）²=12 B、（x+2）²=12 C、（x-2）²=14 D、（x+2）²=14

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3. 王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示．
$\underset{王老师}{2 x^{2} + 8 x - 4 = 0} \to \underset{甲}{x^{2} + 4 x = 2} \to \underset{乙}{{(x + 2)}^{2} = 2} \to \underset{丙}{x + 2 = \pm \sqrt{2}} \to \underset{丁}{x_{1} = - 2 + \sqrt{2}, x_{2} = - 2 - \sqrt{2}}$
上述求解过程中，错误的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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4. 若关于x的一元二次方程x²+6x+c=0配方后得到方程（x+3)²=2c，则c的值是（）

A、-3 B、0 C、3 D、9

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5. 小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式 $2 x^{2} - 4 x + 6$ 的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（）
（1）小聪认为找不到实数x，使 $2 x^{2} - 4 x + 6$ 得值为0；
（2）小明认为只有当 $x = 1$ 时， $2 x^{2} - 4 x + 6$ 的值为4；
（3）小伶发现 $2 x^{2} - 4 x + 6$ 没有最小值；
（4）小刚发现 $2 x^{2} - 4 x + 6$ 没有最大值．

A、（1）（2） B、（1）（3） C、（1）（2）（4） D、（2）（3）（4）

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6. 如果 $a x^{2} + 4 x + c = (2 x + m)^{2}$ ，那么 $a ， c ， m$ 的值分别为( )

A、 $4 ， \frac{1}{2} ， \frac{1}{4}$ B、 $4 ， \frac{1}{2} ， 1$ C、 $4 ， 1 ， 1$ D、 $1 ， 4 ， 1$

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7. 一元二次方程 $x^{2} - 6 x - 5 = 0$ 可以通过配方法转化为 $(x - p)^{2} = q$ 的形式，则配方结果正确的是（）

A、 $(x - 3)^{2} = 14$ B、 $(x - 6)^{2} = 5$ C、 $(x - 3)^{2} = 5$ D、 $(x - 3)^{2} = 4$

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8. 欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如x²+ax＝b²的方程的图解法是：如图，以 $\frac{a}{2}$ 和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝ $\frac{a}{2}$ ，则图中哪条线段的长是方程x²+ax＝b²的解？答：是（）

A、AC B、AD C、AB D、BC

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二、填空题（每空3分，共24分）

9. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 可以配方成 ${(x - 2)}^{2} =$ .

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10. 把一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 1 = 0$ 化为 $(x + a)^{2} = b$ （a ， b为常数）后，则 $a + b =$ .

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11.

(1)、若方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 可以配方成 $(x - n)^{2} = 5$ ，则 $m + n =$ ．

(2)、已知三角形的两边长是 4 和 6 ，第三边的长是方程 $(x - 3)^{2} = 4$ 的根，则此三角形的周长为．

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12. 用配方法解一元二次方程x²-mx＝1时，可将原方程配方成（x-3）²＝n，则m+n的值是．

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13. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + k = 0$ 通过配方法可以化成 ${(x + m)}^{2} = n (n ⩾ 0)$ 的形式，则 $k$ 的值可以是.(写出一个符合要求的 $k$ 值).

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三、解答题（共4题，共32分）

14. 解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x = 1$

(2)、2x²－5x+2=0

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15. 解方程：

(1)、x²+4x﹣12＝0；

(2)、 $3 x (2 x + 1) = 2 (2 x + 1)$ ．

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16. 小北同学解一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ 的过程如下图所示：
解方程： $x^{2} - 4 x - 5 = 0$
解： $x^{2} - 4 x = 5$ ……第①步
${(x - 2)}^{2} = 5 + 2$ ……第②步
$x - 2 = \sqrt{7}$ 或 $x - 2 = - \sqrt{7}$ ……第③步
$x_{1} = \sqrt{7} + 2$ ， $x_{2} = - \sqrt{7} + 2$ ……第④步

(1)、小北同学选用了（填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第步开始出现错误．

(2)、请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答．

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17. 小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于 $x$ 的多项式 $x ^{2} - 2 x + 3$ ，由于 $x ^{2} - 2 x + 3 = (x - 1) ^{2} + 2$ ，所以当 $x - 1 = 0$ 时，多项式 $x ^{2} - 2 x + 3$ 有最小值；多项式 $- x ^{2} - 2 x + 3$ ，由于 $- x^{2} - 2 x + 3 = - {(x + 1)}^{2} + 4$ ，所以当 $x + 1 = 0$ 时，多项式 $- x ^{2} - 2 x + 3$ 有最大值．于是小慧给出一个定义：关于 $x$ 的二次多项式，当 $x - t = 0$ 时，该多项式有最值，就称该多项式关于 $x = t$ 对称．例如 $x ^{2} - 2 x + 3$ 关于 $x = 1$ 对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：

(1)、多项式 $x^{2} + 6 x + 5$ 关于 $x =$ 对称；

(2)、若关于 $x$ 的多项式 $x^{2} - 2 a x + 4$ 关于 $x = 4$ 对称，则 $a =$ ；

(3)、关于 $x$ 的多项式 $x^{2} + a x + c$ 关于 $x = - 1$ 对称，且最小值为3，求方程 $x^{2} + a x + c = 7$ 的解．

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