换元法解一元二次方程—浙教版数学八（下）核心素养培优专题

试卷更新日期：2026-03-03 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x +$ 5=0有一个根为2025，则方程 $a {(x + 1)}^{2} + b （ x +$ 1）=-5必有一个根为（）

A、2024 B、2023 C、2022 D、2021

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2. 已知方程 $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ 的解是 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 4$ ，则方程 $(2 x - 3)^{2} + 3 (2 x - 3) - 4 = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = - 0.5$ B、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 0.5$ C、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 0.5$ D、 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 0.5$

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3. 若关于×的一元二次方程a（x-1）²-b=0（a≠0）有一根为2022，则方程ax²+4ax+4a=b必有根为（）

A、2022 B、2021 C、2020 D、2019

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4. 已知实数 $a$ 满足 $a^{2} + \frac{4}{a^{2}} - 2 a - \frac{4}{a} - 4 = 0$ ，则 $a + \frac{2}{a}$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、4 C、 $- 2$ 或4 D、2

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5. 方程 $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ 的解是 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 5$ ，现给出另一个方程 $(2 x - 1)^{2} + 4 (2 x - 1) - 5 = 0$ ，它的解是( )

A、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 2$
C、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 2$ D、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = - 2$

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6. 已知实数 $x ， y$ 满足方程 ${(x^{2} + y^{2} + 1)}^{2} - 9 = 0$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的值是（）

A、2 B、-2 C、 $\pm 2$ D、不能确定

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7. 已知m，n都是实数，且 $(m^{2} + n^{2}) (m^{2} + n^{2} - 2) - 3$ =0，则 $m^{2} + n^{2}$ 的值为（）

A、-1 B、3 C、1或3 D、-1或3

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8. 在分式方程 $\frac{2 x - 1}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 x - 1}$ =5中，设 $\frac{2 x - 1}{x^{2}}$ =y，可得到关于y的整式方程为（）

A、y²+5y+5=0 B、y²-5y+5=0 C、y²+5y+1=0 D、y²-5y+1=0

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二、填空题

9. 已知关于 $x$ 的方程 $9 x^{2} + b x + c = 0$ 的解为 $x_{1} = 2, x_{2} = 3$ ，则关于 $y$ 的方程 $9 (y - 1)^{2} + b (y - 1) + c = 0$ 的解为．

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10. 若关于x的方程 $(x + h)^{2} + k = 0$ （ $h, k$ 均为常数）的解是 $x_{1} = - 3, x_{2} = 2$ ，则关于x的方程 $(x + h - 3)^{2} + k = 0$ 的解是.

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11. 已知 $(a^{2} + b^{2} + 1) (a^{2} + b^{2} - 2) = 0$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的值是．

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12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $m (x - h)^{2} - k = 0$ （ $m, h, k$ 均为常数，且 $m \neq 0$ ）的解是 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 5$ ，则关于 $x$ 的一元二次方程 $m (x - h + 3)^{2} = k$ 的解是．

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13. 若方程（x²﹣1）（x²﹣4）＝k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则k＝．

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14. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + 6 x - 4 = 0$ 的解为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ ，则关于 $y$ 的一元二次方程 $a {(y + 1)}^{2} + 6 (y + 1) - 4 = 0$ 的解为.

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三、解答题

15. 选择适当的方法解下列方程：

(1)、 $(x - 5) (x + 2) = 8$ ．

(2)、 $(x - 1)^{2} - 2 (x^{2} - 1) = 0$ ．

(3)、 $(x + 3)^{2} = - 2 (x + 3)$ ．

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16. 为解方程 ${(x^{2} - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - 1) + 3 = 0$ ，我们可以将 $x^{2} - 1$ 视为一个整体，然后设 $x^{2} - 1 = y$ ，则原方程可化为 $y^{2} - 4 y + 3 = 0$ ，解此方程得 $y_{1} = 1 ， y_{2} = 3$ ．
当 $y = 1$ 时， $x^{2} - 1 = 1 ， ∴ x = \pm \sqrt{2}$ ；
当 $y = 3$ 时， $x^{2} - 1 = 3 ， ∴ x = \pm 2$ ．
$∴$ 原方程的根为 $x_{1} = \sqrt{2} ， x_{2} = - \sqrt{2} ， x_{3} = 2 ， x_{4} = - 2$ ．
运用上述方法解下列方程：

(1)、 $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x - 6) = - 9$ ．

(2)、 $x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$ ．

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17. 阅读下列材料：为解方程x⁴-x²-6=0，可将方程变形为(x²)²-x²-6=0，然后设x²=y，则(x²)²=y² ，原方程化为y²-y-6=0①，解①得y₁=-2，y₂=3．当y₁=-2时，x²=-2无意义，舍去；当y₂=3时，x²=3，解得x=± $\sqrt{3}$ ……原方程的解为x₁= $\sqrt{3}$ ， x₂= $- \sqrt{3}$ ．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题转化成简单的问题．

(1)、利用以上学习到的方法解下列方程：
①(x²-2x)2-5x²+ 10x+6=0；
②3x²+15x+2 $\sqrt{x^{2} + 5 x + 1}$ =2．

(2)、如果(m²+n²-1)(m²+n²+2)=4，求m²+n²的值

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18. 阅读材料：
为解方程 ${(x^{2} - 1)}^{2} - 5 (x^{2} - 1) + 4 = 0$ ，我们可以将 $x^{2} - 1$ 看作一个整体，设 $x^{2} - 1 = y$ ，那么原方程可化为 $y^{2} - 5 y + 4 = 0$ ，解得 $y_{1} = 1 ， y_{2} = 4$ .当 $y = 1$ 时， $x^{2} - 1 = 1 ， ∴ x^{2} = 2 ， ∴ x = \pm \sqrt{2}$ ；当 $y = 4$ 时， $x^{2} - 1 = 4 ， ∴ x^{2} = 5 ， ∴ x = \pm \sqrt{5}$ ，故原方程的根为 $x_{1} = \sqrt{2} ， x_{2} = - \sqrt{2} ， x_{3} = \sqrt{5} ， x_{4} = - \sqrt{5} .$

(1)、请你仿照上述方法解方程： $x^{4} - x^{2} - 6 = 0$ .

(2)、设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且 $(a^{2} + b^{2}) (a^{2} + b^{2} + 1) = 12$ ，则这个直角三角形的斜边长为

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